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インスティチューションと忘却関手

昨日(2019-06-06(日曜))、インスティチューション理論についてほんの少しだけ説明しました(チアガールズの説明のほうが長かった気がする)。インスティチューションについては、「キマイラ飼育記」の初期の頃からチョコチョコ触れています。

インスティチューションに関する資料として、僕が最初に思い浮かべるのはゴグエン〈Joseph Goguen〉による次のページです。

Maintained by Joseph Goguen
Last modified: Fri Jan 6 07:46:59 PST 2006

ゴグエン先生は2006年7月3日に亡くなられているので、それ以降はメンテナンスされていません。このページに目ぼしい論文へのリンクがあります。外部サイト(arXivとか)へのリンクではなくて、ローカルリンクですね。PostScript形式が多いです。

インスティチューション理論では、指標の圏Signと、指標Σに対するモデルの圏 Model[Σ] は公理的に与えられるのですが、Sign, Model[Σ] を具体的に作りたいことが多いので、作り方(の一例)を述べます。

まず、指標Σはコンピュータッド(nLab項目 computad)だとします。(適当な条件を付けた)コンピュータッドとコンピュータッド準同型からなる圏が Sign = (指標の圏) ですね。コンピュータッドΣから生成されるn-圏をΣとしましょう。モデル(指標の意味となる実体)が棲むn-圏をCとして、Model[Σ] を次のように定義します。

  • Model[Σ] = C-Model[Σ] := [Σ, C]

, C] は関手圏です。n = 2 、つまりΣは2-コンピュータッドであり、CSetを自明に2-圏とみなしたもの*1であるケースが一番よく使われる設定です。

例えば、有向グラフ(ここでは単に「グラフ」と呼ぶ)の指標は次だとします。

signature Graph :=
begin
  sorts
    V /* 頂点集合 */
    E /* 辺集合 */
  operations
    src:E→V  /* 辺の始点 */
    trg:E→V  /* 辺の終点 */
  laws
    /* 特になし */
end

指標Graphから、ソートEとオペレーション src, trg を落としてしまえば、集合の指標になります。

signature Set :=
begin
  sorts
    V
  operations

  laws

end

Set⊆Graph という包含を表す指標射を j:Set→Graph in Sign として、Model[j]:Model[Graph]→Model[Set] in CAT が対応する忘却関手です。

*1:写像のあいだのイコール関係を2-射とします。