Wikipedia や nLab の Karoubi envelope の項を読むと、具体的な構成法に依存しないカロウビ展開圏の特徴付けが書いてあります。この特徴付けを使うと、具体的定義に基づくよりスマートに証明ができることもあるでしょう。
圏Cのベキ等射 a:A→A が分裂（split）するとは、適当な r:A→B, s:B→A があって、次が成立することです。
- r;s = a
- s;r = idB
ベキ等射が分裂することは一般的には保証できませんが、もし分裂するなら同型を除いて一意的です。つまり、r':A→B', s':B'→A がaの分裂を与えるなら、BとB'は同型です（練習問題）。
圏に関する次の性質を考えます。
- すべてのベキ等射が分裂する。
- 分裂を与える標準的な2つの射が決まっている。
2番目の条件は、Cのベキ等射全体の集合Idem(C)上で、Ret:Idem(C)→C, Sec:Iem(C)→C があって、ベキ等射 a:A→A に対して Ret(a):A→B, Sec(a):B→A がaの分裂を与えることです。Retはレトラクト、Secはセクションから取った名前です。
与えられた圏Cから（既に述べた）標準的な構成法で作ったカロウビ展開圏 KE(C) は、上記の条件を満たします。KE(C)の射 f:(A, a)→(A, a) がベキ等だとは：
- f:A→A in C
- a;f;a = f in C
- f;f = f in C
のことです。このfは、(A, a)→(A, f) in KE(C) とみなせます（練習問題）。(A, a)→(A, f) とみなしたfをrと置きます。同様に、(A, f)→(A, a) とみなしたfをsと置きます。
- r:(A, a)→(A, f) in KE(C)
- s:(A, f)→(A, a) in KE(C)
次は、定義をたどればほぼ当たり前。
- r;s = f
- s;r = id(A, f)
よって、KE(C) では、ベキ等射の標準的な分裂が与えられています。
より一般に、Cの拡張圏になっていて、ベキ等射の標準的な分裂が与えられている圏のなかで普遍的な圏（ある意味で最小な圏）がカロウビ展開圏ということらしいです。（僕は、具体的な定義しか使ったことがないので、「らしいです」になっちゃう。）
