圏論の小ネタです。
圏における双積（biproduct）とは、直積でもあり直和でもあるようなモノイド積です。直積の単位である終対象と直和の単位である始対象も一致し、これは零対象と呼びます。ベクトル空間の圏における直和、関係の圏における直和は、同時に直積でもあるので双積の例です。
双積を持つ圏では、ホムセットに足し算が入ります。ただし、引き算が可能とは限らないので、可換モノイド構造となります。ホムセットが可換モノイド構造を持つような圏が双積を持つかというと、そうはなりません。任意の圏Cに対して、D(A, B) := Pow(C(A, B)) （Powはベキ集合）として定義される圏は、ホムセットごとに集合の合併を足し算とする可換モノイド構造を入れられますが、双圏でない例はいくらでもあります。
双積と足し算については、次の記事に記述があります。
コンパクト閉圏は、対象Aごとに“双対”な対象A*が対応していて（双対とみなせる、それらしい法則を満たすとします）、ev:A×A*→1、coev:1→A*×A を持つような対称モノイド圏です。×は（直積とは限らない）モノイド積、1はモノイド単位です。evとcoevはヘビの公式（三角等式、剛性）を満たします。
双対やev/coevについては、次の記事に記述があります。
ベクトル空間の圏におけるテンソル積、関係の圏における直積は、双積とは別なモノイド積を与えています。ベクトル空間の圏では双対空間、関係の圏では恒等が圏論的な双対を与えていて、ev/coevも適切に定義できてコンパクト閉圏になります。この2つの圏は、双積を持つコンパクト閉圏の例になっています。
さてここで、対象が1つしかない「双積を持つコンパクト閉圏」を考えてみます。対象が1つだと意味のある双積が作れないので、ホムセットごとに足し算（可換モノイド構造）を持つにゆるめます。ホムセット“ごと”とはいってもホムセットが1個しなかないので、そのホムセット＝射の全体に足し算が入ることになります。圏の結合を掛け算と思うと、足し算に対して分配的な掛け算を持つ構造なので、可換とは限らない半環ができます。
コンパクト閉圏の構造も対象が1つだと潰れて自明になってしまいます。しかし、コンパクト閉圏のベースとなるモノイド圏の構造は残ります。もともとあった圏の結合とモノイド積を合わせると、モノイダルモノイドとなりますが、モノイダルモノイドは可換モノイドとなるのでした。
これらの事実から、双積をもつコンパクト閉圏をうーんと退化させると可換半環になることが分かります。なんかコジツケっぽいですか？ 僕が言いたいことは、可換半環と双積を持つコンパクト閉圏を典型的な例とするような一連の代数系がありそうだ、ということです。そして、それらの代数系は行列計算の係数域に使えそうだ、と思うのです。
