昨日の記事「上空にいる足し算の親玉を捕まえる」の話ですけど、これは特定の半加法圏Cに注目して云々つうより、半加法圏の全体からなる圏SemiAddの構造をとらまえる話だろう、と思います。
双積(biproduct)の定義としては、直積と直和のあいだの同型を与えるとか双極限を使うとか、有限極限ベースの定義がありますが、ものごとがup-to-isoでしか決まらないので面倒です。議論を単純化するには、双積がモノイド積としてアプリオリに与えられている状況、つまり双積モノイド圏(biproduct monoidal category)を考えるのがよいでしょう。以下、半加法圏と双積モノイド圏は同義語だとします。
半加法圏=双積モノイド圏を対象とする圏をSemiAddとします。と言っても、SemiAddの正体は明らかではありません。まず、サイズの問題を回避するために、小さい半加法圏だけを考えることにします。小さい圏の圏Catがそうであるように、半加法圏の圏も厳密2-圏の構造を持つので、SemiAddは2-圏だとします。
SemiAddの2-圏構造を少し説明します; 半加法圏=双積モノイド圏なので、モノイド圏の一般論から、次の構成要素を定義できます。
- 対象として半加法圏
- 射として半加法関手(双積に関するタイト・モノイド関手+幾つかの条件)
- 2-射として半加法自然変換(モノイド自然変換+幾つかの条件)
記号的な表現では:
- |SemiAdd|0 = |SemiAdd| = Obj(SemiAdd) = (半加法圏の全体)
- |SemiAdd|1 = Mor(SemiAdd) = (半加法関手の全体)
- |SemiAdd|2 = (半加法自然変換の全体)
2-射を無視して、|SemiAdd|0と|SemiAdd|1からなる通常の圏(1-圏)を考えるときは、それをSemiAdd1と書くことにします。2-射まで考えることを明示したいときは、SemiAdd2と書くことにします。
気づいたことは、SemiAdd1がデカルト閉圏になる(ホントは「なりそうな」)ことです。[追記]←これはウソです。[/追記]これは、Cat1(1-圏と考えた圏の圏)がデカルト閉圏であるのと同じ事情です。
[追記]単なるデカルト積ではうまくいきませんね。デカルト積ではない“テンソル積”を定義しないと閉構造を作れません。「デカルト閉圏→モノイド閉圏」と修正すれば、たぶん話のスジは保たれるでしょう。[/追記]
C, D∈|SemiAdd|0 に対するホムセットSemiAdd(C, D) = (CからDへの半加法自然変換の全体) に、F, G∈SemiAdd(C, D) ごとの半加法自然変換の集合SemiAddNat(F,G)を追加すると、全体として圏になります。さらに、Dの半加法構造を使って半加法関手と半加法自然変換に双積を入れることができます。
結果的に、ホムセットSemiAdd(C, D)を半加法圏にまで拡張できるのです。こうして作った半加法圏を[C, D]SemiAddとします。混乱がないなら単に[C,D]と書きます。この記法から類推できるように、[C, D]はCとDの指数(DのC乗)です。
SemiAdd1には、圏と関手の直積によりデカルト構造が入ります。このデカルト構造に指数[C, D]を加えると、SemiAdd1はデカルト閉圏になります。[追記]←これはウソです。[/追記]半加法関手のラムダ計算も(やろうと思えば)できます。また、指数は内部ホムを与えるので、SemiAdd1は自己豊饒圏になります。
特別な指数[C, C]は単に半加法圏なだけではなくて、関手の結合/自然変換の横結合から非対称厳密モノイド積を持ちます。2つのモノイド積が、ちょうど足し算と掛け算のような働きを持ち、[C, C]は非可換半環のような構造を持つことになります。
半加法圏は、可換モノイドを圏化(categorification)したものなので、SemiAddはCMon(可換モノイドの圏)と類似しており、ベースが「集合→圏」と高次化しているので、より豊かで複雑な構造を持つのです。Catと比べても、足し算がある分面白いんじゃないでしょうか。SemiAddの2次元部分の構造はあまり分からないのですが、「上空にいる足し算の親玉を捕まえる」で書いたような、1次元部分を支配する親玉みたいなヤツが2次元部分内に棲んでいるのかも知れません。
僕は、半加法圏にさらに別なモノイド積(便宜上「テンソル積」と呼ぶ)を追加したテンソル半加法圏が非決定性計算のモデルに使えると思っています。テンソル半加法圏の圏TensorSemiAddは半加法圏の圏SemiAddへの忘却関手を持つので、SemiAddを調べることはTensorSemiAddの下部構造を調べることになります。この意味でも、SemiAddは興味深い圏です。