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参照用 記事

自然数全体の2倍の長さを持つ可換モノイド

N = {0, 1, 2, 3, ...} に足し算を考えた可換モノイドは、一番お馴染みの代数系と言えるでしょう。Nは無限の長さ(大きさ)を持ちますが、この長さを2倍に引き伸ばして、その上で足し算を考えてみます。

まず、集合Nの2つ分の直和 N + N を作ります。分かりやすいように、オリジナルのNのコピーをN'とします。N' = {0', 1', 2', 3', ...} として、NN' を作ります。NN' = {0, 1, 2, 3, ..., 0', 1', 2', 3', ...} ですね。n∈N に対して、n'∈N が1対1に対応します。

NN' の上に、次のように足し算を定義します。

  • n + m := n + m (今までの足し算)
  • n' + m := n'
  • n + m' := m'
  • n' + m' := (n + m)'

実例を幾つかやってみると:

  • 0' + 3 = 0'
  • 100 + 2' = 2'
  • 5' + 10' = 15'

定義から明らかに、NN' 上の「+」演算は可換です。0が単位元(中立元、零元)であることもすぐ分かります。

  • 0 + n = n + 0 = n
  • 0 + n' = n' + 0 = n'

あとは結合法則ですが、場合分けして調べれば確認できます。足し算する3つの項(summand)の場合を列挙すると:

  1. k, n, m
  2. k', n, m
  3. k, n', m
  4. k, n, m'
  5. k', n', m
  6. k, n', m'
  7. k', n, m'
  8. k', n', m'

ひとつだけ実際に計算してみると:

(k' + n') + m = (k + n)' + m = (k + n)'
k' + (n' + m) = k' + n' = (k + n)'

他の場合も結合的であることが確認できます。

0'を∞と書いてみましょう。実際に、∞はどの自然数よりも大きいので無限大です。しかし、上には上がいて、∞のすぐ上に ∞ + 1 (1')が、その上に ∞ + 2 (2')が*1、と続きます。自然数が二階建てになっていて、普通の自然数が下々の数で、∞の上にアッパー階級の自然数達が続くわけです。

アッパーな自然数の最大の数(上限)として∞'を入れると、NN'∪{∞'} はω-総和可能な可換モノイドとなります。

この例は、普通の自然数より“長い”可換モノイドの例ですが、「「イチ、ニ、サン、イッパイ」の算数と分配代数」で出した例 {1, 2, 3, ∞} の足し算部分に0を加えると、“短い”可換モノイドができて、これもω-総和可能です。

*1:[追記]ここで使っている「+ 1」は、可換演算としてのプラスではなくて、次の数という意味です。誤解をまねく表現だったかも知れません。 [/追記]