随伴系〈adjunction〉を理解するのはなかなか難しいようです。なぜ難しい？ -- いやむしろ、なぜ難しいと感じる？ のでしょう。
内容：
ペアは台に過ぎない
随伴系という言葉を使いましたが、単に随伴と呼ばれることもあります。一番よく使われる呼び名は随伴ペア〈adjoint pair〉でしょう。この言葉から、ペアを構成している2つのモノが主役のような印象を持ちますが、ペアは単に台〈underlying things〉を提供するだけです。別な例、モノイドで説明しましょう； モノイドを (M, m, e) の形で書きます。ここで、Mは集合で、m:M×M → M, e:1 → M です。集合Mをモノイドの台集合〈underlying set〉と呼びます。台集合Mがないと、乗法mや単位eを定義できないので台集合は必須です。が、単なる集合としてのMを調べてもモノイドについて理解できるわけではありません。乗法mや単位eに目をやる必要があります。
典型的な随伴ペアとして、関手の随伴ペア〈a pair of adjoint functors〉F -| G と、ベクトル空間の双対ペア〈a pair of dual vector spaces〉V -| W があります。今出てきたペア (F, G), (V, W) は随伴系の台を構成します。この台の上に載った自然変換や線形写像と、それらの自然変換／線形写像が満たす法則が問題になります。随伴系も、モノイドなどと同様に代数構造だと思ってください。モノイドの演算が満たす法則は結合法則と単位法則でしたが、随伴系の（高次の）演算が満たす法則はニョロニョロ法則です。ニョロニョロ法則については、次の記事とそこから参照されている他の記事を見てください。
随伴系の定義を指標〈signature〉で書けば次のようになります。（[追記]下の f => f の部分が idA => idB と書いてありました。間違いです、訂正しました。g => g も同様。[/追記]）
signature Adjunction {
object A
object B
morphism f:A -> B
morphism g:B -> A
2-morphism η:: idA => f＊g : A -> A
2-morphism ε:: g＊f => idB : B -> B
equation snake1 ::: (η＊Idf);(Idf＊ε) = Idf :: f => f : A -> B
equation snake2 ::: (Idg＊η);(ε＊Idg) = Idg :: g => g : B -> A
}
ここで：
- '＊'は射〈1-射〉の結合、2-射の横結合
- ';'は2-射の縦結合
- idは恒等射
- Idは恒等2-射
対象〈0-射〉、射〈1-射〉、2-射が出てきているので、随伴系は2-圏のなかで定義される代数構造です。2-圏として、圏の圏を選んだときの随伴系が関手の随伴ペアで、ベクトル空間のモノイド圏（を2-圏とみなしたもの）を選んだときの随伴系がベクトル空間の双対ペアです。
役割の名称
前節の指標に出てきた記号 A, B, f, g, η, ε は単なる記号です。これらの記号に、特定の2-圏の対象、射、2-射が割り当てられてはじめて具体的な随伴系が決まります。随伴系の構成素には、随伴系という構造内での役割からの名称があります。
- 記号'f'に対応する射は左射〈left morphism〉と呼ぶ。
- 記号'g'に対応する射は右射〈right morphism〉と呼ぶ。
- 記号'η'に対応する2-射は単位2-射〈unit 2-morphism〉と呼ぶ。
- 記号'ε'に対応する2-射は余単位2-射〈counit 2-morphism〉と呼ぶ。
例えば、圏の圏内の随伴系では、左射は左関手です。ベクトル空間の圏内の随伴系では、左射は左ベクトル空間です。パートナー射〈partner morphism〉という言葉も導入しておくと便利です。左射fのパートナー射は右射gで、右射gのパートナー射は左射fです。
これらの一般的名称が、具体例ではどうなるか見ておきましょう。ベクトル空間の双対ペアの例では、射の次元がずれます。一般論における射〈1-射〉が対象〈0-射〉になり、一般論における2-射が射〈1-射〉になります。これは、モノイド圏を対象が1個だけの2-圏とみなすからです。
| 随伴系の一般論 | 関手の随伴ペア | ベクトル空間の双対ペア |
|---|---|---|
| 対象 | 圏 | (なし) |
| 射 | 関手 | ベクトル空間 |
| 恒等射 | 恒等関手 | 単位ベクトル空間 |
| 2-射 | 自然変換 | 線形写像 |
| 恒等2-射 | 恒等自然変換 | 恒等線形写像 |
| 射の結合 | 関手の結合 | ベクトル空間のテンソル積 |
| 2-射の横結合 | 自然変換の横結合 | 線形写像のテンソル積 |
| 2-射の縦結合 | 自然変換の縦結合 | 線形写像の結合 |
| 左射 | 左関手 | 左ベクトル空間 |
| 右射 | 右関手 | 右ベクトル空間 |
| 単位2-射 | 単位自然変換 | 余評価写像 coev |
| 余単位2-射 | 余単位自然変換 | 評価写像 ev |
「左随伴関手」という言葉は、「ある随伴系の左関手」の意味です。「Gの左随伴関手」と言えば、Gはある随伴系の右関手であることが前提されています。そのGのパートナー関手が「Gの左随伴関手」です。「Gは左随伴関手を持つ」とは、Gが右関手であるような随伴系が存在することです。Gとそのパートナー関手だけでは随伴系にはならないので、単位と余単位もあり、ニョロニョロ等式も成立していることまで含意されます。
ペア（だけ）じゃないから
最初の節で述べたように、ペアだけで随伴系が構成されるわけではないので、「Gは左随伴関手を持つ」のような言い方をボンヤリと受け止めないで、随伴系一式を想定してください。もう一度繰り返しますが、随伴ペア（あるいは双対ペア）と呼んでも、構造の主役はペアじゃないから。単位・余単位とニョロニョロ等式が議論に使われます。「ペア」とだけ書いてあっても「ペアの上に構築されたニョロニョロ構造」と補足して、常にニョロニョロ構造〈snaky structure〉を意識すれば、随伴系に親しむことが出来ると思います。
