1月末から始める僕のセミナー（「確率論のカリー／ハワード／ランベック対応」参照）のトピックのひとつに「確率的論理」という言葉を入れておいたのですが、「確率的論理」ではひどく漠然としていて、何のことか分からないですね。より具体的に言えば、ファジー論理とエフェクト論理とPS論理の3つを想定していて、総称的に確率的論理と呼んでいます。このなかで、PS論理は名称がないので僕が今さっき命名したものです。
印象（あくまで僕の印象）で言うと、ファジー論理が工学的な論理、エフェクト論理が物理（特に量子力学）的論理、PS論理が（人間を含む）動物の論理です。
内容：
マルコフ核とファジー述語
可測空間とマルコフ核の圏（「マルコフ核： 確率計算のモダンな体系」参照）をStocとします。B = {0, 1} をブール値〈二値真偽値〉の集合として、これを離散可測空間と考えます。つまり、B∈|Stoc| 。
マルコフ核 p:X → B in Stoc の、可測空間の圏Measでの表現は p∩:X → Giry(B) in Meas となります（通常、p と p∩ は同一視されます）。ここで、Giry はジリィ関手（ジリィモナドの台関手） Giry:Meas → Meas in CAT です。マルコフ核 p に次の関数 f を対応させます。
- For x∈X, f(x) := p∩(x)({1})
0 ≦ f(x) ≦ 1 となるので、f:X → [0, 1] in Meas と考えます。この方法で、Stoc(X, B)∋p ←→ f∈Meas(X, [0, 1]) という1：1対応が作れます。この1：1対応を前提として次の三者を同一視し、同じ記号で表します。
- p:X → B in Stoc
- p:X → Giry(B) in Meas
- p:X → [0, 1] in Meas
実数の区間 [0, 1] を真偽値の集合と考えると、p:X → [0, 1] in Meas はX上の述語になります。区間を真偽値集合とする述語をファジー述語〈fuzzy predicate〉と呼びます。ファジー述語に関する論理がファジー論理〈fuzzy logic〉です。
ファジー論理の論理結合子〈logical connectives〉には色々な流儀・流派がありますが、代表的な定義は次のものです。
- 連言： p, q:X → [0, 1] に対して、(p∧q)(x) = min(p(x), q(x))
- 選言： p, q:X → [0, 1] に対して、(p∨q)(x) = max(p(x), q(x))
- 否定： p:X → [0, 1] に対して、(￢p)(x) = 1 - p(x)
ファジー述語とファジー論理結合子に基づいて、論理システムを作ることができます。ファジー述語 p の、X上の確率分布 ω:1 → X に対する真偽値は、関数としてのpの“ωに関する期待値”で与えられます。
エフェクト代数と論理
実数区間 [0, 1] 内での足し算はいつでも出来るとは限りません。部分演算として足し算を定義しましょう。
- x, y∈[0, 1] に対して、実数の範囲で足し算をして x + y ≦ 1 ならば、足し算は定義される（値が確定）。
- x + y > 1 になってしまったら、足し算は未定義（値は未定）。
x, y∈[0, 1] に対して、関係'⊥'を次のように定義します。
- x ⊥ y :⇔ x + y ≦ 1
また、x' := 1 - x とします。
([0, 1], ⊥, +, (-)', 0, 1) はエフェクト代数〈effec algebra〉と呼ばれる代数系になります。エフェクト代数は、x ≦ y :⇔ ∃z.(x + z = y) と順序を定義して順序集合になります。この順序に関して束〈lattice〉になるエフェクト代数は、束エフェクト代数〈lattice effect algebra〉といいます。
エフェクト代数や束エフェクト代数があると、それを真偽値の代数と考えてエフェクト論理〈effect logic〉を構成できます。エフェクト代数の起源となったのは、おそらく、ヒルベルト空間の射影作用素からなる代数でしょう。
Vをベクトル空間（とりあえず内積は考えない）として、作用素（自己線形写像）P:V → V が P2 = P のとき射影〈projection〉と呼びます。I := idV, O := (VからVへのゼロ写像) とすると、I, O は射影です。2つの射影 P, Q:V →V が直交することを次のように定義します。
- P ⊥ Q :⇔ PQ = PQ = O （掛け算は線形写像の結合）
P ⊥ Q のとき P + Q も射影になります。また P' := I - P も射影です。Vの射影の全体を Proj(V) とすると、(Proj(V), ⊥, +, (-)', O, I) はエフェクト代数になります。ベクトル空間Vに内積が入るとより精密で物理的な議論ができます。物理（量子力学）的内容は、僕は知りません。
PS論理
上で紹介したファジー論理とエフェクト論理は、真偽値の集合とその代数構造から決まる論理で、構成の手法は古典述語論理に似ています。PS論理は、それとはちょっと別な原理と手法で構成されます。
'PS'は確率空間〈probability space〉のことです。PS論理の意味論〈モデル〉は確率空間の圏で与えられると考えます。つまり、propositions as probability spaces というモットーです。PSを、確率空間を対象として確率保存マルコフ核を射とする圏とします。構文とモデルを区別せずに、PSの対象（つまり確率空間）をPS論理の“命題”と呼ぶことにします。
A, B をPS論理の命題として、メタな判断として、次の形を考えます。
- 命題Aが何の仮定もなしに証明できることを |- A と書く。
- 命題Aを仮定すれば、命題Bが証明できることを A |- B と書く。
この判断の意味を圏PSで解釈すると：
- f:1 → A in PS という射が存在する。
- g:A → B in PS という射が存在する。
証明は射に対応します。古典論理のように、証明が存在する／しないだけが問題なのではなくて、どのような証明（あるいは証拠）であるかが重要な情報なので、証明（証拠、射）を添えて次のように書きましょう。
- |- A by f
- A |- B by g
この形の判断（あるいはシーケント）に対する操作（リーズニング）を体系化して論理を作ります。それがPS論理〈PS logic〉です。
PS論理には否定がなく*1、連言（「かつ」）と含意（「ならば」）が区別できないような変わった論理になります。PS論理の特徴的なリーズニングに仮定と結論の入れ替え（ベイズ反転）があります。
A |- B by f -------------- ベイズ反転 B |- A by f†
このリーズニングは、古典論理とは著しく違います。
PS論理の推論能力は弱く、非常に原始的な論理です。それゆえに、人間や猿・犬・猫・カラスのような、ある程度は知的な行動ができる動物が使っている論理をPS論理によりモデル化できるのではないかと思います。僕は、“極端に素朴な論理”としてのPS論理に興味がありますが、PS論理を洗練・拡充すれば、人間社会でも通用する実用論理になるかも知れません。
