本日（2022-01-17）2投目の小ネタ。$`\newcommand{\cat}[1]{ \mathcal{#1} }`$
上記2つの記事で、n-圏（n次元の圏）のk-射（k次元の射）の話をしました。
通常の圏（つまり1-圏）の議論に高次圏は出てこないと思うかも知れませんが、そうではありません。$`\cat{C}, \cat{D}`$ が2つの圏のとき、そのあいだの関手を考えますよね。$`F, G:\cat{C} \to \cat{D}`$ が2つの関手のとき、さらにそのあいだには自然変換 $`\alpha::F \Rightarrow G:\cat{C} \to \cat{D}`$ があります。圏、関手、自然変換の総体は2-圏（2次元の圏）を形成します。“圏達の2-圏”は圏論が扱う対象物です。
とりあえず、$`n = 0, 1, 2`$ に対するn-圏を考えるだけでもいいです。
- 0-圏とは、単なる集合
- 1-圏とは、通常の意味の圏
- 2-圏とは、“圏達の2-圏”のように2-射（2次元の射）を持つ圏
今、n ＜ k だとして、n-圏のk-射を過剰高次射〈excessively higher dimension〉と呼びました（「n-圏の過剰高次射と反転原理」参照）。過剰高次元の射〈morphism of excessively higher dimension〉と呼んでも同じです。
過剰高次射をどこまで認めるかでn-圏を分類するために、(N, m, n)-圏という概念を導入しました（「負次元の圏と(N, m, n)-圏」参照）。負次元の圏を認めるバエズの世界観・宇宙観から言うと、(n + 1, n, n)-圏が適切なn-圏です。しかし、バエズの世界観・宇宙観を絶対視する必要もありません。
利便性の観点から言うと、(∞, n, n)-圏が使いやすいn-圏だと僕は感じます。どんなn-圏でも、いくらでも高い次元の過剰高次射を持っているという立場です。(n + 1)次元の過剰高次射はn-射の等式、(n + 2)次元の過剰高次射は(n + 1)-射の等式、‥‥ 以下同様です。
すべてのn-圏は無限次元圏になります。では、n-圏の“次元n”という値が無意味かというと、そんなことはありません。値 n より大きな次元〈過剰高次元〉では次が成立しています。
- n-圏の過剰高次元部分はやせている。つまり、両端（域と余域）を指定された過剰高次射は高々ひとつしかない。
- n-圏の過剰高次元部分は可逆である。つまり、どんな過剰高次射も逆を持つ。
上記の2つの性質と、k-射にはその恒等(k + 1)-射が必ずひとつだけ存在するという性質を組み合わせると、等式的推論、等式推論のメタ推論、等式推論のメタ推論のメタ推論、‥‥ をうまく定式化できます。
「利便性（がある）」「使いやすい」と言った根拠は、等式的推論との相性の良さです。
