負次元の圏と(N, m, n)-圏 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)

「n-圏の過剰高次射と反転原理」は僕の雑感でした。雑感の続きを書きます。

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負次元の圏

一般に、すべてのn-圏を対象とする(n + 1)-圏を $n{\bf Cat}$ と書きます*1。“負次元の圏”と言い出したのはバエズ〈John C. Baez〉です。 $n = -1, -2$ の場合の $n{\bf Cat}$ を問題にしたわけです。

次元0周辺の $n{\bf Cat}$ を書くと：

$1{\bf Cat}_{\#1} = {\bf CAT}$
$0{\bf Cat}_{\#0} = {\bf Set} \in |{\bf CAT}|$
$(-1){\bf Cat}_{\#(-1)} = {\bf B} \in |{\bf Set}|$
$(-2){\bf Cat}_{\#(-2)} = 0 \in |{\bf B}| = {\bf B}$

ここで下付きの $\#r$ はグロタンディーク宇宙の番号で、次の系列をなしています。

$\quad {\bf U}_{-2} \in {\bf U}_{-1} \in {\bf U}_{0} \in {\bf U}_{1} \in \cdots$

宇宙の説明：

${\bf U}_{-2}$ ：空な宇宙。 ${\bf U}_{-2}$ ＝空集合＝偽として次の宇宙の要素（宇宙内存在物）になる。
${\bf U}_{-1}$ ：真偽値の集合*2。 ${\bf U}_{-1} = {\bf B} = \{0, 1\}$ 、 $0 = \emptyset = \{\} = \mathrm{False}$ と考える。二元集合として次の宇宙の要素（宇宙内存在物）になる。
${\bf U}_{0}$ ：無限集合も存在する標準的な宇宙。通常はこの宇宙内で作業する。
${\bf U}_{1}$ ：標準的な宇宙を要素（宇宙内存在物）として含むより大きな宇宙。

n-圏を対象とする(n + 1)-圏に関して説明すると：

n = 0 ： $0{\bf Cat}_{\#0}$ ：通常の集合圏。対象は宇宙 ${\bf U}_0$ の要素（宇宙内存在物）、つまり普通の小さい集合。 $0{\bf Cat}_{\#0}$ は1-圏。
n = -1 ： $(-1){\bf Cat}_{\#(-1)}$ ：ブール値の集合、 ${\bf B} = \{0, 1\}$ 。対象〈要素〉は宇宙 ${\bf U}_{-1}$ の要素（宇宙内存在物）、つまり真偽値。 $(-1){\bf Cat}_{\#(-1)}$ は0-圏〈集合〉。
n = -2 ： $(-2){\bf Cat}_{\#(-2)}$ ：定数値 $0$ 。宇宙 ${\bf U}_{-2}$ そのもの。 $(-2){\bf Cat}_{\#(-2)}$ は(-1)-圏〈真偽値〉。

$n \lt -2$ に対する $n{\bf Cat}$ は存在しません。

(N, m, n)-圏

前節で述べた世界観・宇宙観と、「等式的推論と高次圏論」で述べたような「すべての圏は無限次元圏である」という前提を包摂するために、圏の種別を3つのパラメータ (N, m, n) で分類することにします。

トータル順序集合〈totally ordered set〉としての自然数の集合に、最大元として $\infty$ を追加した順序集合を ${\bf N}_\infty$ と書くことにします。次を仮定します。

$N, m, n \in {\bf N}_\infty$
$m \le n \le N$

(N, m, n)-圏とは、次の性質を持つ圏のことです。

$N \lt k$ であるk-射は存在しない。
$n \lt k$ であるk-射は（それがあれば）すべて恒等射である。
$m \lt k$ であるk-射は（それがあれば）すべて可逆射である。

過剰高次射（「n-圏の過剰高次射と反転原理」参照）を一切認めないn-圏は(n, n, n)-圏になります。恒等射である過剰高次射をすべて認めるn-圏は(∞, n, n)-圏です。n-射の等式を(n + 1)-射と認めるだけなら(n + 1, n, n)-圏になります。

ジェイコブ・ルーリー〈Jacob Lurie〉が∞-圏と呼んでいる無限高次圏は(∞, 1, ∞)-圏と書けます。ホム圏が亜群になっている2-圏は(2, 1, 2)-圏であり、このタイプの圏に2-射の等式を認めれば(3, 1, 2)-圏となります。(∞, ∞, ∞)-圏は真性の無限圏で手に負えないシロモノです。

3つのパラメータ (N, m, n) で分類することは、単純な割に便利そうです

*1:以前はハイフンを入れて $n\text{-}{\bf Cat}$ と書いてましたが、ハイフンは豊饒圏〈豊穣圏〉で使おうと思いハイフン無しにしました。

*2: ${\bf U}_{-1}$ を、すべての遺伝的有限集合〈hereditarily finite set〉からなる宇宙とすることもあります。ここでは真偽値を使います。