昔、「具体的に具体的に具体的に具体的に」（4回繰り返し）というフレーズを使ったことがあります（「「具体的に具体的に具体的に具体的に」（4回繰り返し）とはどういうことか」参照）。これは、抽象的な議論を具体的に書く・語ることはできるが、曖昧な思弁的議論は具体化できない」といった文脈で使ったフレーズです。
「プロ関手のコエンド同値関係 // コイコライザー」で述べたコイコライザーは、そこで使う同値関係が分かりやすいものではありません。そこで、もう少し具体的に書いてみます。
コイコライザーを作るために与えられる〈given〉状況は次の図式です（可換性は言ってない）。$`\newcommand{\In}{ \text{ in } }
\newcommand{\Iff}{\Leftrightarrow}
`$
$`\xymatrix {
A \ar@/^/[r]^{f} \ar@/_/[r]_{g}
& B
} \In {\bf Set}`$
構成手順を踏んで、次のような $`p, Q`$ を作り出せます。
$`\xymatrix {
A \ar@/^/[r]^{f} \ar@/_/[r]_{g}
& B\ar[r]^{p}
& Q
} \text{ where } f;p = g;p \In {\bf Set}`$
上記の図式には可換性があります（とは言っても、$`f = g`$ の可換性はない）。単なる可換図式ではなくて、$`p, Q`$ が最初の図式の余極限を与えるものです。コイコライザー $`B \overset{p}{\to} Q`$ は強い条件を満たす射（ここでは写像）です。
さて、コイコライザーを具体的に作るとき、集合 $`B`$ に同値関係 $`\simeq`$ を入れて、商集合 $`Q := B/\simeq`$ を作りました。$`q`$ は商集合への標準射影でした。このときの同値関係 $`\simeq`$ はあまり分かりやすくありません。同値関係の作り方をより具体的に記述しておきます。
矢印記号 $`\to`$ は集合間の写像を表しますが、縦棒付き矢印記号 $`\mapsto`$ は要素間の対応を示します。要素間の対応を割り当て〈assignment〉と呼んで写像とは区別しましょう。写像と個別の割り当てをゴッチャにするのは良くありません（とてもマズい）。
ひとつの要素 $`s\in A`$ に対して、2つの割り当て
$`\quad s \mapsto y = f(s) \;\in B\\
\quad s \mapsto y' = g(s)\;\in B`$
がある状況は次のように図示できます。
$`\xymatrix {
{} & s \ar@{|->}[dl]_{f} \ar@{|->}[dr]^{g}
& {}\\
y & {} & y'
}`$
同値関係とは限らない関係 $`\sim \text{ on } B`$ は次のように定義しました。
$`\quad y \sim y' :\Iff \exists s\in A.\, y = f(s) \land y' = g(s)`$
つまり、図に描けば：
$`\xymatrix {
{} & s \ar@{|->}[dl]_{f} \ar@{|->}[dr]^{g}
& {}\\
y & {\sim} & y'
}`$
$`y \simeq z`$ であることは、次のような系列があることです。
$`\quad y \sim y_1\\
\quad y_1 \sim y_2\\
\quad \cdots\\
\quad y_{n - 1} \sim y_n = z
`$
$`n = 1`$ のときは $`y \sim z`$ だけです。n = 0 のときは $`y = z`$ と考えます。$`n = 2`$ のときを図示してみます。$`y_1 = y',\, y_2 = y''`$ と書いています。
$`\xymatrix {
{}
& s \ar@{|->}[dl]_{f} \ar@{|->}[dr]^{g}
& {}
& s' \ar@{|->}[dl]_{f} \ar@{|->}[dr]^{g}
& {}\\
y & {\sim} & y' & {\sim} & y''
}`$
$`y \sim y'`$ かつ $`y' \sim y''`$ なので $`y \simeq y''`$ です。
$`y \simeq z`$ という同値が成立するとは、（今の描画法で）左脚が $`f`$ 、右脚が $`g`$ である割り当てのスパンを何個か（0個でもよい）繋げると、$`y`$ から $`z`$ に到達できることです。このとき、対称的に $`z \simeq y`$ でもあるとみなします。
図の見た目からは、「二点が、割り当てスパンのジグザクで結べるときは同値」と言えます。これで、少しは具体的なイメージを持てるでしょう。
