圏または圏類似代数系〈category-like algebraic {system | structure}〉を対象とする圏において、既存の対象（圏または圏類似代数系）にk-射（k = 0, 1, 2, ...）の集合を付け足して拡張できるか？ という問題を考えます。この問題に肯定的に答えられるとき、つまり付け足して拡張がうまくいくとき、当該の“圏または圏類似代数系達の圏”において自由拡張原理が成立するといいます。自由拡張とは、付け足しに対する拡張のなかで最良のものです。
上記の説明は非常に漠然としています。ちゃんと定義しようとするとだいぶ手間がかかります。ここでは、自由拡張原理の最も簡単な例である、通常の圏達の圏における自由拡張原理を説明します。$`\newcommand{\cat}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}}
\newcommand{\mbf}[1]{\mathbf{#1}}
\newcommand{\msf}[1]{\mathsf{#1}}
\newcommand{\twoto}{\Rightarrow }
%\newcommand{\thrto}{\Rrightarrow }
\newcommand{\In}{\text{ in }}
\newcommand{\op}{\mathrm{op}}
%\newcommand{\id}{\mathrm{id}}
\newcommand{\u}[1]{\underline{#1}}
\newcommand{\o}[1]{\overline{#1}}
\newcommand{\hyp}{ \text{－} }
\newcommand{\H}{ \text{-} }
%\newcommand{\Iff}{ \Leftrightarrow }
\newcommand{\Imp}{ \Rightarrow }
\newcommand{\dimU}[2]{ {{#1}\!\updownarrow^{#2}} }
`$
内容：
圏達の圏
$`\mbf{Cat}`$ は、小さい圏達の2-圏です。一般に、小さいn-圏達の(n + 1)-圏を $`n\mbf{Cat}`$ と書きます。n-圏を対象とするk-圏はドクトリン〈doctrine〉とも呼びます。k = 0 ならn-圏達の集合、k = 1 ならn-圏達の1-圏、k = 2 ならn-圏達の2-圏です。n-圏を対象とするドクトリンは、必ずしも(n + 1)-圏である必要はありません。
$`\mbf{Cat}`$ は2-圏ですが、2-射を捨てた1-圏を次のように書きます。$`\dimU{\hyp}{\hyp}`$ という記法については「圏の次元調整」を参照してください。
$`\quad {_1\mbf{Cat}} := \dimU{\mbf{Cat}}{1}`$
$`{_1\mbf{Cat}}`$ は1-圏（通常の圏）なので：
$`\quad {_1\mbf{Cat}} \in |\mbf{CAT}|`$
$`X`$ を集合〈0-圏〉として、$`{_1\mbf{Cat}}[X]`$ は次のような圏だとします。
- 対象は、対象集合〈set of objects〉が $`X`$ である圏
- 射は、対象集合上で恒等である〈identity-on-objects〉関手
$`{_1\mbf{Cat}}[X]`$ は、小さい1-圏を対象とするドクトリンであり、ドクトリンの次元は 1 です。
圏 $`\cat{C}`$ に対して次の記法を使います。
- $`|\cat{C}|_0 := |\cat{C}| = \mrm{Ojb}(\cat{C})`$
- $`|\cat{C}|_1 := \mrm{Mor}(\cat{C})`$
- $`\cat{C}_{\le 0} := |\cat{C}|`$ （0-圏への切り落とし〈truncation〉）
- $`\cat{C}_{\le 1} := \cat{C}`$
$`\cat{C}_{\le 0}, \cat{C}_{\le 1}`$ は通常の圏に対しては全然面白くないですが、高次圏ではそれなりに意味があります。
ドクトリン（圏達の圏） $`{_1\mbf{Cat}}[X]`$ の対象 $`\cat{C}`$ を規定する条件は次のように書けます。
$`\quad \cat{C}_{\le 0} = |\cat{C}| = X`$
コンテイメントとアタッチメント
圏 $`\cat{C} \in |{_1\mbf{Cat}}[X]|`$ と集合 $`A`$ に対してコンテイメント*1／アタッチメントという写像／写像の族を考えます。コンテイメント／アタッチメントには次元が付随します。
| 次元 | コンテイメント | アタッチメント |
|---|---|---|
| 0 | 0-コンテイメント | 0-アタッチメント |
| 1 | 1-コンテイメント | 1-アタッチメント |
| 2 | 2-コンテイメント | 2-アタッチメント |
0-アタッチメントは、定義しようとすれば定義できますが、たいして意味がないので今回は定義しません。
$`k = 0, 1, 2`$ に対して、$`k`$-コンテイメント〈$`k`$-containment〉は次のような単射写像です。
$`\quad i: A \to |\cat{C}|_k`$ （単射）
$`k = 2`$ のときの $`|\cat{C}|_2`$ とは、射のあいだの等式の集合です。1-圏の2-射が等式である（とみなせる）ことは以下の過去記事参照：
集合 $`A`$ の圏 $`\cat{C}`$ への$`k`$-コンテイメントとは、集合 $`A`$ の要素を$`k`$-射だと思って $`\cat{C}`$ のなかに埋め込むことです。集合 $`A`$ の要素は、もともとは$`k`$-射ではないかも知れませんが、埋め込み〈単射〉$`i`$ を通じて $`\cat{C}`$ の$`k`$-射だと思ってかまいません。「要素を$`k`$-射だと思い込む」操作が$`k`$-コンテイメントです。
$`k = 1, 2`$ に対して、$`k`$-アタッチメント〈$`k`$-attachment〉は次のような写像のペアです。
$`\quad f^-, f^+ : A \to |\cat{C}|_{k - 1}`$
$`k = 1`$ のときは何の条件も付きませんが、$`k = 2`$ のときは次の条件が付きます。
$`\quad \forall x\in A.\, \mrm{dom}(f^-(x)) = \mrm{dom}(f^+(x))
\land \mrm{cod}(f^-(x)) = \mrm{cod}(f^-(x))
`$
つまり、$`\cat{C}`$ の射 $`f^-(x)`$ と $`f^+(x)`$ は、両端（域と余域）が一致している必要があります。図形的に言えば、ペア $`(f^-(x), f^+(x))`$ は2-射 $`x`$ の境界（円周の形）を形成します。
集合 $`A`$ の圏 $`\cat{C}`$ への$`k`$-アタッチメントとは、コンテイメントと同様に、集合 $`A`$ の要素を $`\cat{C}`$ の$`k`$-射のように思うことです。が、$`A`$ の要素 $`x`$ に $`\cat{C}`$ の$`k`$-射を対応させるわけではなくて、域〈ドメイン〉に相当する $`f^-(x)`$ と余域〈コドメイン〉に相当する $`f^+(x)`$ を指定します。$`A`$ の要素は圏 $`\cat{C}`$ のなかに入り込むわけではなくて、定義上は $`\cat{C}`$ の外部のモノと考えます。
コンテイメント付き圏、アタッチメント付き圏
圏 $`\cat{C}\in {_1\mbf{Cat}[X]}`$ と集合 $`A`$ からのコンテイメントを一緒にした構造を1-コンテイメント付き圏〈category with 1-containment〉と呼びます。
$`(\cat{C}, A, i)`$ と $`(\cat{D}, A, j)`$ を2つの1-コンテイメント付き圏とします。コンテイメントの域の集合 $`A`$ は同じです。2つの1-コンテイメント付き圏のあいだの準同型関手〈homomorphism functor〉は次の図式を可換にする関手 $`F:\cat{C}\to\cat{D}`$ です。
$`\quad \xymatrix{
{}
&A \ar[dl]_i \ar[dr]^j
&{}
\\
{|\cat{C}|_1} \ar[rr]_{|F|_1}
&{}
&{|\cat{D}|_1}
}\\
\quad \text{commutative }\In \mbf{Set}
`$
ここで、$`|F|_1`$ は関手 $`F`$ の射パート $`F_{\mrm{mor}}`$ のことです。
$`A`$ からの1-コンテイメント付き圏達と、コンテイメントを保存する関手〈準同型関手〉達からなる圏を次のように書きます。
$`\quad {_1\mbf{Cat}}[X][\text{1-contain }A]`$
長ったらしい書き方ですが、情報はちゃんと盛り込んでいます。$`X`$ が何であるかも注釈するなら：
$`\quad {_1\mbf{Cat}}[\text{0-truncate } X][\text{1-contain }A]`$
さて、圏 $`\cat{C}\in {_1\mbf{Cat}[X]}`$ と集合 $`A`$ からの1-アタッチメントを一緒にした構造は1-アタッチメント付き圏〈category with 1-attachment〉です。
$`(\cat{C}, A, (f^-, f^+))`$ と $`(\cat{D}, A, (g^-, g^+))`$ を2つの1-アタッチメント付き圏とします。アタッチメントの域の集合 $`A`$ は同じです。2つの1-アタッチメント付き圏のあいだの準同型関手〈homomorphism functor〉は次の図式を可換にする関手 $`F:\cat{C}\to\cat{D}`$ です。
$`\quad \xymatrix{
{}
&A \ar[dl]_{f^-} \ar[dr]^{g^-}
&{}
\\
{|\cat{C}|_0} \ar[rr]_{|F|_0}
&{}
&{|\cat{D}|_0}
\\
{}
&A \ar[dl]_{f^+} \ar[dr]^{g^+}
&{}
\\
{|\cat{C}|_0} \ar[rr]_{|F|_0}
&{}
&{|\cat{D}|_0}
}\\
\quad \text{commutative }\In \mbf{Set}
`$
ここで、$`|F|_0`$ は関手 $`F`$ の対象パート $`F_{\mrm{obj}}`$ のことです。定義より、$`F_{\mrm{obj}}`$ は集合 $`X`$ の恒等写像だったので、上の可換図式は以下の等式になります。
$`\quad f^- = g^-`$
$`\quad f^+ = g^+`$
$`A`$ からの1-アタッチメント付き圏達と、アタッチメントを保存する関手〈準同型関手〉達からなる圏を次のように書きます。
$`\quad {_1\mbf{Cat}}[X][\text{1-attach }A]`$
圏 $`{_1\mbf{Cat}}[X]`$ の射である任意の関手がアタッチメントを保存するので、「アタッチメントを保存する」という条件は何の制限にもならないのですが、名目上付けておきます。後で名目上の条件を使うことがあります。
アタッチメントに対する自由拡張
1-コンテイメント付き圏を $`\cat{C}`$ と書いたとき、構成素達は次のように書くことにします。
$`\quad \cat{C} = (\u{\cat{C}}, \mrm{cont}_\cat{C})`$
ここで：
$`\quad \u{\cat{C}} \in |\mbf{Cat}|`$
$`\quad \mrm{cont}_\cat{C}: A \to |\u{\cat{C}}|_1 \In \mbf{Set}`$
記号の乱用で次のように書くこともあります。
$`\cat{C} = ({\cat{C}}, \mrm{cont}_\cat{C})`$
1-アタッチメント付き圏を $`\cat{D}`$ と書いたとき、構成素達は次のように書くことにします。
$`\quad \cat{D} = (\u{\cat{D}}, \mrm{att}^-_\cat{D}, \mrm{att}^+_\cat{D})`$
ここで：
$`\quad \u{\cat{D}}\in |\mbf{Cat}|`$
$`\quad \mrm{att}^-_\cat{D}: A \to |\u{\cat{D}}|_0 \In \mbf{Set}`$
$`\quad \mrm{att}^+_\cat{D}: A \to |\u{\cat{D}}|_0 \In \mbf{Set}`$
記号の乱用についても同様です。
ある種の忘却関手 $`U`$ を考えます。
$`\text{For }\cat{C}\in |{_1\mbf{Cat}}[X][\text{1-contain }A]|\\
\text{Let }\cat{C'} := U(\cat{C}) \;\in |{_1\mbf{Cat}}[X][\text{1-attach }A]|\\
\quad \u{\cat{C'}} := \u{\cat{C}} \;\in |\mbf{Cat}|\\
\quad \mrm{att}^-_{\cat{C'}} := \mrm{cont}_\cat{C} ; \mrm{dom} \;: A \to |\cat{C}|_0\\
\quad \mrm{att}^+_{\cat{C'}} := \mrm{cont}_\cat{C} ; \mrm{cod} \;: A \to |\cat{C}|_0
`$
1-コンテイメント付き圏 $`\cat{C}`$ から作られた $`\cat{C'} = U(\cat{C})`$ は、明らかに1-アタッチメント付き圏です。1-コンテイメント付き圏のあいだの準同型関手 $`F:\cat{C}\to\cat{D}`$ に対する $`U`$ の定義も容易に推測できるでしょう。$`U`$ は次のような関手になります。
$`\quad U: {_1\mbf{Cat}}[X][\text{1-contain }A] \to {_1\mbf{Cat}}[X][\text{1-attach }A]
\In \mbf{Cat}
`$
この記事の冒頭で述べた問題の1次元バージョンは次の問題です。
- 関手 $`U`$ の左随伴関手は存在するか？
もし $`U`$ の左随伴関手 $`F`$ が在れば、次の“自然なホムセット同型”が成立します。
$`\text{For } \cat{C} \in |{_1\mbf{Cat}}[X][\text{1-contain }A]|\\
\text{For } \cat{D} \in |{_1\mbf{Cat}}[X][\text{1-attach }A]|\\
\quad {_1\mbf{Cat}}[X][\text{1-contain }A](F(\cat{D}), \cat{C})
\cong {_1\mbf{Cat}}[X][\text{1-attache }A]( \cat{D}, U(\cat{C}) )
\In \mbf{Set}
`$
$`U`$ の左随伴関手 $`F`$ を（もしそれが存在するならば）1-アタッチメントの自由拡張関手〈free extension functor〉と呼びます。
自由拡張を、始対象として特徴付ける
特定の1-アタッチメント付き圏 $`\cat{D}`$ に対して、その自由拡張である1-コンテイメント付き圏を求める問題を考えます。求めるべき未知の1-コンテイメント付き圏を $`\cat{W}`$ と書くとして、随伴系のホムセット同型は次のように書くことができます。ハイフンのところには任意の1-コンテイメント付き圏（例えば $`\cat{C}`$）を入れることができます。
$`\text{For } \cat{D} \in |{_1\mbf{Cat}}[X][\text{1-attach }A]|\\
\quad {_1\mbf{Cat}}[X][\text{1-contain }A](\cat{W}, \hyp)
\cong {_1\mbf{Cat}}[X][\text{1-attache }A]( \cat{D}, U(\hyp) )
\In \mbf{Set}
`$
ゴチャゴチャして視認性が悪いので、この節から次の略記を採用します。
$`\quad A\H\mbf{Cont} := {_1\mbf{Cat}}[X][\text{1-contain }A]\\
\quad A\H\mbf{Att} := {_1\mbf{Cat}}[X][\text{1-attach }A]
`$
略記を使うとスッキリします。が、情報の一部（例えば、$`X`$）は暗黙化されます。
$`\text{For } \cat{D} \in |A\H\mbf{Att}|\\
\quad A\H\mbf{Cont}(\cat{W}, \hyp)
\cong A\H\mbf{Att}( \cat{D}, U(\hyp) )
\In \mbf{Set}
`$
この問題の状況は「アドホック随伴問題と自由対象の求め方」で述べた状況（問題設定）と同じです。未知の圏 $`\cat{W}`$ は、$`U`$ でラップしたアンダー圏〈U-wrapped under category〉*2の始対象として得られます。
今の状況（問題設定）において、$`U`$ でラップしたアンダー圏を構成します。$`\cat{C}\in |A\H\mbf{Att}|`$ に対して、$`U`$ でラップしたアンダー圏の対象は、次のような関手です。
$`\quad F: \cat{C} \to U(\cat{D}) \In A\H\mbf{Att}`$
関手 $`F`$ は、集合 $`A`$ の1-アタッチメントを保存する必要があるので、次の図式の可換性が要求されます。$`\pm`$ は“複号同順”で解釈します。
$`\quad \xymatrix{
{}
&A \ar[dl]_{\mrm{att}^{\pm}_{\cat{C}} }
\ar[dr]^{\mrm{att}^{\pm}_{U(\cat{D}) } }
&{}
\\
{|\cat{C}|} \ar[rr]_{|F|_0}
&{}
&{|U(\cat{D})|}
}\\
\quad \text{commutative }\In \mbf{Set}
`$
$`\cat{C}`$ と $`U(\cat{D})`$ は対象集合を共有し、$`|F|_0`$ は恒等写像です。よって、上の可換図式は次の形になります。
$`\quad \xymatrix{
&A \ar@/_/[d]_{\mrm{att}^{\pm}_{\cat{C}} }
\ar@/^/[d]^{\mrm{att}^{\pm}_{U(\cat{D}) } }
\\
&{X}
}\\
\quad \text{commutative }\In \mbf{Set}
`$
可換性を具体的な等式に書き下せば：
$`\forall x\in A.\\
\quad
\left\{
\begin{array}{l}
\mrm{att}^-_{\cat{C}}(x) = \mrm{dom}( \mrm{cont}_\cat{D}(x) ) \\
\mrm{att}^+_{\cat{C}}(x) = \mrm{cod}( \mrm{cont}_\cat{D}(x) ) \\
\end{array}
\right.
`$
$`F`$ は、$`\cat{C}`$ の1-アタッチメントを、$`\cat{D}`$ の1-コンテイメントとして実現する関手です。1-アタッチメントを包み込むように、$`\cat{C}`$ を膨らました圏が $`\cat{D}`$ だと言えます。その意味で $`\cat{D}`$ は、1-アタッチメント付き圏 $`\cat{D}`$ の“拡張”です。2つの拡張のあいだの射は、次のような関手 $`\Phi`$ です。
$`\quad \xymatrix{
{}
&\cat{C} \ar[dl]_F \ar[dr]^G
&{}
\\
U(\cat{D}) \ar[rr]_{U(\Phi)}
&{}
&U(\cat{E})
}\\
\quad \text{commutative }\In A\H\mbf{Att}
`$
このような圏（$`U`$ でラップしたアンダー圏）の始対象を $`J:\cat{C} \to U(\cat{W})`$ とします。$`(\cat{W}, J)`$ で与えられる“拡張”は、最良の（あるいは最小の）“拡張”です。任意の“拡張” $`(\cat{D}, F)`$ に対して、一意的な“拡張のあいだの射”が存在します。
$`\quad \xymatrix{
{}
&\cat{C} \ar[dl]_J \ar[dr]^F
&{}
\\
U(\cat{W}) \ar@{.>}[rr]_{U(?)}
&{}
&U(\cat{D})
}\\
\quad \text{commutative }\In A\H\mbf{Att}
`$
上の図式の点線と疑問符を埋める唯一の射が存在します。それを $`\theta_F`$ とします。
$`\quad \theta_F : \cat{W} \to \cat{D} \In A\H\mbf{Cont}\\
\quad \xymatrix{
{}
&\cat{C} \ar[dl]_J \ar[dr]^F
&{}
\\
U(\cat{W}) \ar[rr]_{U(\theta_F)}
&{}
&U(\cat{D})
}\\
\quad \text{commutative }\In A\H\mbf{Att}
`$
$`\theta_F`$ は、$`U`$ でラップしたアンダー圏における $`F`$ への始射（始対象からの唯一の射）です。
$`\cat{W}\in |A\H\mbf{Cont}|`$ と $`J`$ で作られる拡張（$`U`$ でラップしたアンダー圏の対象）を、1-アタッチメント付き圏 $`\cat{C}`$ の自由拡張〈free extension〉と呼びます。1-アタッチメントと1-アタッチメント付き圏を区別する必要はあまりないので、単に1-アタッチメントの自由拡張ともいいます。
1-アタッチメントの自由拡張は、もとの圏に新しい射を追加して作られた圏と考えられます。追加した射以外に、それら（新規の射達）を含む結合〈composition | composite〉達も追加する必要があります。最小限の追加により作られた圏が自由拡張です。1-アタッチメントの自由拡張は始対象として定義されているので、もし存在するならup-to-isoで一意的です。
そしてそれから
2-アタッチメントに対する自由拡張を考えると、それは既存の射を同一視する同値関係を入れることになります。2-アタッチメントに対する自由拡張は、もとの圏を膨らませるのではなくて（商集合構成で）縮小させています。しかし、2-アタッチメントを2-コンテイメントとみなす最良の方法を与える、という意味では1-アタッチメントのときと同じです。「自由」は「最良」の意味、「拡張」は「変更」の意味です。
この記事は1-圏の自由拡張しか扱ってませんが、厳密ω-圏における自由拡張は次のホタンの論文に書いてあります。
- [HoT18-22]
- Title: The Equivalence between Many-to-One Polygraphs and Opetopic Sets
- Author: Cédric Ho Thanh
- Submitted: 22 Jun 2018 (v1), 22 Sep 2021 (v4)
- Pages: 26p
- URL: https://arxiv.org/abs/1806.08645
もっと一般的に、形状付き集合を台とする代数系（「スケマティック」でスケマティック系〈schematic system〉と呼んだもの）達の圏において、自由拡張原理（自由拡張の存在問題）を考えることが出来ると思います。
