「代数」「モノイド」という言葉の意味や使い分けは、人によってバラバラで、その場で文脈によって判断するしかないでしょうね。でも、自分が使うときのために、ある程度のルールを決めておきたいと思います。
分類と呼び方の方針
- 「モノイド」と「代数」は区別しないで同義語として扱う。ただし、気持ちで使い分けることはある。恣意的・偶発的な区別となる。
- 「マグマ」と「代数」は区別するように努力する。モナドを語る文脈では、完全に区別して使う。
モノイドと代数を区別するのはどうも無理そうなので、原則として同義語として使います。モノイド圏 C = (C, □, I) があるとき、A∈|C| と m:A□A→A, e:I→A の組 (A, m, e) が結合律と単位律を満たすならC内のモノイドです。これはまた、C内の代数とも呼ばれます。
ベースとなる圏が加法圏や半加法圏であるときには「代数」を使い、足し算が入ってないときは「モノイド」を使うのが良さそうですが、曖昧なケースもあるのでどうせ徹底はできません。それと僕は、「代数」という呼び名が好きではなくて、足し算と掛け算を持つような代数系には古臭い言葉「多元環」を使っています*1。
自己関手のマグマと代数
Cの自己関手Fがあると、A∈|C| と a:F(A)→A の組 (A, a) はFマグマと呼びます。これをF代数と呼ぶこともあります。何の法則もないならマグマ、（暗黙にでも）法則が入るなら代数と呼び分けたいところです。しかし、単なる射 F(A)→A in C であっても、Cの性質から既に法則性を備えている場合もあるので、マグマと代数の区別も難しいです。
ただし、関手Fがモナド (F, η, μ) の台関手のときは、F代数はモナドの代数、つまりアイレンベルク／ムーア圏の対象の意味で使うべきでしょう。モナドのη、μとの協調性を仮定しない F(A)→A はFマグマということになります。
余、双、両
矢印の向きを逆にすれば、余モノイド、余代数、余マグマが定義できます。これらの双対（余）概念は特に問題はないでしょう。
「双」という形容詞に、一般的で一貫した意味を与えるために、圏Cの自己関手Fに対する双代数の概念を考えます。A∈|C| として、F代数 (A, a:F(A)→A) と F余代数 (A, b:A→F(A)) があるとします。
これらを一緒にした (A, a, b) を考えただけでは双代数になりません。β::FF⇒FF:C→C という自然変換を追加して、次の図式（五角形になります）が可換になるものを考えます。[追記] ちゃんとした五角形の絵を「双代数と双モノイド」に描きました。[/追記]
F(A) - F(b) -> F(F(A)) - β -> F(F(A))
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a F(a)
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v v
A --- b ----> -------------> F(A)
等式で書けば：
- a;b = F(b);βA;F(a)
βの存在が鬱陶しいようですが、これはベックの分配法則に相当するもので、2つの演算を扱うような状況ではたいてい必要になります。βの典型的な例は、F(X) = X×X、σが対称だとして βA := idA×σA,A×idA と定義される場合です。
以上のような筋書きで、自己関手Fと自然変換βに関して、Fβ双代数（Fβ双モノイド）が定義できます。βの作り方が前提されているなら、単にF双代数（F双モノイド）と言ってもいいでしょう。対称モノイド圏のなかのモノイドに関しては、F(X) = X□X に関するF双代数は通常の双代数（双モノイド）になります。このときのβは、モノイド圏の結合律同型と対称σを使って作った (A□A)□(A□A)→A□(A□A)□A-(A□σ□A)→(A□A)□(A□A) という射の集まりです。
双代数においても、演算の指標（と余指標）を与える自己関手はひとつです。2つの関手 F, G:C→C を使って c:F(A)→G(A) と書けるよような演算cを備えた“代数” (A, c) が、両代数（dialgebra）です。法則性を仮定しない場合は両マグマと呼べばいいでしょう。両マグマの定義は特に難しくはありませんが、両マグマに法則を入れるのはどうしたらいいか、僕は分かっていません。
複数の指標関手
(A, m, e) が普通のモノイド、つまり集合圏のモノイドとします。F(X) := 1 + X×X という関手を考えれば、モノイドはFマグマに法則を入れたものです。乗法mと単位元eは、余タプルを使えば a = [e, m] : (1 + A×A)→A と1つの演算aにまとめることができます。
しかし、直和がない圏では余タプルが使えないし、単一の指標関手／演算にまとめるのがいつでも便利とは限りません。F1(X) = 1, F2(X) = X×X のような2つの関手に分けて、同一の台対象上のF1マグマとF2マグマを考えて組み合わせたほうがいいときもあります。
