微分はライプニッツ法則に支配されている - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)

一昨日某所にて、「微分計算は、線形性とライプニッツ法則があれば OK」みたいな話が出ました。これがウソではない傍証として、とある状況において、ライプニッツ法則を満たす線形作用素は、我々が知っている「あの微分」に限ることを見てみましょう。

内容：

相対可換環の導分
ユークリッド空間上の関数ジャームの空間
関数ジャーム可換環の実数値の導分
導分の有限次元表示
有限次元性の証明

シリーズ目次：

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相対可換環の導分

議論を代数的に行うので、代数的な概念を幾つか導入しておきます。

KとAは可換環とします。'K'と書くと体のような感じがするでしょうし、実際にKが体の場合が多いのですが、「体である」とは言ってません、可換環です。ここに、可換環の準同型写像 σ:K→A があるとき、これらの組 (K, A, σ) を相対可換環〈relative commutative ring〉と呼びます*1。

習慣により、相対可換環 (K, A, σ) を A/K と書きます*2。スラッシュは商をとっているわけではなくて、"A over K" と読みます。このスラッシュには要注意！ σ:K→A は、建前としては単射とは仮定していません。でも、単射でないときは K/Ker(σ) （今度のスラッシュは、イデアルによる商）を新たにKと置いて、σは単射と仮定してもかまいません。つまり、K⊆A とみなしていいわけです。K⊆A であるなら、r∈K に対して、σ(r)∈A を単に r と書いても同じですから、そう書きます（若干、混乱の危険がありますが）。

さて、写像 D:A→A が、A/Kの導分〈derivation〉だとは、次が成立することです。

Dは、Kに関して線形である。
1. a, b∈A に対して、D(a + b) = D(a) + D(b)
2. r∈K, a∈A に対して、D(ra) = r(D(a))
Dは、ライプニッツ法則を満たす。D(ab) = (D(a))b + a(D(b))

以下、D(a) を Da のようにも書きます。

相対可換環A/Kの導分の全体を Der(A/K) または Der_K(A) と書きます。

次に、MをA-加群とします。Aは可換だったので、左加群と右加群の区別をする必要はありません。AがMに（左または右または左右から）作用しているので、KもMに作用し、MはK-加群にもなります。AまたはKによるMへの作用（スカラー乗法）は、ドット'・'で書くことにします。

写像 D:A→M が、A/KのMに値を持つ導分〈derivation〉だとは、次が成立することです。

Dは、Kに関して線形である。
1. a, b∈A に対して、D(a + b) = Da + Db in M
2. r∈K, a∈A に対して、D(ra) = rDa in M
Dは、環の乗法（無印）とスカラー乗法'・'に対して、ライプニッツ法則を満たす。D(ab) = (Da)・b + a・(Db) in M

相対可換環A/KのMに値を持つ導分の全体を Der(A/K, M) または Der_K(A, M) または Der_A/K(M) と書きます。先の「A/Kの導分」は、「A/KのAに値を持つ導分」ですから、Der(A/K) = Der(A/K, A) です。

ちなみに、導分を微分〈differential〉と呼んでもかまいませんが、ここでは、代数的に定義される作用素なので微分とは別な言葉を使いました。

ユークリッド空間上の関数ジャームの空間

関数fの一点aでの微分係数は、fの、点aのまわりの局所的な振る舞いで決まります。このことをハッキリと述べるために、関数ジャームの空間を定義します。もっとも、関数ジャームの空間を作るのが面倒なら、代わりに、適当な開集合Uに対する C^∞(U) でも大差ないです*3。

ここから先、U, V などは、Rⁿの原点（'0'と書く）を含む開集合とします。

C^∞(U) = {f:U→R | fは、U上で定義された何回でも微分可能な関数}

f∈C^∞(U) と g∈C^∞(V) が、原点のまわりでの振る舞いが同じことを f ～ g と書きましょう。～の定義は：

f ～ g :⇔ 0∈W, W⊆U, W⊆V である開集合Wが存在して、f|_W = g|_W

ここで、f|_W は、fの定義域をWに制限した関数です。

～は同値関係になりますが、その同値関係が載る集合は次のような大きな集合です。

$\bigcup_{U\in Open({\bf R}^n, 0)}C^\infty(U)$

ここで、Open(Rⁿ, 0) は、Rⁿの原点を含む開集合からなる集合とします。

関数ジャームの空間 C^∞Germ(Rⁿ, 0) は次の商集合です。

$C^{\infty}Germ({\bf R}^n, 0 ) := (\bigcup_{U\in Open({\bf R}^n, 0)}C^\infty(U))/\sim$

要するに、0の近くで同じ関数は同一視してしまった関数集合が C^∞Germ(R, 0) です。C^∞Germ(R, 0) の要素を（0における）関数ジャーム〈germ of a function〉と呼びます*4。関数ジャームは、適当なUに対するC^∞(U)の要素f（普通の関数）を用いて、[f]（fの同値類）の形で表せます。

関数ジャーム可換環の実数値の導分

関数ジャームの空間 C^∞Germ(Rⁿ, 0) は、自明な方法で可換環になります。

足し算： [f] + [g] := [f + g]
掛け算： [f][g] := [fg]

実数を定数関数とみなすことにより、可換環の準同型写像 σ:R→C^∞Germ(Rⁿ, 0) を定義できます。したがって、(C^∞Germ(Rⁿ, 0), R, σ) = C^∞Germ(Rⁿ, 0)/R は相対可換環になります。この例では、Rは体で、σは単射準同型写像です。

次に、加法群としてのRを、可換環C^∞Germ(Rⁿ, 0)/R上の加群とみなしましょう。係数環がC^∞Germ(Rⁿ, 0)/Rで、加群の台加法群〈underlying additive group〉がRですから注意してください。

関数ジャーム φ = [f] による実数rへの作用（スカラー乗法）は：

左から： φ・r := φ(0)r
右から： r・φ := rφ(0)

ここで、φ(0) = f(0) ですが、代表元fの取り方によらずに決まる実数値です。

いま定義したスカラー乗法'・'により、Rは関数ジャーム可換環C^∞Germ(Rⁿ, 0)上の加群となり、必然的に相対可換環 C^∞Germ(Rⁿ, 0)/R 上の加群となります。

以上のセットアップで、相対可換環 C^∞Germ(Rⁿ, 0)/R のRに値を持つ導分の集合 Der(C^∞Germ(Rⁿ, 0)/R, R) を考えることができるようになりました。

Der(C^∞Germ(Rⁿ, 0)/R, R) が、実数体R上のベクトル空間になることは容易に分かります。さて、どんなベクトル空間なのでしょうか？有限次元でしょうか？有限次元ならどんな基底を取れるでしょうか？ -- 次節と次々節でこの疑問に答えましょう。

導分の有限次元表示

X∈Der(C^∞Germ(Rⁿ, 0)/R, R) とします。つまり、Xは関数ジャーム可換環のRに値を持つ導分 X:C^∞Germ(Rⁿ, 0)→R です。導分Xは、実は次の形に書けます。

$X = \sum_{i=0}^n \xi^i (\partial_i|_0)$

ここで、ξⁱ達はn個の実数です。添字を上にしたのは習慣に従ってです。∂_i|₀ は、関数（のジャーム）の原点0における第i偏微分係数を取る作用素です。

$(\partial_i|_0)[f] := [(D_i f)(0)]$

いちいちジャームとしての同値類を取る（ブラケットを付ける）のが煩雑なら、次のように書いてもかまいません*5。

$(\partial_i|_0)f := (D_i f)(0) = (\frac{\partial}{\partial x^i} f)(0)$

作用素 $(\partial_i|_0)$ は、関数に作用するとみても、ジャームに作用するとみてもかまいません。テキトーに融通してください。

先の表示 $X = \sum_{i=0}^n \xi^i (\partial_i|_0)$ におけるξⁱ達は一意に決まります。つまり、R上のベクトル空間 Der(C^∞Germ(Rⁿ, 0)/R, R) は、基底 {(∂₁|₀), (∂₂|₀), ..., (∂_n|₀)} を持つ有限次元ベクトル空間なのです。そのことを次節で示します。

有限次元性の証明

引き続き X∈Der(C^∞Germ(Rⁿ, 0)/R, R) とします。

X1 = 0 はすぐにわかります。なぜなら… … … ウーンと、困ったな、1と1のジャーム可換環内での積をどう書こうか？ '11'だとジュウイチになるし、'1・1'はスカラー乗法と約束したし… 1×1 にするわ。

For 1∈C^∞Germ(Rⁿ, 0),
X1 = X(1×1) = (X1)・1 + 1・(X1) in R

よって、

For 1∈C^∞Germ(Rⁿ, 0),
X1 = X1 + X1 in R

Rの要素でこれを満たすのは0だけなので、X1 = 0 です。導分はR-線形だったので、r∈R に対して、

For 1∈C^∞Germ(Rⁿ, 0),
X(r1) = r(X1) = r0 = 0 in R

これより、定数関数の導分（の結果）はゼロです。

次に、φ(0) = 0, ψ(0) = 0 のとき、X(φψ) = 0 です。なぜなら、

For φ, ψ∈C^∞Germ(Rⁿ, 0),
X(φψ) = (Xφ)・ψ + φ・(Xψ) in R

さらに、スカラー乗法'・'の定義と φ, ψ に関する仮定により、

(Xφ)・ψ + φ・(Xψ) = (Xφ)ψ(0) + φ(0)(Xψ) = (Xφ)0 + 0(Xψ) = 0

以上で補題が準備できました。

補題1： r∈R に対して、X(r1) = 0
補題2： φ(0) = 0, ψ(0) = 0 ならば、X(φψ) = 0

微分の話をするので、100%代数的というわけにはいきません。解析からの結果も使います。0∈U⊆Rⁿ は開集合だとして、関数 f∈C^∞(U) は、次のようにテイラー／マクローリン展開できます*6 。

$f(x) = f(0) + \sum_{i=1}^n (\frac{\partial f}{\partial x^i}(0))x^i + \sum_{i=1}^n g_i(x)x^i$

ここで、g_iは、g_i(0) = 0 である関数です。偏微分係数 $\frac{\partial f}{\partial x^i}(0)$ は実定数なので、

$a_i := \frac{\partial f}{\partial x^i}(0)$

と置きます。また、（下の二番目に出てくるλはラムダ記法のλです。）

$\phi = [f]$
$\pi^i = [\lambda x \in {\bf R}^n.(x^i)]$
$\psi_i = [g_i]$

と置くと、上のテイラー／マクローリン展開を関数ジャームの等式に落とせます。

$\phi = f(0) + \sum_{i=1}^n a_i\pi^i + \sum_{i=1}^n \psi_i \pi^i \:\:\:\: in\: C^{\infty}Germ({\bf R}^n, 0)$

φ = [f] に導分Xを作用させてみると、Xの線形性により：

$X\phi = X(f(0) + \sum_{i=1}^n a_i\pi^i + \sum_{i=1}^n \psi_i \pi^i) \\ \:\:\ = X(f(0)) + \sum_{i=1}^n a_i X(\pi^i) + \sum_{i=1}^n X(\psi_i \pi^i)$

補題1と補題2により、第1項と後半の総和は消えてしまうので、

$X\phi = \sum_{i=1}^n a_iX(\pi^i)$

ξⁱ = X(πⁱ) と置いて、a_i達を（形を変えて）偏微分係数に戻すと：

$X\phi = \sum_{i=1}^n \xi^i (\partial_i|_0)(\phi)$

これで目的の等式が得られました。

まとめると；任意の導分 X:C^∞Germ(Rⁿ, 0)→R は、基底 {(∂₁|₀), (∂₂|₀), ..., (∂_n|₀)}⊆C^∞Germ(Rⁿ, 0) のR-線形結合として書けます。

$X = \sum_{i=1}^n \xi^i (\partial_i|_0)$

このときの実数係数ξⁱは、

$\xi^i = X(\pi^i)$

別な言い方をすると、写像 $X \mapsto (X(\pi^i))_{i=1,\cdots,n}$ が、Der(C^∞Germ(Rⁿ, 0)/R, R)→Rⁿ というベクトル空間のあいだの同型を与えます。

Der(C^∞Germ(Rⁿ, 0)/R, R) $\stackrel{\sim}{=}$ Rⁿ 基底 (∂_i|₀)達による同型

*1:[追記]AはK-可換代数〈K-可換多元環〉だと言っても同じです。また、CRingを可換環の圏だとして、アンダー圏 ^K/CRing の対象が相対可換環だとも言えます。Kを固定しないなら、関手圏 [{・→・}, CRing] の対象が相対可換環になります。[/追記]