圏の対象は集合とは限らないし、集合と思い込むのは危険です。しかし、圏の対象を集合のように扱えると便利な場面はあります。A、Bが圏Cの対象のとき、集合の包含関係に類似した関係 A⊆B を定義できないでしょうか。
圏C内に、モノ射 m:A→B があれば、A⊆B のように思えます。しかし、モノ射mは一意的には決まりません。そこで、A, Bに対して一意的にモノ射が確定するような状況を考えます。一意的に決まるモノ射を（それがあれば）jA,B:A→B と書くことにします。そのようなjA,Bを（A,Bを動かして）全部寄せ集めたクラスをJと書きます。
Jの性質を書き下しましょう。がその前に、2つの言葉を準備します； やせた圏（thin category）とは、ホムセットが空集合か単元集合である圏です。ある圏Cの部分圏Dが広い部分圏（broad subcategory, wide subcategory）とは、|D| = |C| のことです。
さて、Jは、圏Cの部分圏として次の性質を持ちます。
- Jに属する射はすべてモノ射である。
- Jはやせた部分圏である。
- Jは広い部分圏である。
このような部分圏Jを持つ圏Cは、包含付き圏（category with inclusions）と呼び、Jを包含の部分圏（subcategory of inclusions）、Jに含まれる射は包含射または単に包含（inclusion）と呼びます。モノ射の条件を外すこともありますが、ここでは仮定しておきます*1。
(C, J)を包含付き圏として、ここであらためて次のように定義します。
- A⊆B ⇔ Jの射 jA,B:A→B が存在する
Jの性質から、jA,Bが存在するならそれは一意的です。次の性質は容易に示せます（練習問題）。
- A⊆A
- A⊆B、B⊆C ならば A⊆C
- A⊆B、B⊆A ならば AとBは同型
部分圏Jにより、Cはプレ順序構造を持ちます。しかし、「A⊆B、B⊆A ならば A = B」は示せません。同型とホントに同じことは違います。多くの応用では、Cが順序構造になること「A⊆B、B⊆A ならば A = B」も要求します。Jに関する条件で書けば：
- J(A, B)が空でなく、J(B, A)も空でないなら A = B 。
包含の部分圏Jにこの条件まで仮定することがあります（それが多数派かも*2）。さらに、集合の共通部分や合併と類似の演算を、引き戻し（ファイバー積）、押し出し（ファイバー余積、融合和）により定義できることまで要求することもあります。
包含の条件をきつくして、包含に関してさまざまな演算が出来ることまで前提すると、圏全体がだんだん集合束と似た感じになってくるわけです。
