「半群の上の畳み込み積」において、使用する半群Sに次の条件を付けました。
- 任意の a∈ S に対して、a = x・y となる組み合わせ (x, y) は有限個しかない。
これは、畳み込み積を定義するためです。Hを半環として、α, β:S→H という関数α, βに対して、これらの畳み込み積は次のように定義されます。
- (α*β)(z) := Σ(z = x・y | α(x)・β(y))
シグマは総和ですが、(x, y) が無限個になってしまうと、総和を取れることが保証できないのです。
無限個の要素の総和が取れるかどうかは、半環Hの性質なので、Hの条件として「無限個の総和が取れる」を追加すれば、因数分解の有限性条件は不要になります。
「無限」と言ってもいろいろな大きさがあります。計算（コンピューティング）の話では可算無限だけでもたいていは間に合います。また、足し算しか出てこないので、半環というよりは可換モノイドの話になります。
以下に、可換モノイド M = (M, +, 0) がω-総和可能（ω-summable）であることを定義します。ωは、「可算無限まで」を意味する符丁です。
I, J, Kなどは高々可算な集合だとします。x:I→M という写像を (xi| i∈I) という形でも書きます。任意の (xi| i∈I) に対して、それの総和と呼ばれるMの要素 Σ(xi| i∈I) が定まっているとします。ただし、Iは高々可算です。
Σ(xi| i∈I) が「総和」と呼ぶにふさわしいものである条件を述べます。まず、Mの有限個の要素（重複があってもよい）の総和は、普通の意味の有限和です。つまり：
- Iが有限集合のとき、Σ(xi| i∈I) は有限和に一致する。
次に、総和（たくさんの足し算）が、足し上げる順番や添字集合の選び方によらないことを記述します。σ:J→I は双射とします。つまり、逆写像 σ-1:I→J が存在します。
(xi| i∈I) に対して、yj = xσ(j) と定義した(yi| j∈J) を考えると：
- Σ(xi| i∈I) = Σ(yj| j∈J)
高々可算な集合Iは、自然数の適当な部分集合と双射で結ばれるので、添字集合としては普通の番号だけ考えても十分なことになります。
足し算は足す順番によりませんが、括弧の付け方にも影響されません。このことを主張するために、添字集合Iの分割を考えます。Kj はJで添字付けられた集合の集まり（集合族）で次の性質を持つとします。
- j ≠ j' ならば、Kj∩Kj' は空集合。
- ∪(Kj| j∈J) = I
これは、Kj達がIの分割になっていることです。J = {1, 2, 3, ...} とするなら、I全体が K1, K2, K3, ... のような互いに交わらないグループに分けられることになります。グループは括弧で囲まれていると思ってもよいでしょう。グループごとに、つまり括弧で囲まれたなかを先に計算して、その後で集計することは、グループなしのフラットな総和集計と同じです。このことは次のように書けます。
yj = Σ(xk| k∈Kj) とすると：
- Σ(xi| i∈I) = Σ(yj| j∈J)
二番目と三番目の等式が同じ形になってしまったので、それぞれを少し書き換えてみると：
- Σ(xi| i∈I) = Σ(xσ(j)| j∈J)
- Σ(xi| i∈I) = Σ(Σ(xk| k∈Kj)| j∈J)
これらは、有限個の足し算の場合の交換法則と結合法則を、可算無限まで拡張したものです。
冒頭の畳み込み積の定義も、係数の半環Hがω-総和可能なら、因数分解の有限性を仮定せずに定義できます。高々可算で済まないならもっと大きな基数に対する総和可能性を要求することもできます。積分の概念があるなら、総和に代えて積分を使えますが、離散的（デジタル）な状況だと、積分らしきものは期待できません。
