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［参照用 記事］

有限離散マルコフ核に関する注意

雑記／備忘

「マルコフ核： 確率計算のモダンな体系」にて：

積分記号 \int と“微分”記号 dx を使って書いてますが、離散の場合でも通用する話なので、離散の場合は和分記号〈総和記号〉 \sum と“差分”記号 \delta x または \Delta x に書き換えてください。

これを実行するときの注意を幾つか述べておきます。

内容：

有限離散確率圏

最初に、集合圏Setを可測空間の圏Measに埋め込む関手 Disc:Set→Meas を定義します。

  • For A∈|Set|, Disc(A) := (A, Pow(A))

ここで、Pow(A) はAのベキ集合をシグマ集合代数とみなしたものです。(A, Pow(A)) の形の可測空間を、台集合がAである離散可測空間〈discrete measurable space〉と呼びます。任意の写像 f:A→B in Set は、離散可測空間のあいだの写像 f:Disc(A)→Disc(B) in Meas とみなせるので、Disc(f) = f と定義することで、関手 Disc:Set→Meas が得られます。

有限集合の圏をFinSet、台集合が有限集合である可測空間の圏をFinMeasとします。当然に FinMeas⊆Meas。関手DiscをFinSet上に制限した関手を同じ記号で Disc:FinSet→FinMeas と書きます。

Discは埋め込み関手なので、Disc(FinSet) は FinMeas の部分圏になりますが、広い部分圏〈wide subcategory〉にはなりません。例えば、可測空間 ({1, 2}, {{}, {1, 2}}) は、Discの像（つまり離散可測空間）にはなりません。

FinMeasの“広くはない”部分圏 Disc(FinMeas) を有限離散可測空間〈finite discrete measurable space〉と呼び、FinDiscMeas := Disc(FinMeas) と置きます。

圏Meas上に作ったジリィ確率圏（ジリィモナドのクライスリ圏）をStocとして、対象を|FinDiscMeas|に制限したStocの充満部分圏を、FinDiscStocとします。

FinDiscStocの射はマルコフ核ですが、対象が有限離散可測空間なので、通常の行列・テンソルの計算で処理できます。行列・テンソルのサイズが小さいなら手計算も可能です。

有限離散の場合の書き方

マルコフ核とその被積分形式〈integrand form〉を同一視はしませんが、名前のオーバーロードはします。つまり：

  • F = \lambda (x, B)\in X\times \Sigma Y. {\displaystyle \int_{y \in B\subseteq Y} F(dy \mid x)}

もう一度言います。 F = F(dy \mid x) と書いたり考えたりはしません -- 安易な同一視は事故のもと。

一般論では積分記号と被積分形式を使いますが、有限離散の場合は和分記号〈総和記号〉と被和分形式〈summand form〉を使うのが自然でしょう。

一般の場合 有限離散の場合
変数 x, y 変数 i, j
被積分形式 F(dy \mid x) 被和分形式 F(\delta j \mid i)
被積分形式 F(dz \mid x, y) 被和分形式 F(\delta k \mid i, j)
積分 \int_{x\in X} 和分 \sum_{i \in I}
一部分での積分 \int_{x\in A\subseteq X} 一部分での和分 \sum_{i \in A\subseteq I}

これは常識的な記号の運用ルールだと思いますが、僕は、集合（可測空間）の名前や変数名は、一般の場合も有限離散の場合も区別していません。別な名前に分けようとすると、アルファベット文字をすぐ消費してしまうので。

有限離散の場合で変更しているのは、積分記号→和文記号、d→δ だけです。

  • F = \lambda (x, B)\in X\times \Sigma Y. {\displaystyle \sum_{y \in B\subseteq Y} F(\delta y \mid x)}

[補足]
\delta x でδを使ってしまうと、ディラックのデルタやクロネッカーのデルタとの記号衝突が置きます。Δにすると、今度は対角射の記号と衝突します。ディラック／クロネッカーのデルタも対角射もめちゃくちゃよく使うので困ります。が、どうやっても記号衝突は避けられないので、「しょうがない」と諦めるしかありません。

和分も積分の一種なので、いっそのこと有限離散を特別扱いしないで、 \int, \; dx だけで押し通すのも良いと思います。
[/補足]

点引数と事象引数

dx に対応する書き方 \delta x を使ってますが、この書き方は見かけないでしょう。しかし、マルコフ核を有限離散で考えているときは、是非使ってください。そうでないと、測度と関数の区別が付かずに混乱と誤解の原因になります。

被積分形式に現れる dx の直感的解釈は無限小事象で、ほんとのところ意味不明です（とりあえずは記号的存在物と考える）。しかし、有限離散の場合の \delta x は実体として意味付け可能です。

有限離散可測空間 (X, ΣX) において、ΣX = Pow(X) でした。単元集合〈singleton set〉の集合を Σ1X とします。例えば、X = {1, 2} のとき Σ1X = {{1}, {2}} です。 \delta x は、Σ1X 上を走る変数と解釈します。X = {1, 2} だとして：

  • 変数 x の取る値は、x = 1 または x = 2
  • 変数 δx の取る値は、δx = {1} または δx = {2}

大事なことは、点（集合の要素）と単元集合（ベキ集合の要素）を同一視しないことです。変数の運用法は：

  • 変数 x は、Xの点を表す。
  • 変数 δx は、Σ1X の要素＝基本事象 を表す。
  • 変数 A は、ΣX の要素＝事象 を表す。

δx の意味は無限小事象じゃなくて基本事象〈根本事象〉なので、ハッキリとした実体があります。

被和分形式 F(\delta y \mid x) では、 \delta y が基本事象引数、x が点引数です。基本事象とは限らない事象を引数に入れてもよくて、その場合は：

  • F(B \mid x) = {\displaystyle \sum_{y \in B \subset Y} F(\delta y \mid x) }

テンソル計算の上下添字を使いたいなら、点引数を下付き、事象引数を上付きにします。

  • F^B_x = {\displaystyle \sum_{y \in B \subset Y} F^{\delta y}_x }

チャップマン／コルモゴロフ結合は：

  • (G\odot F)^C_x = {\displaystyle \sum_{y \in Y} G^C_y F^{\delta y}_x }

基本事象 \delta z に関してなら：

  • (G\odot F)^{\delta z}_x = {\displaystyle \sum_{y \in Y} G^{\delta z}_y F^{\delta y}_x }

対角線位置に y と δy が出現したら和分〈総和〉するという“アインシュタインの規則”を採用するなら：

  • (G\odot F)^{\delta z}_x = G^{\delta z}_y F^{\delta y}_x

アインシュタインの規則は便利ですが、混乱もしますからホドホドに。