なんだこれ？奇妙な微分公式 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)

取り急ぎのメモ。この記事で使う概念・記法は「ベクトルバンドル射の逆写像：記法の整理をかねて」、「微分幾何におけるヤコビ行列の書き方：因習の擁護」あたりに書いてあります。

すべては「なめらかな世界」で考えます。NとMは多様体で f:N→M は写像とします。x:N⊇U→Rⁿ, y:M⊇V→R^m は局所座標、f(U)⊆V だとします。どうでもいいけど、多様体の名前 N, M と次元 n, m が一致するようにしました（気持ちいい）。

「微分幾何におけるヤコビ行列の書き方：因習の擁護 // 多様体間の写像のヤコビ行列」で述べたことから、1≦ i ≦n, 1≦ j ≦m に関して $\frac{\partial (y^j\circ f)}{\partial x^i}$ は、U上の関数として意味を持ちます。これらn×m個の関数達を行列の形に組んで、それを $\frac{\partial (y \circ f)}{\partial x}$ と書きましょう。つまり、

$(\frac{\partial (y \circ f)}{\partial x})^j_i = \frac{\partial (y^j\circ f)}{\partial x^i}$

$\frac{\partial (y \circ f)}{\partial x}$ は、U上で定義された行列値関数〈行列場〉、または関数係数〈関数成分〉の行列です。用語の乱用で単に「行列」とも呼びます。

さて、 $\frac{\partial (y \circ f)}{\partial x}$ という行列は次のよう書けます*1。

$\:\:\: \frac{\partial (y \circ f)}{\partial x} = \frac{\partial y}{\partial}(f) \cdot \frac{\partial f}{\partial x}$

$\frac{\partial y}{\partial}$ は書き間違いではありません。これの意味は $\frac{\partial} {\partial y}$ の“逆”です。これが表題の奇妙な微分公式。

この微分公式が奇妙に見えるのは、記号の決め方がテキトーだからかも知れません。書き方・見え方は置いといて、意味を説明します。

$\frac{\partial f}{\partial x}$ は、 $\frac{\partial f}{\partial x^i}$ 達を横に並べた一行行列〈関数の横タプル〉です。その成分の定義は：

$\frac{\partial f}{\partial x^i} := (\partial_i( f \circ x^{-1} ))\circ x$

$\frac{\partial f}{\partial x}$ の一点 p∈U⊆M での値は、hom(Rⁿ, T_f(p)TM) （内部ホム・ベクトル空間）に入ります。v∈Rⁿに対する値は次のように計算されます。

$\frac{\partial f}{\partial x}(p)\cdot v = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x^i}(p)\cdot v^i \:\in T_{f(p)}M$

ドットは、関数／関数値の掛け算です。微分作用と区別するために掛け算記号は書くことにします。行列の掛け算記号も省略せずにドットを使います。

$\frac{\partial f}{\partial x}$ は、ベクトルバンドル hom(Rⁿ_N, f^#TM) のU上のセクションだとみなせます。

$\frac{\partial f}{\partial x} \in \Gamma_N(U, hom({{\bf R}^n}_N, f^{\#}TM))$

ここで、Rⁿ_N はファイバーがRⁿの自明なベクトルバンドル、f^#TM は接ベクトルバンドルの引き戻しです。

$\frac{\partial y} {\partial}$ は、 $\frac{\partial} {\partial y}$ の“逆”と言いましたが、 $\frac{\partial} {\partial y} = \begin{bmatrix} \frac{\partial} {\partial y^1} & \frac{\partial} {\partial y^2} & \cdots & \frac{\partial} {\partial y^m} \end{bmatrix}$ を次のように解釈します。

$\frac{\partial} {\partial y} \in \Gamma_M(V, iso({{\bf R}^m}_M, TM))$

$\frac{\partial} {\partial y}$ は（局所的な）フレームの場ですが、それは内部アイソバンドルのセクションと思えます。このセクションは、点ごとに逆を取れます。それを $\frac{\partial y}{\partial}$ と書きました（奇妙だけどツジツマはあっていると思う）。