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参照用 記事

シュバレー/アイレンベルク関手の話

おそらく2019年最後の記事。別に総括とかを意識はしてないですが、結果的にそれらしい記事になったかも知れません。

自分で書いた過去記事を読んで「なんだこれ?」と思うことがあります。内容が分からないというよりは、動機を思い出せないのです。「何のために、この記事を書いたのだろう?」が不明になるのです。

最近書いた幾つかの記事:

これらの記事達の背後にある動機について書いておこうかな、でないと「なんだこれ?」になりそうだから。

内容:

シュバレー/アイレンベルク代数とシュバレー/アイレンベルク関手

最近、シュバレー/アイレンベルク関手に興味を持っています。なんで興味を持つかは、この記事の後半で書きます。

nLab項目では、次のページがあります。

項目名が"Chevalley-Eilenberg algebra"となってますね(関手じゃない)。これは、リー代数 L に対して作られる微分階付き代数〈differential graded algebra | 次数付き微分代数〉 CE(L) について書いてあるからです。リー代数 L のシュバレー/アイレンベルク代数 CE(L) は、様々な拡張・変種を持ちます。拡張・変種では、L がリー代数とは限りません。この事情を考慮して、以下では L をリー代数類似物〈Lie-algebra-like object〉と呼びましょう。

特定のリー代数類似物 L に対して、そのシュバレー/アイレンベルク代数 CE(L) を考えるだけではなくて、すべてのリー代数類似物に対してシュバレー/アイレンベルク代数を対応させるならば、CE は関手 CE:CD となるでしょう。ここで、C は、リー代数類似物とそのあいだの準同型射からなる圏、D微分階付き代数&準同型射の圏です。

先に引用したnLab項目"Chevalley-Eilenberg algebra"では、CE を関手としては記述していません。CE の域圏〈domain category〉、余域圏〈codmain category〉となる圏についてもハッキリとは*1書いてありません。説明が(ときに過剰に)圏論的であるnLabにしては不徹底で、なんか不満が残ります。

そこで、関手としてのシュバレー/アイレンベルク代数、つまりシュバレー/アイレンベルク関手〈Chevalley-Eilenberg functor〉については自分で書き下してみよう、とか思い立つわけです。が、思い立ってもそれほど簡単ではありません。シュバレー/アイレンベルク関手は、そこそこ複雑なモノなので、短くて正確な記述を与えるのは、なかなか大変。

短くて正確な記述を与えるための道具 -- 基本的な概念・用語・記法 -- を準備する必要がありそうです。冒頭で引用した記事達は、そういう記述の道具に関するものです。シュバレー/アイレンベルク関手だけが目的ではありませんが、同様なレベルの複雑さを持つ対象物を短く正確に記述できたらいいな、と思っているのです。

リー亜代数

今ここで(この記事で)、シュバレー/アイレンベルク関手の定義を与えるのか、というと、それはしません(いずれ)。シュバレー/アイレンベルク関手の雰囲気のお話です。

まず、どんなタイプのリー代数類似物を扱うかを決めましょう。リー亜代数〈Lie algebroid〉にします。リー亜代数は、多様体Mに対して定義されます。M上のベクトルバンドルEに代数構造を付け加えたものです。以下の定義では、「多様体上の関数、微分形式、接ベクトル場などの書き方」にある Γ, Ω, Φ, Ξ などを使います。

ベクトルバンドルEに対して、リー亜代数として付け加える構造は:

  1. Γ(E)上の、R-リー代数の構造。リー括弧を [-, -] とする。
  2. EからTMへの、M上のベクトルバンドル写像 ρ:E→TM (ρ;πTM = πE)。ρをアンカー写像〈anchor map〉と呼ぶ。

注意すべきは、ベクトルバンドルEがリー代数バンドル(各ファイバーがリー代数)なのではなくて、セクション空間 Γ(E) がR上の(Φ(M)上のではない!)リー代数であることです。セクション空間のリー代数構造とアンカー写像が満たすべき法則(公理)は:

  • [ρ-ライプニッツ法則] For X, Y∈Γ(E), f∈Φ(M),
    [X, f・Y] = (ρ*(X)(f))・Y + f・[X, Y]

ここで、'・'は、Γ(E) をΦ(M)-加群とみたときのスカラー乗法です。ρ*(X) は、ρ:E→TM から誘導された加群射 ρ*:Γ(E)→Γ(TM) (Γ(TM) = Ξ(M))によるXの像を、微分作用素(Φ(M)上の導分)とみたものです。X∈Γ(E) はΦ(M)に直接は作用しませんが、ρを経由してΦ(M)に作用する微分作用素のようにみなせます。

リー亜代数のより詳しいことは、nLab項目 "Lie algebroid" を参照してください。リー亜代数の例をみると、けっこう色々な例があります。(僕にとって)わかりやすいモノを挙げると:

  1. Mの接ベクトルバンドル自体は、アンカー写像を恒等射としてリー亜代数になります。Γ(TM) = Ξ(M) はR-リー代数であり、ρ = id であるρ-ライプニッツ法則=普通のライプニッツ法則を満たします。
  2. M = 一点 とすると、TM = 0 (一点上のゼロベクトルだけのベクトルバンドル)、Φ(一点) = R となります。任意のリー代数 L はアンカー写像をゼロ写像として一点上のリー亜代数になります。ρ-ライプニッツ法則は、Lのリー括弧のR-双線形性に退化します。
  3. Eをベクトルバンドルとして、end(E) = hom(E, E) (記法は「バンドルと層の記法 まとめ」参照)は代数〈多元環〉バンドルになります。end(E) は結合的単位的代数のバンドルなので、交換子積を入れるとリー代数バンドルになります。Γ(end(E)) には誘導されたリー代数構造が入ります。アンカー写像をゼロ写像とすれば、M上のリー亜代数が得られます。
  4. Mが葉層多様体〈foliated manifold〉のとき、葉に沿った接ベクトルの全体はTMの部分ベクトルバンドル F⊆TM になります。Γ(F) がリー代数 Γ(TM) の部分リー代数になることは、フロベニウスの定理から分かります。埋め込み F→TM をアンカー写像として F はM上のリー亜代数になります。

任意のリー亜代数から、そのジェット・リー亜代数〈jet Lie algebroid〉を構成できるようです。

*2

接バンドルのリー亜代数とド・ラーム複体

接バンドル〈接ベクトルバンドル〉は自然にリー亜代数になります。その構成素を繰り返し書くと:

  1. ベクトルバンドル πTM:TM→M
  2. 接ベクトル場の空間 Γ(TM) = Ξ(M) のリー代数構造。リー括弧は、リー微分(「流れとリー微分」参照)。
  3. アンカー写像は、TM→TM の恒等写像
  4. ライプニッツ法則は、通常のライプニッツ法則(ヤコビ恒等式

リー亜代数としての接バンドルも記号の乱用で TM と書くことにします。特別なリー亜代数 TM に対して、シュバレー/アイレンベルク代数を構成すると、それはMのド・ラーム複体〈de Rham complex〉になります。ド・ラーム複体は微分階付き代数です。ここから先、微分階付き代数をDG代数〈DG algebra〉と呼ぶことにします。

「複体」がやたらに多義語なことは「複体、複体、複体 … なんとかしてくれ!」で書きましたが、ド・ラーム複体の「複体」は「DG代数」に置き換えてもOKです。通常の複体(より正確にはコチェーン複体)に付け加わる構造は掛け算(外積)です。

DG代数とは、掛け算を持ったコチェーン複体だと思えばいいのですが、多様体Mのド・ラームDG代数〈de Rham DG-algebra〉DR(M) を単一の代数構造として記述すれば:

  1. DR(M) の下部構造は、可換環Φ(M)上の結合的単位的代数〈多元環
  2. Nで番号が付いた*3 DR(M) の部分加群 DRi⊆DR(M) が指定されている。Mの次元を超えた k では DRk(M) = 0 。
  3.  DR(M) \cong {\displaystyle \bigoplus_{i \in {\bf N}}}DR_i(M) (標準的な同型が在る)
  4. 部分加群 DR0(DR) は可換環になっていて(掛け算で閉じていて)、可換環として DR0(M) \cong Φ(M) (標準的な同型が在る)
  5. 掛け算は、階付き可換律〈graded commutative law〉「x∈DRi(R), y∈DRj(R) ならば y・x = (-1)i+j(x・y)」を満たす。
  6. R-線形自己写像 d:DR(M)→DR(M) があり、a∈DRi(M) ならば d(a)∈DRi+1(M) (dは次数 +1 の写像
  7. 階付きライプニッツ法則〈graded Leibniz rule〉: a∈DRk(M) ならば d(a・b) = (da)・b + (-1)ka・(db) を満たす。
  8. d\circd = 0 を満たす。(dの平方零性〈nilquadraticy〉)

Mのド・ラームDG代数 DR(M) は、Mから直接構成できますが、接バンドル・リー亜代数 TM にシュバレー/アイレンベルク関手 CE を施しても作れます。

  • DR(M) \cong CE(TM) in Φ(M)-DGAlg

ここで、Φ(M)-DGAlg は、可換環Φ(M)上のDG代数の圏です(射の定義をしてないけど)。この同型だけでも、シュバレー/アイレンベルク関手(リー亜代数からのシュバレー/アイレンベルク代数の構成)を考える価値があると思います。ベクトル場のリー代数と、ド・ラーム複体〈ド・ラームDG代数〉の関係がハッキリします。

微分インフラとシュバレー/アイレンベルク関手

多様体上で微分計算をするときに必要な演算〈操作〉には何があるでしょうか。並べてみます。

  1. 関数の偏微分
  2. ベクトル場のリー微分
  3. 微分形式の外微分
  4. 微分形式の内微分

「内微分〈interior derivative〉」は聞いたことがないかも知れません。https://en.wikipedia.org/wiki/Interior_product によると、次の別名があるそうです。

  • interior product, interior multiplication, inner multiplication, inner derivative, insertion operator, inner derivation

他に、antiderivation〈反微分〉、contraction〈縮約〉もあります。知名度低い割に別名あり過ぎ! ベクトル場Xによる微分形式ωの内微分 iX(ω) は、ωを、ベクトル場の空間上の交代的〈反対称的〉複線形形式とみて、ω(X, -, ..., -) を対応させる写像です。引数の個数がひとつ減るので Ωk(M)→Ωk-1(M) という写像です。

上記の4種の微分操作〈導分〉達〈four derivation operators〉を備えたシステムを微分インフラ〈differential infrastructure〉と呼びましょう。「微分インフラ」は、厳密な定義を持つ言葉ではなくて、雰囲気な言葉ですが、上記4種の微分操作の存在は念頭に置きます。

多様体上の微分インフラの表現方法として、大ざっぱには二種類が考えられます。

  1. ベクトルバンドルを中心とした幾何的な定式化
  2. 微分形式を中心とした代数的な定式化

ここでの「幾何的」「代数的」は、強いて言えばの“傾向性”であって、たいした意味はありません。今までに出した例で言えば、接バンドル・リー亜代数が(微分インフラの)幾何的な定式化で、ド・ラームDG代数が(微分インフラの)代数的な定式化となります。

シュバレー/アイレンベルク関手 CE とは、微分インフラの幾何的定式化から微分インフラの代数的な定式化を構成する関手です。

  • CE : (微分インフラの幾何的定式化の圏) → (微分インフラの代数的定式化の圏)

単なる関手ではなくて、2つの圏の圏同値を与えてくれると嬉しいです。

シュバレー/アイレンベルク関手の拡張

今までに述べた事例では、次の3つの概念が登場しました。

  • リー亜代数
  • DG代数
  • リー亜代数からDG代数を構成するシュバレー/アイレンベルク関手

これらの概念の拡張・一般化を考えましょう。

リー亜代数の一般化としてライプニッツ亜代数Leibniz algebroid〉があります。その定義はリー亜代数とほとんど同じですが、リー括弧が持っていた反対称性の条件を落とします。ベクトルバンドルEのセクション空間 Γ(E) は、反対称とは限らない括弧積 {-, -} を持つ代数系になります。

上記のような括弧積 {-, -} をライプニッツドルフマンロデイ括弧Leibniz-Dorfman bracket〉*4と呼び、代数系のことはライプニッツ代数Leibniz algebra〉と呼びます。反対称性を持たないライプニッツ代数は、リー代数に比べてだいぶ扱いにくいようですが、アンカー付きベクトルバンドル ρ:E→TM 上で考えると、微分インフラとして機能します。ライプニッツ亜代数の法則〈公理〉は:

しかしこれだけだと、微分演算の局所性〈locality〉が保証されず局所計算ができないので、局所性作用素〈locality operator〉を入れた局所ライプニッツ亜代数〈local Leibniz algebroid〉が適切な一般化でしょう。

DG代数の一般化はどうでしょうか。DG代数から、外微分dの平方零性〈nilquadraticy〉を落としたものを曲DG代数〈curved DG-algebra〉と呼びます。単に「d\circd = 0 が成立しない」と言われても途方に暮れるので、d\circd が曲率元/曲率作用素〈curvature {element | operator}〉で表現可能なことを要請します。DG代数の条件〈公理〉から階付き可換性を落とすと非可換DG代数になりますが、曲DG代数では可換性も仮定しないようです。

曲DG代数を使うと、多様体上の接続(定義は色々、「コジュール接続の圏」の最初の節を参照)の曲率2-形式や接続1-形式、共変外微分余系列(コチェーン複体にはならない)などをとてもうまく説明できます。これは正しい一般化なのだと思います。コジュール接続〈線形接続〉を扱うには、曲DG代数だけではなくて、曲DG代数上の曲DG加群〈curved DG-module〉も必要になります。

今述べたような一般化をすれば、シュバレー/アイレンベルク関手は、局所ライプニッツ亜代数の圏から曲DG代数/曲DG加群の圏への関手となります。これは、域圏・余域圏の拡張に伴う関手の拡張です。それだけではなく、構成手順も拡張・一般化することができます。

リー代数に対するシュバレー/アイレンベルク代数の拡張として、ヴェイユ代数〈Weil algebra〉があります。シュバレー/アイレンベルク代数が、台として外積代数〈反対称代数〉だけを使っていたのに対して、ヴェイユ代数では対称代数も使います。さらにヴェイユ代数の拡張としては:

  1. リー代数の線形表現τを組み入れたτ-共変ヴェイユ代数〈τ-covariant Weil algebra〉
  2. リー代数の普遍包絡代数とクリフォード代数を使った量子ヴェイユ代数〈quantum Weil algebra〉
  3. 上記両方の拡張を施した量子τ-共変ヴェイユ代数〈quantum τ-covariant Weil algebra〉

シュバレー/アイレンベルク関手の構成法に、このような各種ヴェイユ代数を取り入れた関手をヴェイユ/シュバレー/アイレンベルク関手〈Weil-Chevalley-Eilenberg functor〉と呼ぶことにすれば、これは単なる域・余域の拡張以上のモノになります。

シュバレー/アイレンベルク関手が意味を失うとき

シュバレー/アイレンベルク関手の最初の定義を思い出すと、“接ベクトルバンドル・接ベクトル場の構造”から、“余接ベクトルバンドル微分形式の構造”を作り出すものでした。“接ベクトルバンドル・接ベクトル場”と“余接ベクトルバンドル微分形式”は、双対な構造物です。つまり、シュバレー/アイレンベルク関手は、双対なモノを対応付けていると言えます。

シュバレー/アイレンベルク関手が、その域圏と余域圏のあいだの圏同値を与えるとき、それは双対な圏が同値になることを意味するでしょう。その意味で、シュバレー/アイレンベルク関手は、大規模な双対性の一部分を担っている素材です。互いに双対なペアが、異なる圏に住んでいる(遠距離恋愛)ので、シュバレー/アイレンベルク関手が、ペアを結びつけてくれているのですね。

双対ペアを異なる圏に離れ離れに住まわせるのではなくて、一緒にしたらどうでしょうか。単一の構造の内部に双対性を閉じ込めてしまうのです。接ベクトル場と微分形式を一緒にした構造は想像できるでしょう。もし、双対性込みの構造として微分インフラを定式化すれば、シュバレー/アイレンベルク関手は存在意義を失います。

おそらくですが、微分インフラの定式化として、2つの流儀の定式化をシュバレー/アイレンベルク関手でつなぐやり方はだるくなる気がします。いずれは、接ベクトル場方式と微分形式方式を統合・融合した定式化により、シュバレー/アイレンベルク関手とはオサラバするときが来るのかも知れません。

参考資料

検索で調べただけで、まったく見てない資料もあります。

nLabの関係する項目:

  1. Chevalley-Eilenberg algebra
  2. Lie algebroid
  3. Lie infinity algebroid
    • リー亜代数の一般化であるリー∞亜代数
  4. differential graded algebra
  5. Leibniz algebra
  6. curved dg-algebra
  7. Weil algebra

その他の資料:

  1. Branislav Jurčo, Jan Vysoký -- Leibniz algebroids, generalized Bismut connections and Einstein–Hilbert actions
  2. Zhaoting Wei -- Covariant Weil algebras
  3. Camilo Arias Abad, Marius Crainic -- The Weil algebra and the Van Est isomorphism
    • 前半に、リー亜代数に対するヴェイユ代数の説明があるようです(読んでない)。
  4. Notes of the talk of A. Polishchuk -- Introduction to curved dg-algebras
    • わずか3ページですが、曲DG代数について非常によくまとまっています。
  5. Jonathan Block -- Duality and equivalence of module categories in noncommutative geometry I
    • 曲DG代数、曲DG加群、曲DG圏などについて書いてあるようです。II もあります。
  6. Hyungrok Kim, Christian Saemann -- Adjusted Parallel Transport for Higher Gauge Theories
    • ヴェイユ代数(とその他色々な道具)を使って高次平行移動の説明。2019年11月14日投稿の新しい論文。

*1:[追記]ちょっとだけ書いてありました。基本的な場合においては、CEはリー代数の圏からDG代数の圏への関手だと書いてあります。[/追記]

*2:https://www.youtube.com/watch?v=VV7w-4U8KSo(映画フランス語版) のスクリーンショット画像
ジェット・リー〈Jet Li〉さんは、現在病気を患っているようです。ご回復を願っております。

*3:Zで番号が付いていて、負の部分はゼロ加群だと思ってもいいです。

*4:単に「ライプニッツ括弧」と呼ぶことが多いですが、ライプニッツ代数を考案したのはドルフマンロデイ〈Jean-Louis Loday〉なので、ドルフマンロデイに敬意を払っておきます。