質問の意味が分からないなー ‥‥？？ でも、この質問に対する丁寧な回答が付いています。回答を見ると、質問者の意図は想像できます。
が、そもそも、いったい誰がどこで「f(x)g(x) = 0 ⇔ f(x) = 0 or g(x) = 0 は誤り」と言ったのでしょうか？ 「誤り」という主張の出典・情報源を知りたいです。教科書・参考書、学校の先生あたりだとちょっと問題でしょう、これは。
回答者が言うように、f(x) が関数値ではなくて関数を表すことがあるのは事実です。例えば、Dを微分する作用素〈関数を入力として関数を出力する関数〉として、D(f) の代わりに D(f(x)) とも書きます（好ましくはないけど）。でも、「f(x)g(x) = 0 ⇔ f(x) = 0 or g(x) = 0」という表現で、f(x), g(x) を関数値ではなくて関数と解釈するって、そんなことある？ マズイでしょ、いくらなんでも。
