「丹原プロ関手の二重圏、いやっ三重圏？」において、とある3次元の圏が存在しそうだ、と述べました。しかし、その3次元の圏の構成はかなり手間がかかる作業です。設定を単純化して、手間を減らしましょう。
「丹原プロ関手の二重圏、いやっ三重圏？」で「モノイド圏」としていたところを、「モノイド」（単一対象の圏、または離散圏上のモノイド構造）に置き換えます。それに伴って、他の部分も単純な構造で置き換えます。そうすると、なんとか手に負えそうな圏類似代数系になります。単純化しても、単なるオモチャというわけではなくて、それなりに意味を持ちます。$`\newcommand{\mrm}[1]{ \mathrm{#1} }
\newcommand{\In}{\text{ in }}
\newcommand{\Imp}{\Rightarrow }
%\newcommand{\cat}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\u}[1]{\underline{#1}}
\newcommand{\dblcat}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\twoto}{ \Rightarrow }
\newcommand{\vtwoto}{ \Downarrow }
\newcommand{\lact}{ \triangleright }
\newcommand{\ract}{ \triangleleft }
\newcommand{\bts}[3]{ {_{#1}\!{#2} _{#3}} }
`$
内容：
双遷移系
モノイド $`M`$ が集合 $`S`$ に左または右から作用する構造が状態遷移系〈state transition system〉です。ここでは、状態遷移系を短く遷移系〈transition system〉と呼びます。2つのモノイド $`M, N`$ がひとつの集合 $`S`$ に左右から作用する場合は双遷移系〈bitransition system〉と呼びます。
双遷移系を次のように書きます。
$`\quad C = (M, N, S, \beta)`$
この構造の構成素達は：
- $`M`$ は、モノイド。双遷移系 $`C`$ の左刺激モノイド〈left stimuli monoid〉と呼ぶ。
- $`N`$ は、モノイド。双遷移系 $`C`$ の右刺激モノイド〈right stimuli monoid〉と呼ぶ。
- $`S`$ は、集合。双遷移系 $`C`$ の状態空間〈state space〉と呼ぶ。
- $`\beta`$ は、写像 $`\beta: \u{M}\times S \times \u{N} \to S`$ 。$`\u{M} , \u{N}`$ はモノイドの台集合。双遷移系 $`C`$ の双作用〈biaction〉と呼ぶ。
このとき、双遷移系 $`C`$ は $`(M, N)`$-双遷移系〈$`(M, N)`$-bitransition system〉だと言います。遷移〈transition〉は作用〈action〉の同義語です。言葉の運用としては、モノイドを主語として「作用する」と言い、作用により状態空間の点が「遷移する」と言います。が、語感に基づく差異に拘るのは不毛です。
次のような記法の約束をします。
- モノイドの二項演算は、中置演算子記号 $`\cdot`$ または併置とする。
- モノイドの単位元は（モノイドによらず） $`e`$ を使う。
- $`C`$ の状態空間 $`S`$ を $`\u{C}`$ とも書く。
- 双遷移系に左右の刺激モノイドを添えて、$`C = \bts{M}{C}{N}`$ とも書く。
- $`\beta(a, s, b)`$ を $`a\lact s \ract b`$ とも書く。
- $`a \lact s \ract e`$ を $`a\lact s`$ と略記する。
- $`e \lact s \ract b`$ を $`a\ract b`$ と略記する。
双遷移系の法則〈公理〉は次のようです。
$`\text{For } a', a \in \u{N},\; s\in \u{C},\; b, b' \in \u{N}\\
\quad \text{bi-assoc } : (a'\cdot a) \lact s \ract (b\cdot b') = a'\lact (a \lact s \ract b)\ract b' \In \u{C}\\
\quad \text{bi-unit } : e \lact s \ract e' = s \In \u{C}
`$
$`\text{bi-assoc }`$ を双結合律〈bi-associative law〉、$`\text{bi-unit }`$ を双単位律〈bi-unit law〉として参照します。
先の略記規則と双結合律／双単位律から、形式上 $`(a \lact s) \ract b = a \lact (s \ract b)`$ が成立します*1。
六面体3-射
双遷移系とそれに関連する構成素達は、全体として3次元の圏類似代数系に編成されます。3-射は六面体の形状となります。先に、六面体3-射を出しておきます。
$`\quad \xymatrix{
%1
{}
& {N} \ar[rrr] \ar[dd]
\ar@{}[drr]|{\alpha\,\Longrightarrow\:}
& {}
& {}
& {N'} \ar[dd]
\\%2
{M} \ar@{-->}[ur]^{{C}} \ar[rrr] \ar[dd]
\ar@{}[dr]|{\:\Downarrow\,F}
& {}
& {}
& {M'} \ar@{-->}[ur]_{{C'}} \ar[dd]
\ar@{}[dr]|{\:\Downarrow\,F'}
& {}
\\%3
{}
& {Q} \ar[rrr]
\ar@{}[drr]|{\beta\,\Longrightarrow\:}
& {}
& {}
& {Q'}
\\%4
{P} \ar@{-->}[ur]^{{D}} \ar[rrr]
& {}
& {}
& {P'} \ar@{-->}[ur]_{{D'}}
& {}
}
`$
左から右がタイト方向〈tight direction〉、手前から奥がプロ方向〈pro direction〉、上から下がトランス方向〈trans direction〉です。この六面体の構成素は次のようです。
- 0-射： モノイド、六面体の8個の頂点
- タイト1-射： モノイド射、左から右へのラベルがない矢印
- プロ1-射： 双遷移系、破線矢印
- トランス1-射： モノイド射、上から下へのラベルがない矢印
- タイト-プロ2-射 ： 遷移保存関係（後述）、左から右への二重矢印
- タイト-トランス2-射 ： モノイド射の可換四角形、ラベルがない前面、背面の四角形
- プロ-トランス2-射 ： 準同型写像（後述）、上から下への二重矢印
- 3-射： 遷移保存関係のあいだの伴意（後述）、明示的には描いてない
ひとつの3-射は、境界として、0-射を8個、タイト1-射を4本、プロ1-射を4本、トランス1-射を4本、タイト-プロ2-射を2面、タイト-トランス2-射を2面、プロ-トランス2-射を2面持ちます。
このような様々な種類の射達から構成される3次元圏類似代数系を $`\dblcat{BiTS}`$ と書くことにします。
双遷移系の準同型写像
準同型写像〈homomorphism map〉は、$`\dblcat{BiTS}`$ のプロ-トランス2-射です。
$`\quad \xymatrix{
%1
{}
& {N} \ar[dd]^q
\\%2
{M} \ar@{-->}[ur]^{{C}} \ar[dd]_p
\ar@{}[dr]|{\:\Downarrow\,F}
& {}
\\%3
{}
& {Q}
& {}
\\%4
{P} \ar@{-->}[ur]^{{D}}
& {}
}
`$
双遷移系 $`C`$ から $`D`$ への準同型写像を、$`F = \bts{p}{F}{q}`$ とも書くことにします。
$`\quad \bts{p}{F}{q} :: \bts{M}{C}{N} \vtwoto \bts{P}{D}{Q} \In \dblcat{BiTS}`$
矢印を縦にしているのは、タイト-プロ2-射と区別するためです*2。
$`F`$ の構成素は：
- $`p`$ は、モノイド射 $`p: M \to P \In {\bf Mon}`$
- $`q`$ は、モノイド射 $`q: N \to Q \In {\bf Mon}`$
- $`F`$ は、写像 $`F: \u{C} \to \u{D} \In {\bf Set}`$
写像 $`F`$ は次の法則を満たす必要があります。
$`\text{For } a\in \u{M}, s\in \u{C}, b\in \u{N}\\
\quad F(a\lact s \ract b) = p(a)\lact F(s)\ract q(b)
`$
モノイド射 $`p, q`$ を挟んで、双遷移系の双作用を保つ写像が準同型写像です。
双遷移系の遷移保存関係
遷移保存関係〈transition preserving relation〉は、$`\dblcat{BiTS}`$ のプロ-トランス2-射です。
$`\quad \xymatrix{
%1
{}
& {N} \ar[rrr]^{g}
\ar@{}[drr]|{\alpha\,\Longrightarrow\:}
& {}
& {}
& {N'}
\\%2
{M} \ar@{-->}[ur]^{{C}} \ar[rrr]_{f}
& {}
& {}
& {M'} \ar@{-->}[ur]_{{C'}}
& {}
}
`$
双遷移系 $`C`$ から $`C'`$ への遷移保存関係を、$`\alpha = \bts{f}{\alpha}{g}`$ とも書くことにします。
$`\quad \bts{f}{\alpha}{g} :: \bts{M}{C}{N} \twoto \bts{M'}{C'}{N'} \In \dblcat{BiTS}`$
$`\alpha`$ の構成素は：
- $`f`$ は、モノイド射 $`f: M \to M' \In {\bf Mon}`$
- $`g`$ は、モノイド射 $`g: N \to N' \In {\bf Mon}`$
- $`\alpha`$ は、状態空間のあいだの関係 $`\alpha : \u{C} \to \u{C'} \In {\bf Rel}`$
関係 $`\alpha \subseteq \u{C}\times \u{C'}`$ は次の法則を満たす必要があります。
$`\text{For } a\in \u{M}, b\in \u{N}, s, s'\in \u{C}\\
\quad (s' = a\lact s \ract b) \Imp \\
\qquad \exists t, t'\in \u{C'}.\, (s, t), (s', t')\in \alpha \land (t' = a\lact t \ract b)
`$
関係 $`\alpha`$ は、モノイド射 $`f, g`$ を挟んで、双遷移系の双作用を保つ関係（遷移保存関係）です。
モノイド射の可換四角形
モノイド射の可換四角形〈commutative square of monoid morphisms〉は、$`\dblcat{BiTS}`$ のタイト-トランス2-射です。
$`\quad \xymatrix{
%2
{M} \ar[rrr]^f \ar[dd]_p
\ar@{}[ddrrr]|{\xi\, \Downarrow\:}
& {}
& {}
& {M'} \ar[dd]^{p'}
& {}
\\%3
{}
& {}
& {}
& {}
& {}
\\%4
{P} \ar[rrr]_{f'}
& {}
& {}
& {P'}
& {}
}
`$
これは単純な可換四角形ですが、それを2-射とみなしています。図式の可換性を等式で書けば：
$`\quad p;f' = f;p' \;: M \to P' \In {\bf Mon}`$
これを次のように書くことにします。
$`\quad \xi :: p[f \twoto f']p' \In \dblcat{BiTS}`$
$`\xi`$ は、2-圏とみなした（等式が2-射）モノイドの圏 $`{\bf Mon}`$ からのクインテット構成（
「2-圏からのクインテット構成で二重圏」を参照）になっています。
遷移保存関係のあいだの伴意
遷移保存関係のあいだの伴意〈entailemant between transition preserving relations〉は、$`\dblcat{BiTS}`$ の3-射です。
$`\quad \xymatrix{
%1
{}
& {N} \ar[rrr] \ar[dd]
\ar@{}[drr]|{\alpha\,\Longrightarrow\:}
& {}
& {}
& {N'} \ar[dd]
\\%2
{M} \ar@{-->}[ur]^{{C}} \ar[rrr] \ar[dd]
\ar@{}[dr]|{\:\Downarrow\,F}
& {}
& {}
& {M'} \ar@{-->}[ur]_{{C'}} \ar[dd]
\ar@{}[dr]|{\:\Downarrow\,F'}
& {}
\\%3
{}
& {Q} \ar[rrr]
\ar@{}[drr]|{\beta\,\Longrightarrow\:}
& {}
& {}
& {Q'}
\\%4
{P} \ar@{-->}[ur]^{{D}} \ar[rrr]
\ar@{}[uuurrrr]|{\Phi }
& {}
& {}
& {P'} \ar@{-->}[ur]_{{D'}}
& {}
}
`$
3-射を次のように書くことにします。
$`\quad \Phi ::: F[\alpha \Rrightarrow \beta]F' \In \dblcat{BiTS}`$
もっと情報を書き込むなら：
$`\quad \Phi ::: \\
\qquad ( \bts{p}{F}{q} :: \bts{M}{C}{N} \vtwoto \bts{P}{D}{Q})[\\
\qquad\quad (\bts{f}{\alpha}{g} :: \bts{M}{C}{N} \twoto \bts{M'}{C'}{N'}) \Rrightarrow (\bts{f'}{\beta}{g'}:: \bts{P}{D}{Q} \twoto \bts{P'}{D'}{Q'})\\
\qquad ]( \bts{p'}{F'}{q'} :: \bts{M'}{C'}{N'} \vtwoto \bts{P'}{D'}{Q'}) \\
\quad \In \dblcat{BiTS}
`$
ゴチャゴチャですね。高次元の射をテキストで書き下すのは得策ではないようです*3。
$`\dblcat{BiTS}`$ の3-射 $`\Phi`$ の定義は意外と簡単です。$`\alpha, \beta, F, F'`$ は次のような関係／写像でした。
- $`\alpha \subseteq \u{C}\times \u{C'}`$
- $`\beta \subseteq \u{D}\times \u{D'}`$
- $`F: \u{C} \to \u{D}`$
- $`F': \u{C'} \to \u{D'}`$
写像の直積 $`F\times F'`$ は次のようになります。
$`\quad F\times F' : \u{C}\times \u{C'} \to \u{D}\times \u{D'} \In {\bf Set}`$
$`F\times F'`$ による逆像として、$`\u{D}\times \u{D'}`$ の部分集合 $`\beta`$ を“引き戻し”できます。
$`\quad (F\times F')^{-1}(\beta) \subseteq \u{C}\times \u{C'}`$
$`(F\times F')^{-1}(\beta)`$ は、$`\alpha \subseteq \u{C}\times \u{C'}`$ と包含関係により比較可能です。次の包含関係があったとしましょう。
$`\quad \alpha \subseteq (F\times F')^{-1}(\beta)`$
この包含関係を $`\dblcat{BiTS}`$ の3-射として次のように書きます。
$`\quad \Phi ::: \alpha \Rrightarrow \beta \text{ via } F, F' \In \dblcat{BiTS}`$
あるいは先に出した記法で：
$`\quad \Phi ::: F[\alpha \Rrightarrow \beta]F' \In \dblcat{BiTS}`$
部分集合の包含関係として与えられる $`\dblcat{BiTS}`$ の3-射が“遷移保存関係のあいだの伴意”です。「伴意〈はんい | ばんい | entailemant〉」という言葉は聞き慣れないでしょうが、「論理的推論を行う基礎となる順序関係」といった意味です。
そしてそれから
ここまでで、3次元の圏 $`\dblcat{BiST}`$ の0-射、1-射、2-射、3-射を記述しました。1-射が3種類、2-射も3種類あるので、8種類の射を扱うことになります。ただし、$`\dblcat{BiST}`$ における役割りが8種類なのであり、射の実体の種類は次のようです。括弧内は役割りです。
- モノイド（0-射）
- モノイド射（タイト1-射、トランス1-射）
- 双遷移系（プロ1-射）
- 双遷移系のあいだの準同型写像（プロ-トランス2-射）
- 双遷移系のあいだの遷移保存関係（タイト-プロ2-射）
- モノイド射可換四角形（タイト-トランス2-射）
- 遷移保存関係のあいだの伴意（3-射）
まだ結合演算を定義していません。これらの射に対して、多種の結合演算が定義できます。
- 1-射の結合が、種類ごとに1種類（1方向）、3種の1-射で3種類の1-射結合
- 2-射の結合が、種類ごとに2種類（2方向）、3種の2-射で6種類の2-射結合
- 3-射の結合が3種類（3方向）
合計で10種類の結合演算があります。結合演算達は互いに無関係ではなくて、相互関連性があります。各結合演算ごとの法則と相互関連性に関わる法則があります。
高次元の圏論の困難のひとつは、組み合わせ的ボリュームに圧倒されてしまうことです。とはいえ、3次元の圏 $`\dblcat{BiST}`$ の場合は、なんとか取り扱える範囲内だと思うし、具体的・直感的イメージを持ちやすい構造なので、演算と法則を列挙することを目指します。
