n-圏達を対象とする(n + 1)-圏を $`n{\bf Cat}`$ と書きます。特に、$`{\bf Cat} = 1{\bf Cat}`$ です。$`{\bf Cat}`$ は、1-圏達を対象とする(1 + 1)-圏です。また、$`{\bf Set} = 0{\bf Cat}`$ です。$`{\bf Set}`$ は、0-圏達を対象とする(0 + 1)-圏です。サイズ（宇宙のレベル）ごとに文字種を変えると、次の書き方になります。$`\newcommand{\mrm}[1]{ \mathrm{#1} }\newcommand{\hyp}{\text{－} }
\newcommand{\In}{\text{ in }}
\newcommand{\cat}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\dimU}[2]{{#1}\!\updownarrow^{#2}}`$
| $`r = d `$ | $`r = d + 1`$ | $`r = d + 2`$ | |
| $`n = 0`$ | $`{\bf Set}`$ | $`{\bf SET}`$ | $`\mathbb{SET}`$ |
| $`n = 1`$ | $`{\bf Cat}`$ | $`{\bf CAT}`$ | $`\mathbb{CAT}`$ |
| $`n = 2`$ | $`{\bf 2Cat}`$ | $`{\bf 2CAT}`$ | $`\mathbb{2CAT}`$ |
$`d`$ はデフォルトの宇宙レベルです。この表は「ファミリー構成モナド： 大規模構造の事例として // 一般化されたファミリーとその圏」からのコピーなので、詳しくは当該過去記事を参照してください。
文字種を変える書き方には限度があるので、一般的には、宇宙レベル $`r`$ における“n-圏達を対象とする(n + 1)-圏” は次のように書きます。
$`\quad n{\bf Cat}_{\#r}`$
$`n{\bf Cat}_{\#r}`$ の対象 $`X, Y`$ をとると、ホムn-圏が決まります。
$`\quad n{\bf Cat}_{\#r}(X, Y) \in |n{\bf Cat}_{\#r}|`$
例えば、$`0{\bf Cat}_{\#r}`$ の対象（集合） $`X, Y`$ をとると、ホム0-圏、つまりホムセットが決まります。
$`\quad 0{\bf Cat}_{\#r}(X, Y) \in |0{\bf Cat}_{\#r}|`$
$`1{\bf Cat}_{\#r}`$ の対象（圏） $`X, Y`$ をとると、ホム1-圏、つまりホム圏が決まります。
$`\quad 1{\bf Cat}_{\#r}(X, Y) \in |1{\bf Cat}_{\#r}|`$
ホムn-圏 $`n{\bf Cat}_{\#1}(X, Y)`$ のk-射を、(n, k)-変換手〈(n, k)-transfor〉と呼びます。変換手については、例えば次の過去記事に書いてあります。
n, k が小さいときの変換手は：
- (0, 0)-変換手は、集合のあいだの関数
- (0, 1)-変換手は、関数のあいだの等式
- (1, 0)-変換手は、圏のあいだの関手
- (1, 1)-変換手は、関手のあいだの自然変換
- (1, 2)-変換手は、自然変換のあいだの等式
- (2, 0)-変換手は、2-圏のあいだの2-関手
- (2, 1)-変換手は、2-関手のあいだの2-自然変換
- (2, 2)-変換手は、2-自然変換のあいだの変更〈modification〉
- (2, 3)-変換手は、変更のあいだの等式
(n + 1)-圏 $`n{\bf Cat}_{\#r}`$ のホムn-圏は、変換手n-圏〈transfor n-category〉／変換手圏〈transfor category〉または変換手空間〈transfor space〉とも呼ぶことにします。
関数集合〈関数空間〉を $`[A, B]`$ 、関手圏を $`[\cat{C}, \cat{D}]`$ と書く習慣があるので、変換手圏〈変換手空間〉もブラケットで書くことにします。
$`\quad [X, Y]_{n, \#r} := n{\bf Cat}_{\#r}(X, Y) \; \in |n{\bf Cat}_{\#r}|`$
文脈からサイズ（宇宙レベル）が明らかなら、下付きの $`\#r`$ は省略して単に $`[X, Y]_n`$ と書きます。
- $`[A, B]_0`$ は、(0, 0)-変換手達、つまり関数達の集合
- $`[\cat{C}, \cat{D}]_1`$ は、(1, k)-変換手達、つまり関手達／自然変換達からなる圏
- $`[\cat{K}, \cat{L}]_2`$ は、(2, k)-変換手達、つまり2-関手達／2-自然変換達／変更達からなる2-圏
このブラケット記法〈bracket notation〉*1に、もうひとつ便利な約束を導入することにします。それは：
- $`[\hyp, \hyp]_n`$ の引数（ハイフンを埋めるモノ）に対して、自動的に次元調整がされるとする。
次元調整については、「圏の次元調整」を参照してください。上の約束が言っていることは次のことです。
$`\quad [X, Y]_{n} := n{\bf Cat}_{\#r}(\dimU{X}{n}, \dimU{Y}{n}) \; \in |n{\bf Cat}_{\#r}|`$
ブラケットへの引数の次元が、必ずしも n でなくてもいいよ、ってことです。例えば $`A`$ が集合のとき、次のような次元調整がされます。
$`\quad [A, {\bf Set}]_1 := 1{\bf CAT}(\dimU{A}{1}, \dimU{\bf Set}{1}) = {\bf CAT}(\mrm{Disc}(A), {\bf Set})`$
ここで、$`\mrm{Disc}`$ は集合を離散圏とみなす関手です。さらに、次が成立します。
$`\quad |[A, {\bf Set}]_1| \cong {\bf Set}(A, |{\bf Set}|) = |{\bf Fam}[A]| \In {\bf SET}\\
\quad [A, {\bf Set}]_1 \cong {\bf Fam}[A] \In {\bf CAT}
`$
集合 $`A`$ をインデキシング集合とするファミリー達の圏を $`[A, {\bf Set}]_1`$ と簡略に書けます。ファミリー達の集合なら $`[A, {\bf Set}]_0`$ です。
別な例として、$`\cat{C}`$ が圏〈1-圏〉のとき、次のような次元調整がされます。
$`\quad [\cat{C}^\mrm{op}, {\bf CAT}]_1 := 1{\bf CAT}(\dimU{\cat{C}^\mrm{op}}{1}, \dimU{\bf CAT}{1}) = {\bf CAT}(\cat{C}^\mrm{op}, \dimU{\bf CAT}{1})`$
$`[\cat{C}^\mrm{op}, {\bf CAT}]_1`$ は、厳密〈strict〉なインデックス付き圏〈indexed category〉達の圏を表します。それに対して弱い〈weak〉インデックス付き圏達の2-圏は次のように書けます。
$`\quad [\cat{C}^\mrm{op}, {\bf CAT}]_2 := 2{\bf CAT}(\dimU{\cat{C}^\mrm{op}}{2}, \dimU{\bf CAT}{2}) = 2{\bf CAT}(\mrm{Disc2}(\cat{C}^\mrm{op}), \bf CAT)`$
ここで、$`\mrm{Disc2}`$ は圏を2次元離散的な（2-射が恒等2-射のみの）2-圏とみなす2-関手です。$`[\hyp, \hyp]_2`$ の場合、(2, 0)-変換手〈2-関手〉に種類があるので、それも指定する必要があるかも知れません。例えば、ラックス2-関手を(2, 0)-変換手とするなら、
$`\quad [\cat{C}^\mrm{op}, {\bf CAT}]_2^{\mrm{lax}}`$
とか。
ブラケット記法は短く書けるし、次元調整を省略できることから、簡潔な記述が可能となります。ただし、略記は必然的に曖昧性・難読性につながるので、そこは注意する必要があります。
*1:物理で出てくるブラ＆ケット記法とは何の関係もありません。
