さらに「モナド入門」に補足：記号だの図だの

「モナドの定義とか」への追記で書こうかと思ったけど、ちょっと長いからエントリー起こします。

まず、「Kleisliトリプルの拡張オペレータ（extension; 僕はextと書いた）のHaskellでの対応物」の件は、nanakosoさんが“彷徨の末に落ち着いた経緯”を報告なさっているので、http://www3.atwiki.jp/nanakoso/pages/16.htmlをご参照ください。「>>=」と左右逆の形状の記号「=<<」で表現される高階関数は、完全にextと一致します。

右向きの矢印に見える「>>=」のほうは、右側オペランドだけをfixした状態(>>=f)がext(f)になりますが、その形状（左から右に向かう）の印象から、a >>= f で「引数aをfの拡張に送る／渡す」と読むのが心理的に自然な気がします（あくまで印象論ですが）。左から右へと書けることが>>=の重要な点かと思います；シンタックスシュガーに威力を発揮するでしょう。

さてと、ここでちょっとした記憶のコツ（実際は、記憶しないで済ますコツ）を； lift, ext, joinなどの関係を矢印の図式で捉えておくと、いつでも再現できます。

f:X→Yに、unit_Y:Y→M(Y)を後結合（post-compose）すると、次のような感じ：

      M(Y)           M(Y) 
        ↑           ／
        ｜  ⇒   f'／  :
    f   ｜       ／    :
X ----→Y      X . . . Y

図で、f' = f;unit_Y が後結合の結果なのだけど、これ、頭（矢印の先）だけが持ち上がっているでしょう。一方、fにextを作用させると次のよう：

               M(X)
                  ＼ 
             ⇒     ＼f^
      f               ＼
  X ----→Y      X . . . Y

f^ = ext(f)、こっちはお尻（矢印の根本）がヒョイと持ち上がっている。頭の次にお尻（お尻が先でもOK）を持ち上げると：

                                  f*
      M(Y)           M(Y)   M(X)----→M(Y)
        ↑           ／       
        ｜  ⇒   f'／  :  ⇒  
    f   ｜       ／    :      
X ----→Y      X . . . Y       X . . . Y

f* = f'^ = ext(f;unit_Y) は、頭もお尻も持ち上がって、全体の持ち上げlift(f)ってわけね。

         f*
   M(X)----→M(Y)
         ∧
         ‖(lift)
         f   
     X ----→Y

[訂正追記 date="20060422"]持ち上げの際に、「お尻が先でもOK」と書いたのは勘違い／間違い。f:X→M(Y)ならお尻を持ち上げられるけど、f:X→Yのお尻XをM(X)に持ち上げる一般的方法はありません。削除しました。
なお、f:X→M(Y)の形の関数は“M-resultic”と呼ばれて、お尻持ち上げはM-resulticな関数に限りるわけですが、f:X→M(Y), g:Y→M(Z)という2つのM-resultic関数なら、f;g^ として結合（Kleisli composition）を定義可能なところがモナドのミソなんですね。[/訂正追記]

M(X)をUとおいて、id_U:U→U i.e. id_U:M(X)→M(X)として、このid_Uのお尻をextで持ち上げると：

                   M(M(X))
                        ＼
                ⇒        ＼id^
      id                    ＼
M(X) ----→M(X)     M(X). . . M(X)

こうやってできるid_U^ = ext(id_U):M(M(X))→M(X)がjoinとかflattenとかunionとか書かれる関数です。圏論のほうでは、joinを乗法（慣用の記号はμ）と呼び、掛け算と類似の演算のように考えて、乗法の結合律とunitに関する単位律をモナドの定義に採用する流儀もあるんです（「モナドの定義とか」を参照）。

こういう矢印の図は… それを話し出すときりがないからココマデにしよう。