郡司ペギオ-幸夫さんもお勧めのn-圏（高次元圏、高次圏、higher[-dimensional] category）のハナシをします*1。
n-圏は難しいなー、と思うのですが、どんな分野であれその分野固有の「難しさ」はあるので、「Xは難しい」のXに何を代入しても正しくなりそうです。というわけで、「なにかと比較して難しい」とか「絶対的に難しい」とかいうことではなくて、僕が個人的に困惑している点を述べます。
個人的に感じる難しさは、入り口にさえたどり着けない感覚なんですよね。まずは、おおざっぱでもなんでも「n-圏の定義」から入りたいのですが、その定義がよくわからんのです。どうやら、「誰も確定的な定義を持ってない」という事情らしい。しょうがないので、特定の誰かを選んで、その人*2の定義を受け入れようと思っても、（その人の）n-圏の定義がいつ終わるかがわからない、、、、*3 n-圏は、本質的に（その本性として）定義が困難なモノのようです。実例があるので、実例に慣れて「感じ」を掴むしかないのかなー。
n-圏を定義する、ということは
例えば、モノイド（単位半群）の定義を振り返ってみると、次のようなものです。
- 集合Mがある。
- 特別な要素eと、写像m:M×M→M がある。
- eとmに関して、結合律と単位律が成り立つ。
n-圏も同様な手順で定義を述べられると思うのですが、手順の各段階がやたらに手間がかかるみたいです。
まず、「集合Mがある」では済まなくて、n-圏の構造を載せる台Xが既にかなり複雑なナニカです。ナニカが何だかは確定してないと思いますが、ナニカの一例として「バタニンの球複体 とりあえず導入」に書いた球複体（reflexive globular setと呼ぶほうが一般的かもしれません）があります。他にも、「n-圏を載せるナニカ」の候補はあります。
n-圏を載せる台Xが仮に定まったとして、Xの上に単位（恒等）と演算（結合、合成）を定義する必要があります。モノイドのような代数系とは違い：
- 単位や演算がたくさんある。無限にあると思ったほうがいい。
- 単位や演算は全体的（total）に定義はできない。部分的（partial）なものとなる。
- 複数の単位や演算は相互に関係する。
最後の「相互に関係する」は、「足し算と掛け算が分配律で関係する」ような類の関係ではありません（それは計算の法則として述べられることです）。おおまかに言えば、「xとyに対して演算が定義されているなら、xとyの境界部分において、より低い次元の演算も定義できる」とか、その逆の主張とかです。
当然ながら、「境界」とか「低い次元」とかの概念は、演算の定義に先立つ必要があり、それは「n-圏を載せる台X」のレベルでサポートされなければなりません。もっとも、台の構造と単位／演算を一挙に定義するような方法もあるのかも知れませんが。
さて、定義の最終段階は「計算法則を書き下す」のですが、ここはさらに大変そうです。演算がたくさんあるので、法則もたくさんあるという量的問題があります。それだけならまだしも、等式が使えないのがシンドイ。
n-圏の計算法則は、モノイドの場合と同様、単位律と結合律です*4。多くの場合、法則をイコールでは書けなくて、同型を使って書きます。すると、その同型達を制約するメタ法則が必要になります。そのメタ法則も同型でしか書けないとなると、メタな同型達を制約するメタメタ法則が必要になり、…… そのうちイコールに出会えたにしても、そのあいだに蓄積されたたくさんの法則達は等式ではありません。等式ではない法則の扱いは鬱陶しいのですよ。
それでも、n-圏はある
そこまで面倒なものを書き下したり、計算を実行する要求があるのか？ -- あります。計算科学だけみても、n = 2, n = 3 程度の例は出てきます。次元が2か3でも、もっと高い次元（例えば n = 4）から退化した構造らしきモノもあります*5。
元来複雑なモノなので簡単な例を出せないのが困りものなんですが、「n-圏とは何だろう」の「例：順序集合の圏」は2-圏の例です。絵で描けるオモチャのn-圏の例を紹介できたらいいなーと思ってんですけど、、、（なかなかできない）。
*1:n-圏を推奨しているのは、郡司さん御本人というより、郡司さんに心酔しているらしい辻下徹さんかもしれません。
*2:最近は、Carl A. Futia という人がいいかな、と思っています。
*3:これは、書かれたものを読んでいて、定義の部分がどこで終わるのか／終わったのか予測／理解できない、という意味ですが、ある人がより良い定義を模索しているときは、その作業がいつ終わるかは当然に予測できません。
*4:もちろん、モノイドの単位律と結合律そのものではなくて、一般化されています。他に、交替律（interchange law）が登場します。
*5:例えば、始状態と終状態、入出力を持つ状態遷移系に模倣関係を考えた全体とかは、何次元なんだかよくわかりませんが、たくさんのいろんなタイプの射（セル）を持っています。
