[追記]ニョッ、タイトルも含めてコモノイドとコモナドを書き間違えている。まー、発音も意味も似た語だからしょうがないよね。直しますけど。[/追記]
コモニャドセミナーに行ってきた。 - hiroki_fの日記：
量子系と古典系って(計算)と(状態)の関係にあるんじゃないかと夢想してみたり。
物理とどんだけ関係あるんだかわかんないけど、対角（単なるコピー操作）を余乗法（comultiplication）とするコモナドコモノイドに対して、加群概念の双対である余加群を考えると、観測操作を定式化できるんですよね。この観測は、「二度続けて観測しても同じ観測値を得られる」という意味で「観測対象に影響を与えない」ので、古典的な観測と言えるでしょう。集合圏の対角コモナドコモノイドを、別な圏の別なコモナドコモノイドにすれば、たぶん量子的な観測も定式化できるし、アブラムスキー組がやっていたはず。
物理的あるいは哲学的な意味を議論しなければ、全然難しい話じゃないので、絵算で説明しましょう。
モノイドとコモノイド
対角演算、いや余演算*1は、記号でも絵でも白三角（大文字デルタ）Δを使うのが習慣だけど、モノイド演算を黒丸（●）にして、コモノイド余演算は双対らしく白丸（○）にします。絵は上から下に読みます。
モノイド演算
＼ ／
＼ ／
●
｜
｜
コモノイド余演算
｜
｜
○
／ ＼
／ ＼
モノイドは結合律と単位律を満たし、コモノイドは余結合律と余単位律を満たします。とりあえず、コモノイドの例は対角コモノイドで十分。
加群＝状態遷移系
加群（の台）SへのモノイドMの作用を▼で表します。
加群へのモノイド作用
M ＼ ｜S
＼ ｜
▼
｜S
｜
線形代数なら； Mは多元環（いわゆる代数）で、Sが線形代数の意味の加群です。そして、▼はスカラー乗法です。
コンピューティングでは； Mがコマンドとかアクションとかのモノイド、オートマトンなら入力アルファベット集合Aからクリーネスターで作ったモノイドA*とかです。Sは状態空間で、▼はアクション実行や入力記号で引き起こされる状態遷移ですね。（用語だけは色々無闇とイッパイありますが、みーんな同じ概念です。）
作用▼が結合的（associative）であることは、次の絵図等式で表現できます。「‖」は縦に書いた等号です。
M＼ ｜S
＼ ｜
▼
＼ ｜S
M ＼ ｜
▼
｜S
‖
M＼ ／M ｜S
● ｜
＼ ｜
M ＼ ｜
▼
｜S
結合律のコンピューティングにおける解釈は、
- コマンド、アクション、インストラクション、入力記号列とかなんとか呼ばれるナニカ（要するにモノイドの要素）による状態遷移を2回別々に行うことは、集約したコマンド（アクション、インストラクション、入力記号列とかなんとか）をまとめて1回作用させるのと同じだ
ということです。これは、キューイング（バッファリング）やリクエストメッセージの最適化を合理化する原理です。
単位律は、今日は使わないから省略。
余加群と観測
余代数上の余加群は線形代数でも出てきますが、以下の実例はコンピューティングの状態遷移系、または日常的な物理系にします。
なんらかの系の状態空間をSとして、状態を観測して得られる値の集合をVとします。例えば、スタック状態（リストで表現可能）の全体がSで、スタックトップを観測して得られる値の全体がVとか。Vの対角余演算を白丸（○）とします。つまり、v∈V に対して ○(v) = (v, v) です。
白三角（△）で観測を表します。△(s) = (v, s')、sが観測前の状態値、vは観測値、s'は観測後の状態値です。一般的には、観測行為（例えば殴ってみて悲鳴を聞くとか）により観測対象に影響を与えます（例えば全治2週間とか）。よって、sとs'が等しい保証はありません。
さてここで、加群の結合律の絵図を上下ひっくり返しに描いてみます。上下をひっくり返すとは、射の向きを逆にすることで、圏論的な双対を取ることです。
｜S
△
／ ｜
V ／ ｜S
△
／ ｜
V ／ ｜S
‖
｜S
△
V ／ ｜
／ ｜
○ ｜
V／ V＼ ｜S
上の絵では、観測△が2回行われています。下では観測△が1回です。その代わり、下の絵では、得られた観測結果を対角余演算○でコピーしています。結合律の双対である余結合律は、これらが等しいことを主張します。
通常の等式で書けば:
上の絵：
△(s0) = (v1, s1) …… 1回目の観測
△(s1) = (v2, s2) …… 2回目の観測下の絵：
△(s0) = (v1, s1) …… 1回だけの観測
○(v1) = (v1, v1) …… 観測値のコピー等式：
(v1, v2) = (v1, v1)
つまり
v2 = v1 …… 2回目の観測値は1回目の観測値と等しい
2回観測して2個の観測値を得たものが、1回観測した値をコピーした2個に等しいので、結局、1回目の観測値と2回目の観測値は等しくなります。これは、何度観測しても同じ観測値が得られることを保証するので、観測が状態を壊してないことを意味します。正確に言えば、状態に影響を与えているかもしれませんが、その影響を当該の観測から判断することはできないのです。
「コモノイドと余加群」を、「値のコピーと観測」と解釈したときには、余結合律は「観測が古典的である」という主張になります。あるいは、プロパティ、アトリビュート、フィールドアクセス、変数参照、クエリーとかなんとか呼ばれる「読み出すだけの操作」が状態遷移を引き起こさないことを保証するとも解釈できます。
「もとの概念と双対概念は全然似てない！」と僕は強調してますけど、どうですか？ 結合律と余結合律は似てましたか？
*1:日本語だと、演算（普通は二項演算）の双対を余演算といってもいいでしょうけど、operationにcoを付けると cooperation で別な意味の語になっちゃうなー。co-operation ？ ダメっぽい。やっぱり co-multiplication ですかね。
