任意の圏Cに対して、Cの Karoubi envelope と呼ばれる圏を作れるんですよ。Karoubiをなんて発音するかわからんし、envelopeの訳語もわからんけど、とりあえず「カロウビ展開圏」という言葉を使っておきます。カロウビ展開圏はすごく役に立つんだけど、あまり知られてないみたいだから紹介します。
Cの射aが、a;a = a であるときベキ等射と呼びます。a;a = a が意味を持つためには、aは自己射（endomorphism）でなくてはなりません。つまり、dom(a) = cod(a)。ベキ等射aの域（余域でもある）をAとして、(A, a)のような組で表すこともあります。組による表現は必須ではありませんが、分かりやすいので使うことにします。
与えられた圏Cに対して、新しい圏Kを作ります。その作り方を順に述べます。まず、Kの対象は、Cのベキ等射とします； a∈|K| ⇔ aはCのベキ等射 ⇔ a;a = a inc C。Kの射 f:(A,a)→(B, b) は次の条件を満たすCの射だとします
- f:A→B in C
- a;f:b = f
Kにおける射の結合は、Cにおける射の結合をそのまま使います。この定義を正当化するには、次を示す必要があります。
- f∈K(a, b), g∈K(b, c) ならば、f;g∈K(a, c)
言い換えると：
- f∈C(A, B), g∈(B, C) で a;f;b = f, b;g;c = g ならば、a;(f;g);c = f;g
これは簡単に示せますね。Kにおける「;」の結合律は、Cにおける結合律から従います。
a∈|K| に対して、Kにおける ida は、a:A→A in C で定義します。ida∈K(a, a) とは次のことですから、あきらかです。
- a;a;a = a in C
ida がKにおける恒等になっているとは：
- f∈K(a, y) ならば ida;f = f
- g∈K(x, a) ならば g;ida = g
これをC内の命題で表現すれば：
- f∈C(A, Y), a;f;y = f ならば、a;f = f
- g∈C(X, A), x;g;a = g ならば、g;a = g
これもすぐに分かります。
こうして作った圏Kを、Cのカロウビ展開圏と呼び、K = KE(C) と書くことにします。カロウビ展開圏は、いろいろと面白い性質や応用があるんですが、今日は定義のみ。
