スパンの圏と行列の圏 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)

最近気付いたことを大雑把に記します。細部は記述していません。

ファイバー積（引き戻し、pullback）が存在する圏Cに対して、スパンの圏Span(C)が定義できます。特にCが集合圏Setである場合を考えます。Span(Set)の話ですね。Span(Set)のなかに、関係圏Relを埋め込めるので、Span(Set)はRelの拡張だとも言えます。

この圏Span(Set)は、一般化された行列の圏として表現できることに気付きました。

Span(Set) $\stackrel{\sim}{=}$ Mat^|Set|_Set

$\stackrel{\sim}{=}$ の右側は一般化された行列の圏ですが、これは後で説明します。 $\stackrel{\sim}{=}$ は圏同値です。かなり“強い”圏同値なので、イコールだと思ってもいいでしょう。つまり、Span(Set)とMat^|Set|_Setを同一視してもかまわない、ということです。

内容：

スパン
圏係数の行列
SPANとMATの対応関係

スパン

Span(Set)の前に、SPAN(Set)を定義します。大文字だけで書いたSPAN(Set)は圏に近いですが、圏ではありません。

S = SPAN(Set) と置くと、Sとは次のようなものです。

|S| = |Set|
S(A, B) は、A←X→B という形のスパンの集合。
(A←X→B)∈S(A, B) と (B←Y→C)∈S(B, C) の結合（composition）は、コスパン(X→B←Y)のファイバー積X×_BYを使って (A←X×_BY→C)∈S(A, C) と定義する。
恒等 Id_A∈S(A, A) を、自明なスパン(A←A→A)として定義する。

S = SPAN(Set) が圏にならないのは、次の3つの条件を満たさないからです。

ホムセットが集合である。
結合（composition）の結合律（associative law）が等式として成立する。
恒等の単位律が等式として成立する。

S = SPAN(Set) では、

S(A, B) は巨大な集まりで、小さな集合（small set）とは言えない。
結合律は等式としては成立しない（成立することを保証はできない）。up-to-isoでなら成立する。
同様に、単位律もup-to-isoでしか成立しない。

ホムが大き過ぎるし、計算法則もユルユル。扱いにくいのは事実です。しかし、集合A, Bを固定してS(A, B)を眺めると、これは圏になっています。この圏の射 f:(A←X→B)→(A←Y→B) は、スパンのボディのあいだの写像 f:X→Y で左右の脚と可換なものと定義すればいいのです。特に、A = B = 1 = 単元集合とするなら、S(1, 1)は集合圏Setと圏同型（圏同値より強い）となります。また、S(A, 1)はオーバー圏Set_/Aと圏同型です。

個人的には、S = SPAN(Set) をそのまま使ってもいいと思うのですが、通常は細工をして圏にします。A, BごとのS(A, B)は圏なので、対象のあいだの同型概念が定義できます。同型な対象を同一視すれば、結合律と単位律が等式で成立するようになります。

(Span(Set))(A, B) := |S(A, B)|/ $\stackrel{\sim}{=}$

こう定義した場合、(Span(Set))(A, B)が小さな集合なのか？これはあやしいですよね。例えば、(Span(Set))(1, 1)はSetと同一視可能です。Setの同型類の集まりは、基数の集まりと同じサイズを持つので「小さくない」と僕には思えるのですが、ハッキリした説明を見たことがないです。

とはいえ僕は、サイズもユルユルも気にしないので、何もしないもとの状態 S = SPAN(Set) で考えます。気になる人はホムを同型で割ってください -- サイズはともかくもユルユルは改善されます。

圏係数の行列

まず、Kを可換半環とします。Mat_Kを、K係数の行列の圏とします。行列の圏については「はじめての圏論その第2歩：行列の圏」で説明しています。n, m∈N に対して、Mat_K(n, m)は、K係数のm行n列の行列全体の集合です。

行列の係数域を半環から半環圏に一般化しましょう。半環圏は、半環と似た構造を持つ圏です。2つのモノイド積 $\otimes$ , $\oplus$ を持っていて、それらのあいだに分配律がup-to-isoで成立するような圏だと思えばいいです。もっと詳しいことは「デカルト半環圏の定義を確認してみる（デカルト半環作用圏のために）」に書いてあります。 $\oplus$ は対称なモノイド積です。 $\otimes$ も対称だと仮定したほうが話がスムーズでしょう。

C = (C, $\oplus$ , O, $\otimes$ , I) を半環圏とします。Oは $\oplus$ に対するモノイド単位、Iは $\otimes$ に対するモノイド単位です。具体例としては、(Set, +, 0, ×, 1) や (Vect_R, $\oplus$ , {0}, $\otimes$ , R) などがあります。

n, m∈N に対して、{1, ..., n}×{1, ..., m}→|C| の形の写像の全体を MAT_C(n, m) とします。|C|が小さい集合とは限らないので、MAT_C(n, m) も小さい集合とは限りません。それで、大文字でMATと書きました。

a∈MAT_C(n, m) と b∈MAT_C(m, k) に対して、行列の積 ba∈MAT_C(n, k) は普通の行列と同じように定義できます。足し算／掛け算は、Cの $\oplus$ と $\otimes$ を使います。baをa;bとも書きます。id_nは、対角成分にIを、その他はOを並べた正方行列とします。

MAT_Cは圏に似てますが、通常の圏ではありません。その理由は：

MAT_C(n, m) は小さな集合とは限らない。
結合律は等式として成立するとは限らない。
単位律も等式として成立するとは限らない。

事情は、SPAN(C)が圏とは限らないのと同様です。

n, mを固定したときのMAT_C(n, m)は圏になります。|MAT_C(n, m)|は先に定義したC係数の行列の集まりとして、a, b∈|MAT_C(n, m)| に対して、f:a→b をCの射の行列だとします。つまり、f:{1, ..., n}×{1, ..., m}→Mor(C) です。dom(f(i, j)) = a(i, j), cod(f(i, j)) = b(i, j) を満たすとします。

対象の行列を1-セル、射の行列を2-セルと考えると、MAT_Cには2次元の圏もどきの構造が入ります。

縦結合は厳密な結合律、単位律を満たす。
横結合（行列の積）はup-to-isoで結合律、単位律を満たす。
全体として双圏の公理を満たす。
しかし、ホムセットが集合とは限らない。

行列概念をもう少し一般化しておきましょう。行列のインデックスに自然数以外も許すことにします。

行列は縦横2次元の配置ですが、係数（成分）の位置は {1, ..., n}×{1, ..., m} でインデックスされます。言い方を換えると、インデックス集合は自然数の区間です。

インデックス集合の概念を拡張するために、集合の族（family of sets）Jを考えます。そして、Jに属するA, Bに対して MAT_C(A, B) を考えることにします。そうやって作った行列の双圏（ホムセットが小さいとは限らない）をMAT^J_C と書くことにします。インデックス集合をJ内に取る以外はMAT_Cと変わりません。

SPANとMATの対応関係

以上で、圏Cに対してSPAN(C)とMAT^J_Cが定義できました。SPANとMATの定義の仕方はまったく違うので、SPANとMATを比較することは一般には出来ません。しかし、C = Set のときなら、SPANとMATを比較できて、SPAN(Set)とMAT^|Set|_Setは（大きなホムセットを許す）双圏として同値になります。

今までの定義に基いて計算してみると、集合に関するSPANとMATが同じであることは、直感的には割と明らかです。しかし、厳密に示すのは面倒です。インデックスの集合が有限集合とは限らないので、行列の積の定義を変更しなくてはなりません。有限和から無限和への拡張です。

無限和を自由に行うには、有限的な法則だけをもつ半環圏では不足で、無限演算（∞項演算）としてのモノイド積が必要です。集合圏Setの場合は、足し算が圏論的直和、つまり余極限で与えられるので、余完備性として無限和を記述できます。集合圏に限るなら、無限直和を入れても分配律が成立するので、MAT^|Set|_Setの行列計算はうまく定義できます。（余極限とは限らない無限モノイド積は面倒そうです。）

SPAN(Set)とMAT^|Set|_Setの対応を具体的にどう決めるかというと：

|SPAN(Set)| = |MAT^|Set|_Set| = |Set| なので、対象のレベルでは恒等で対応させる。つまり、対象類は共有する。
A, B∈|Set| ごとに、ホム類の対応 Φ_A,B:(SPAN(Set))(A, B)→MAT^|Set|_Set(A, B) を作る。
x = (A←X→B) がスパンで、左右の脚を L_x:X→A, R_x:X→B として、Φ_A,B(x) := (L_x^-1(a)∩R_x^-1(b)| a∈A, b∈B) と定義する。

要するに、左右の脚の逆像により、スパンのボディXを細かく区切るわけです。区切られた各々の部分集合は、A×Bの要素でインデックスされます。なので、集合係数の行列とみなせるのです。

この定義をもとに、他の定義をしたり必要な性質を確認していけば、SPAN(Set) $\stackrel{\sim}{=}$ MAT^|Set|_Set が分かります。ホム類ごとに同型で割れば Span(Set) $\stackrel{\sim}{=}$ Mat^|Set|_Set も従います。

スパンの圏よりは、行列の圏のほうが計算がしやすい気がします。インデックス集合を有限集合に限るなら、無限和が不要なので、Vect_Rのような圏からも行列の圏は作れます。半環圏に対して、スパンの圏のようなものを作りたいとき、行列の圏で代用できるケースはありそうです。