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参照用 記事

ド・ラーム・コホモロジーとホッジ分解のオモチャ (2/2)

ド・ラーム・コホモロジーとホッジ分解のオモチャ (1/2)」の続き・後編です。今回の第2節から第6節(全8節)で、オモチャ=有限離散モデルを作ります。この部分は、純粋に線形代数の話です。ここだけを取り出して(文脈を無視して)、線形代数の練習問題として読むこともできます。第7節で、前回の話との関係を述べます。「背景を知らずに代数的議論だけを追うのはイヤだ」という方は、第7節を先に読んでください。

内容:

前回・前編の内容

  1. 予備知識は線形代数だけ
  2. 背景のオハナシ(超・急ぎ足)
  3. 複体
  4. 複体上のパスとチェーン
  5. 実数係数チェーン空間
  6. 境界作用素 1
  7. 境界作用素 2
  8. 組み合わせ複体と代数的複体
  9. 代数的複体もっと
  10. ラプラシアンラプラス方程式

この記事の記述方法について

この節には、僕からの注意とお願いが含まれます。

記事内で述べられている命題のあいだの関係をハッキリさせるために、命題にラベルを付けることにします。例えば:

  • [記述サンプル] (a + b) + c = a + (b + c) ---(足し算の結合法則)

この例では、「足し算の結合法則」というラベルが導入されています。ラベル付けされた命題を参照するときは、「$(ラベル)」と書くことにします。

  • [記述サンプル] $(足し算の結合法則)によりウンヌンカンヌン

参照からもとの命題にハイパーリンクを張ったりすると便利でしょうが、そこまではやってません。文字列検索で、もとの命題は探せるでしょう。

命題をラベルにより参照したとき、その命題を繰り返し記述(引用)するときは、次に形にします。

  • [記述サンプル] $(足し算の結合法則: (a + b) + c = a + (b + c) )によりウンヌンカンヌン

一時的なラベルには番号(「---(1)」や「$(1)」)を使います。

記事本文内で言及してないが、予備知識だと想定されている命題への参照は、「$?(ラベル)」とします。

この場合、「ピタゴラスの定理」というラベルが記事本文内にあるわけではありません。必要があれば、ラベルの文言をヒントに何かで調べてください。

こういうルールで書き進めてみると、問題が発生しました。命題のラベルにそれらしい語句を割り当てようとすると、本文内で説明してない言葉が入り込んでしまうのです。例えば、「ヌルベクトル」について一切説明してないにも関わらず、ラベルは「非自明ヌルベクトルの非存在」となったりします(実際、このラベルを使っています)。それで、ラベル内の文言を脚注で説明しだしたのですが、いちいちこれをやっていると、脚注が増えて大変。

ラベルを、通し番号やランダム文字列にすればこの問題は発生しませんが、それも味気ないし、ラベルを記憶できません。それでお願いです。ラベルの意味が分からなくても詮索しないでください。識別用の文字列に過ぎない、と割り切ってください。よろしくお願いします。

ラベルが付いている命題を、この記事内ですべて証明しているわけではありません。が、要点となる目ぼしい命題には証明を付けています。僕は、説明(地の文)に証明を埋め込むスタイルが好きなんですが、それが苦しいときは別枠で証明を書きます(けっこう別枠が多い)。

あ、それと; 僕の横着から、F;Gのような図式順記法と、G\circFのような反図式順記法が混じっています。それを不快と感じたり困惑してしまう方は、「双対や随伴に強くなるためのトレーニング」を読んでトレーニングしてくださいな。

内積ベクトル空間と随伴線形写像

Vは実数係数ベクトル空間で、内積〈inner product〉が備わっているとします。u, v∈V に対して、uとvの内積を(u|v)と書きます。内積は双線形(uに関してもvに関しても線形)な実数値関数で、次を満たすものです。

  1. (u|v) = (v|u) ---(内積の対称性)
  2. (v|v) ≧ 0 ---(内積の正定値性)
  3. (v|v) = 0 ならば v = 0 ---(非自明ヌルベクトル*1の非存在)

次の事実は、定義からすぐに出ますが、重要です。

  • (任意の u∈V に対して (u|v) = 0) ⇔ v = 0 ---(内積の非退化性*2)

ここから先、ベクトル空間は有限次元のものだけ考えます。ベクトル空間Vが内積を持つとき、正規直交枠 {a1, ..., an} (ai∈V)が取れます。枠〈frame〉とは、基底の要素に番号(全順序)を付けたものです*3。{a1, ..., an} の双対枠を {f1, ..., fn} としましょう。双対枠は、Vの双対空間 V* = (V上の線形形式の空間) の枠となります。双対枠の要素fjは、次のように定義されます。

  • i = 1, ..., n に対して、fj(ai) := δji ---(双対枠の定義)

ここでδjiクロネッカーのデルタで、

  • δji := (if i = j then 1 else 0)

aiをfiに対応させる写像を線形に拡張して Φ:V→V* が定義できます。このΦは、実は正規直交枠の取り方に寄りません。正規直交枠を使わずいきなりΦを定義するなら、

  • Φ(u)(v) := (u|v) ---(カリー化内積の定義*4)

あるいはラムダ記法を用いて、

  • Φ(u) := λv.(u|v)

と定義します。Vが有限次元でないと、このΦが全射であることは自明ではありません(リースの表現定理など)。今は有限次元での話なので、Φが(ベクトル空間の)同型写像なのは容易にわかります。

V, Wが2つの内積ベクトル空間〈inner product vector space〉(内積が備わったベクトル空間)だとして、F:V→W を線形写像だとします。Fの随伴線形写像〈adjoint linear map〉Fを次のように定義します。

  • F := Φ;F*-1 :W→V ---(随伴線形写像の定義)

ここで:

  • ';'は、“写像の結合”の図式順〈diagrammatic-order〉記号です。反図式順〈anti-diagrammatic-order〉記号'\circ'を使うなら、F := Φ-1\circF*\circΦ 。
  • 図式順記法で左のΦはWに対する Φ = ΦW :W→W* で、右のΦ-1はVに対する Φ-1 = (ΦV)-1 :V*→V です。つまり正確に書けば、F := ΦW;F*;(ΦV)-1
  • F*はFの双対線形写像〈dual linear map〉で、(F*(g))(v) := g(F(v)) として定義されます。

Fは次の性質を持ちます。

  • 任意の v∈V, w∈W に対して、(F(v)|w) = (v|F(w)) ---(随伴線形写像の基本性質)

この性質を持つような(唯一の)線形写像としてFを特徴付けることもできます。記法の工夫(すぐ下の箇条書き)の例示も兼ねて、実際に計算しておきましょう。

  1. f∈V*, v∈V に対して、f(v)を<f|v>とも書く。
  2. F;G = G\circF を単に FG と書いてよい。
  3. F(v) を単に Fv と書いてよい。
  4. 結合(写像の合成、記号は'\circ', ';', 併置)よりも、単項演算子のスター(-)*ダガー(-)のほうが優先される。
  5. V** = (V*)* をVと同一視して、Φ:V→V* の双対を Φ*:V→V* とみなす。この設定で、F** = (F*)* = F, Φ* = Φ, (Φ-1)* = Φ-1
ターゲット命題: (F(v)|w) = (v|F(w)) ---(随伴線形写像の基本性質)

内積(-|-)を、Φと<-|->で表すなら、
$(随伴線形写像の基本性質: (F(v)|w) = (v|F(w)) )は
  <ΦFv|w> = <Φv|Fw> ---(1)
と同値なので、$(1)を示せばよい。

$(1: <ΦFv|w> = <Φv|Fw> )を示す。

先に、(F)* を計算しておく。
    (F)*
// $(随伴線形写像の定義)により
  = (ΦV-1F*ΦW)*
// $?(双対を取るスター・オペレーターの性質)により
  = ΦW*F**V-1)*
// F** = F, Φ* = Φ, (Φ-1)* = Φ-1 を使って
  = ΦWV-1
よって、
  (F)* = ΦWV-1
簡略に書けば
  F* = ΦFΦ-1 ---(2)

次に、目的の等式$(1)を示す。
    <Φv|Fw>
// $?(双対線形写像の性質)から
  = <(F)*Φv|w>
// 先に計算した $(2: F* = ΦFΦ-1 )を使って
  = <(ΦFΦ-1)Φv|w>
// Φ-1Φ を消して
  = <ΦFv|w>
よって、
  <ΦFv|w> = <Φv|Fw>

$(1)が示せた。

正規直交枠を使って行列表示すると、F*もFも、Fを表す行列の転置行列で表示できます。このため、F*とFは混同/同一視されがちですが、ここでは区別してください。F*とFでは、写像としてのプロファイル(域と余域)が違います。

  • F*:W*→V*
  • F:W→V

線形写像にその随伴線形写像を対応させるダガー・オペレーター(-)は、次のような法則を満たします。

  1. (F) = F ---(ダガーの対合性)
  2. (F;G) = G;F または (G\circF) = F\circG ---(ダガーの反変性)
  3. (idV) = idV ---(恒等のダガー)
  4. (0V,W) = 0W,V (0V,Wは、V→W のゼロ写像) ---(ゼロ射のダガー)

部分空間の直交性と直交補空間

Vを有限次元内積ベクトル空間だとして、S, TなどはVの部分ベクトル空間〈部分空間〉だとします。次の定義の右辺が成立するとき、SとTは直交している〈orthogonal〉といい、S⊥T と書きます。

  • S⊥T :⇔ 任意の u∈S, v∈T に対して、(u|v) = 0 ---(空間の直交の定義)

部分空間Sに対して、Sの直交補空間〈orthogonal complement〉S は次のように定義します。

  • S := {v∈V | 任意の s∈S に対して、(s|v) = 0} ---(直交補空間の定義)

定義からすぐに次が言えます。

  1. SはVの部分空間である。 ---(直交補空間の部分空間性)
  2. S⊥S ---(部分空間と直交補空間は直交)
  3. S⊥T ⇒ S∩T = {0} ---(直交する空間の共通部分)
  4. S⊥T ⇔ S⊆T ⇔ T⊆S ---(直交の言い換え)

Vの部分空間S, Tに対して、S∧TとS∨Tを次のように定義します。

  • S∧T := S∩T (集合の共通部分) ---(ミート空間の定義)
  • S∨T := {v∈V | s∈S と t∈T により、v = s + t と書ける} ---(ジョイン空間の定義)

S∧TとS∨Tの定義に内積は関係ありませんが、内積があると、次の法則が言えます。

  • (S∨T) = S∧T ---(直交補空間 ド・モルガンの法則 1)
  • (S∧T) = S∨T ---(直交補空間 ド・モルガンの法則 2)

これは、論理におけるド・モルガンの法則と同じ形です。“ド・モルガンの法則”の1番目の半分 (S∨T) ⊆ S∧T だけ示すと:

ターゲット命題: (S∨T) ⊆ S∧T

  v∈(S∨T) と仮定する。
$(ジョイン空間の定義)と$(直交補空間の定義)から
  任意の s∈S, t∈T に対して、(v|s + t) = 0
$?(内積の双線形性)から
  任意の s∈S, t∈T に対して、(v|s) + (v|t) = 0 ---(1)
t = 0 でも$(1)は成立するから
  任意の s∈S に対して、(v|s) = 0 ---(2)
s = 0 でも$(1)は成立するから
  任意の t∈T に対して、(v|t) = 0 ---(3)
$(2)を言い換えると
  v∈S ---(4)
$(3)を言い換えると
  v∈T ---(5)
$(4), $(5)から
  v∈(S∧T)
以上より
  v∈(S∨T) ⇒ v∈(S∧T)
vは任意だったから
  ∀v.(v∈(S∨T) ⇒ v∈(S∧T))
つまり
  (S∨T) ⊆ S∧T

対偶の法則に相当する次も成立します。

  • S⊆T ⇔ T⊆S ---(直交補空間 対偶の法則)

内積ベクトル空間Vの部分空間の集まりSubspace(V)は、命題論理やベキ集合のブール代数と酷似した構造を持ちます。どこまで似ていて、どこが違うかを調べるのは面白い課題です。

S⊥T のとき、S∨T を S\oplusT とも書きます。S\oplusT を、SとTの直交直和〈orthogonal direct sum〉といいます。S\oplusT と書いたときは、S⊥Tを前提にしているので、S∧T = O (Oはゼロ空間{0})です。直交直和の命題論理における類似物は、排他的命題の連言です。

通常の直和 S\oplusT は外部直和であり、S\oplusT ⊆ V とはいえません。それに対して直交直和 S\oplusTはS∨Tのこと(ただし、S⊥T)なので S\oplusT ⊆ V です。とはいえ、外部直和 S\oplusT に、S⊥Tとなるような内積を入れることが出来て、そうやって作った内積ベクトル空間も S\oplusT と書くので、S\oplusT ⊆ V かどうかは定義によりけりですね。

論理の排中律 P∨¬P = True (PまたはPでない は いつだって真)に相当する法則は次のように書けます。

  • S\oplusS = V ---(直交補空間 排中律)

直交直和記号\oplusに、S⊥Sの意味を込めているわけですが、\oplusを使わずに2つの命題に分けたほうが分かりやすいかも知れません。

  1. S∧S = O = {0} ---(部分空間と直交補空間の排他性)
  2. S∨S = V ---(直交補空間 排中律 ジョイン版)

直交補空間の排中律から、一意直交分解が可能となります。

  • 任意の v∈V は、s∈S と t∈S により、v = s + t と一意的に分解できる。 ---(直交分解の原理)

ホッジの分解定理(ラプラシアンなしバージョン)

U, V, Wが有限次元の内積ベクトル空間だとして、F:U→V, G:V→W を線形写像とします。FとGは次の条件を満たすとします。

  • F;G = 0 :U→W ---(複体条件)

等式右辺の0はゼロ写像のことです。F;G = 0 と Im(F) ⊆ Ker(G) は同じことです。

F, Gと共にF, Gも考えます。これからの登場人物である空間・写像は次のようです(3つの空間と4つの写像)。

F;G = 0 を満たす (U, V, W, F, F, G, G) は、共変/反変を一緒にした代数的複体(前回の第2節第9節を参照)の一部を切り取ったものです。なので、このような構造をミニ複体〈mini-complex〉と呼ぶことにします*5。ここから先、特別に断らなければ、このミニ複体 (U, V, W, F, F, G, G) に関する命題を扱います。

[追記]前回・今回で話題にしている「オモチャ」とは何なのか? と聞かれれば、それはズバリ、ミニ複体です。ミニ複体は、有限次元内積空間の圏のなかで定義できる比較的簡単な構造です。ミニ複体に対して、ド・ラーム・コホモロジー(単一のベクトル空間)とラプラシアンが定義できます。そしてホッジ分解が成立します。背景はともかくとして、ミニ複体の議論には有限次元線形代数の概念しか使わないので、いじりやすいという意味で「オモチャ」と呼んでいいと思います。[/追記]

まず、次の補題を確認します。これは、F;G = 0 を使ってないので、随伴線形写像に関する一般的な事実です。

  • Im(G) = Ker(G) ---(Im-Ker随伴性 1)
  • Im(F) = Ker(F) ---(Im-Ker随伴性 2)

この2つは実質的に同じ命題なので、1番目だけ示します。

*1:一般化された内積では、v ≠ 0 で (v|v)= 0 であるベクトルの存在を認めていて、それを(非自明な)ヌルベクトルと呼びます。

*2:すぐ後で定義されるカリー化内積Φの核がゼロ空間であることを意味します。これにより、カリー化内積Φは単射です。「(v|v) = 0 ならば v = 0」のことを非退化性と呼ぶことも多いです。

*3:Vの枠を、数ベクトル空間RnからVへの線形同型写像 a:Rn→V だと定義すると何かと都合がいいです。正規直交枠は、Rnの標準内積を保存する内積同型写像として定義できます。

*4:Vの内積は V×V→R という関数なので、カリー化すると V→Lin(V, R) となります。ここで、Lin(V, R)はVからRへの線形写像の空間。Lin(V, R) = V* なので、内積のカリー化は V→V* という線形写像です。

*5:共変/反変を一緒にまとめた代数的複体を双複体〈bicomplex〉とでも呼んで、ミニ双複体とか言うのが正確でしょう。しかし、「複体」という言葉は反変/共変の方向を気にしないで曖昧に使ったりするので、片方向か双方向かが曖昧でも責められはしないでしょう。