訂正＋α：逆方向グロタンディーク平坦化圏の重要性 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)

「訂正予告：バンドルの圏とグロタンディーク平坦化」で予告したように、記事「ベクトルバンドル射の逆写像：記法の整理をかねて」を修正しました。修正箇所は、次の1行だけです。

修正前：インデックス付き圏 VectBdl[-] のグロタンディーク平坦化圏が VectBundle である。
修正後：インデックス付き圏 VectBdl[-] の順方向グロタンディーク平坦化圏が VectBundle である。

「順方向」の一語を追加して、「順方向グロタンディーク平坦化圏」は記事「グロタンディーク構成と積分記号」へのリンクとしました。

一語修正が予告をするほどのことかと思うでしょうが、この一語修正は重要なんです。その説明を以下にします。

E, F がベクトルバンドルだとして、f_tot:E_top→F_tot と f_base:|E|→|F| の組 f = (f_tot, f_base) がベクトルバンドル射であることは、次の図式が可換になることです。

$\require{AMScd}\newcommand{\hyph}{\mbox{-}} \begin{CD} E_{tot} @>f_{tot}>> F_{tot} \\ @V{\pi_E}VV @VV{\pi_F}V \\ |E| @>f_{base}>> |F| \end{CD}$

ベクトルバンドルとベクトルバンドル射から構成される圏を VectBundle とします。これはいいですよね。

さて、インデックス付き圏 VectBdl[-] を考えると、これはベース圏〈base category | indexing category〉Man上で定義された反変関手 VectBdl[-]:Man→CAT になっています。ベース圏の射 x:M→N in Man に対して、VectBdl[x]:VectBdl[N]→VectBdl[M] と逆方向の関手が対応します。VectBdl[x] は、xによるベクトルバンドルの引き戻し x^* です。

x^*F は、VectBdl[x](F) の略記

「グロタンディーク構成と積分記号」で述べた積分記号を使ってグロタンディーク平坦化を表します。ただし、無名変数（ハイフン）の使用を許します。

順方向グロタンディーク平坦化圏： $\int_{\rightarrow\; {\bf Man}} {\bf VectBdl}[\hyph]$
逆方向グロタンディーク平坦化圏： $\int_{\leftarrow\; {\bf Man}} {\bf VectBdl}[\hyph]$

先に定義した圏 VectBundle と、順方向グロタンディーク平坦化圏は圏同値になります。

${\bf VectBundle} \cong \int_{\rightarrow\; {\bf Man}} {\bf VectBdl}[\hyph]$

ここまでは特に間違いはありません。

しかし、実際に圏を使うとき、VectBundle は使い勝手が良くなくて、逆方向グロタンディーク平坦化のほうが便利なのです。よって、次のように定義する案もあるし、そうしている事例もあります。

${\bf VectBundle} := \int_{\leftarrow\; {\bf Man}} {\bf VectBdl}[\hyph]$

マズイことには、僕自身が無意識に、'VectBundle' を逆方向グロタンディーク平坦化圏の意味で使ってしまったりします。ちゃんと区別するために、例えば次のように定義しておけばいいのかな。

${\bf VectBundle}_{\rightarrow} := \int_{\rightarrow\; {\bf Man}} {\bf VectBdl}[\hyph]$
${\bf VectBundle}_{\leftarrow} := \int_{\leftarrow\; {\bf Man}} {\bf VectBdl}[\hyph]$

機械的に使えるお約束なら：

${\mathcal C}_{\rightarrow} := \int_{\rightarrow\; {\mathcal B}} {\mathcal C}[\hyph]$
${\mathcal C}_{\leftarrow} := \int_{\leftarrow\; {\mathcal B}} {\mathcal C}[\hyph]$

このお約束を使うと、定義が異なる3つの圏が登場します。

VectBundle
VectBdl_→
VectBdl_←

1番目と2番目は同一視可能です。

…… まー、ここらへんは未整理状態のままってことです。でも、逆方向グロタンディーク平坦化圏 $\int_{\leftarrow\; {\bf Man}} {\bf VectBdl}[\hyph]$ が重要なことは強調しておきます。順方向グロタンディーク平坦化圏でうまくいかないときは、逆方向グロタンディーク平坦化圏を試してみましょう。