双線形写像のカリー化

カリー化と線形代数と微分幾何に関する小ネタです。

内容：

設定と約束

RとFは可換環で、R⊆F （RはFの部分可換環）だとします。A, B などはF-加群だとします。R⊆F だったので、A, B などはR-加群でもあります。文字の使用法は次のように約束しましょう。

文字	用途
α, β	Rの要素
f, g	Fの要素
a, b, a', b'	A, B の要素
K	双線形写像

微分幾何での想定（あくまで一例）は：

1. R = R
2. F = C^∞(M) （Mは多様体）
3. A = Γ_M(TM) （TMはM上の接ベクトルバンドル）
4. B = Γ_M(E) （EはM上のベクトルバンドル）
5. K = ∇ : Γ_M(TM)×Γ_M(E)→Γ_M(E) （二変数とみなした共変微分）

各種の写像〈関数〉の集合を次のように書くことにします。

1. Map(A, B) ： 集合（とみなした）Aから集合（とみなした）Bへの写像の全体
2. R-Lin(A, B) ： R-加群（とみなした）AからR-加群（とみなした）BへのR-線形写像の全体
3. F-Lin(A, B) ： F-加群AからF-加群BへのF-線形写像の全体
4. R-BiLin((A, B), C) ： R-加群（とみなした） A, B から C へのR-双線形写像の全体
5. (F, R)-BiLin((A, B), C) ： F-加群Aと、R加群（とみなした）Bからの、左変数〈第一変数〉に関してF-線形、右変数〈第二変数〉に関してR-線形な双線形写像の全体

Rに関する双対と、Fに関する双対を次のように書きます。

• A := R-Lin(A, R)
• A := F-Lin(A, F)

A, B などは、F-加群として次の良い性質を持つと仮定します。

• 
• 

以下、Fに関する双対とFに関するテンソル積しか出てこないので、(-) と を単に (-)^*, と書きます。

カリー化

K:A×B→C が K∈(F, R)-BiLin((A, B), C) だとします。つまり、次が成立します。

1. K(a + a', b) = K(a, b) + K(a', b)
2. K(fa, b) = fK(a, b)
3. K(a, b + b') = K(a, b) + K(a, b')
4. K(a, αb) = αK(a, b)

Kの左カリー化を ^∩K とします。カリー化については「リー微分は共変微分か？ -- 代数的に考えれば // カリー化, ラムダ記法と無名ラムダ変数」を参照してください。

とりあえず、集合と写像のレベルで：

• ^∩K:B→Map(A, C)

実際には、b∈B に対する ^∩K(b)∈Map(A, C) はF-線形写像です。計算してみます。

  (∩K(b))(a + a')
= K(a + a', b)
= K(a, b) + K(a', b)
= (∩K(b))(a) + (∩K(b))(a')

  (∩K(b))(fa)
= K(fa, b)
= fK(a, b)
= f(∩K(b))(a)

したがって、左カリー化 ^∩K は次のような写像になります。

• ^∩K:B→F-Lin(A, C)

F-Lin(A, C) CA^* という同型を使うと、

• ^∩K:B→CA^*

とみなしてかまいません。

共変微分

最初に述べた微分幾何での設定で考えましょう。

1. R = R
2. F = C^∞(M) （Mは多様体）
3. A = Γ_M(TM) （TMはM上の接ベクトルバンドル）
4. B = C = Γ_M(E) （EはM上のベクトルバンドル）
5. K = ∇ : Γ_M(TM)×Γ_M(E)→Γ_M(E) （二変数とみなした共変微分）

∇の左カリー化 ^∩∇ は次の写像になります。

• ^∩∇:Γ_M(E)→Γ_M(E)Γ_M(TM)^*

Γ_M(TM)^* = Ω(M) = (M上の1次微分形式の加群) なので、

• ^∩∇:Γ_M(E)→Γ_M(E)Ω(M)

ニ変数の∇と、それをカリー化した ^∩∇ を区別せずに書いてあることが多いので注意しましょう。∇←→^∩∇ と同様な置き換えや同一視はしばしば使われます。