あっ、そうか！ そういうことか。
昨日・一昨日と、フォングの因果セオリー論〈theory of causal theories〉を紹介しました。フォング論文で使われている語法・記法・図法が混乱・誤解をまねく〈confusing / misleading〉ものなので、「どうなの？ コレ」と疑問を呈したりもしました。あえてそんな語法・記法・図法を採用する動機が不明でした。
「フォングの“因果セオリー”の理論」にて：
フォングは、強い印象を喚起する言葉をテクニカルタームに採用するのが好きみたいですが、...[snip]...
この憶測は間違いだったと思います。彼は、自分の好みや主義で奇妙な語法・記法・図法を使っているわけではないと（今は）思います。むしろ逆です、逆！
僕は、「因果セオリー論の語法・記法・図法（修正案付き）」で次のことを指摘しました。
- ローヴェアの用語法に合わせるために、誤解をまねく言葉「セオリー」を使ったのだろう。
- 確率論の習慣的な記法に合わせるために、分かりにくく視認性が悪いストリング図を描いたのだろう。
ポイントは「合わせるために」です。フォングは先達をリスペクトし、コミュニティのジャーゴンを尊重して語法・記法・図法を選んだのでしょう。そう考えれば辻褄が合います。
「因果セオリー論の語法・記法・図法（修正案付き）」の、分かりにくい言葉のリストを再掲します。
| フォングの用語 | 代替の用語 |
|---|---|
| 因果セオリー | 厳密マルコフ圏 |
| 因果モデル | グラフィカルモデル |
| 因果構造 | グラフィカルスキーマ |
| 確率変数 | 頂点 |
| 因果関係 | 辺 |
| 因果機序 | 固有生成射 |
頻出する「因果」ですが、どうもグラフィカルモデルのコミュニティでは、「原因があり、それが結果を引き起こす」という意味ではなく「因果」を使っているようです。「方向付きの関連性」くらいの意味です。「セオリー」はローヴェア由来です。
となると、「確率変数」もコミュニティの既存用語法を尊重してるのでは、と推測できます。実際そのようです。グラフィカルモデルの有向グラフが表現するものは「確率変数間の因果関係である」と説明されるのです。つまり：
- 有向グラフの頂点を「確率変数」と呼ぶ。
- 有向グラフの辺を「因果関係」と呼ぶ。
フォングは自分独自の用語法を使っていたわけじゃないのでした。それどころか、ジャーゴンとしての「確率変数」の使用法を、忠実に定式化しています。僕は、ジャーゴンとしての「確率変数」の意味・運用を知らなかったので、フォングの定義を見て「なんで、こんな奇妙な定義を採用するのだろう？」と訝〈いぶか〉しく思ったのです。
グラフィカルモデルの文脈では、「確率変数」は次のように使うようです。
- 有向グラフにおいては、頂点を確率変数と呼ぶ。
- 有向グラフを確率的構造として解釈したときは、頂点に対応する可測空間を確率変数と呼ぶ。
可測空間が有限離散なら、単なる集合とみなしていいので、その場合は：
- 集合を確率変数と呼ぶ。
フォングは、この意味・運用に合わせて、理論を構成しています。例えば、2つの確率変数 X, Y の独立性は、2つの集合 X, Y の独立性として定義しています。「確率変数 ＝ 集合〈可測空間〉」なのですから、そう定義することになります。
もちろん、勝手な集合 X, Y に対して独立もヘッタクレもありません。直積集合 X×Y に確率分布〈確率測度〉p が暗黙に載っているとして、
- pが、X上への周辺化分布 pX と、Y上への周辺化分布 pY のテンソル積になっているとき（i.e. p = pX
pY）、XとYは独立だという。
「集合を確率変数と呼び、暗黙に背後の確率分布を想定する」が、おそらく、ジャーゴンの意味・運用をうまく定式化しているのでしょう。巧みな定式化なのは確かです。
しかし、ウーン、どうなのかな？ そこまでする必要ある？？
グラフの頂点や集合〈可測空間〉を「確率変数」と呼び、肝心の確率分布〈確率測度〉の存在は言わずとも察してもらう -- と、そんなコミュニケーション形態を尊重する必要ある？？ -- 僕は「そんな必要はない」と思うけどね。
普通に考えたら誤用・乱用なんだけど、あるコミュニティ内では誤用・乱用が標準的な正用として定着してしまうことはままあります。程度の差こそあれ、たぶん避けられない現象だろうとは思っています（実例があまりにも多いので）。
そうなると、学習者は辻褄が合わない誤用・乱用を学ばなくてはなりません。致し方ないとはいえ、「間違い方を勉強する」って不毛すぎないかー？ 虚しくないかー？ 僕はイヤだなー、ほんとに嫌い。
と、文句を言ったところで、誤用・乱用を正すことは現実的には不可能です。対策としては、理解のための内的言語と、他人とコミュニケーションするための外的言語を分けて、内的言語は整合的に、外的言語は習慣に従い運用する、とか。
今回の例なら、内的言語では「頂点」「可測空間」「周辺化確率測度」などを使い、外的言語ではどれも（積空間上の確率測度を暗黙に前提して）「確率変数」と呼ぶことになります。
二種の言語の使い分けは、それはそれで手間ではあるけど、全体としての学習・理解のコストは下がるような気がします。
[/追記]
