準マルコフ余モナド - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)

「準マルコフ圏からなる2-圏」において、準マルコフ圏を対象〈0-射〉として、準マルコフ関手を1-射として、反ラックス・モノイド自然変換を2-射とする2-圏（厳密2-圏）を構成しました。この2-圏のなかの余モナド〈コモナド〉を考えてみましょう。これは、「準マルコフ圏の掛け算関手 // 掛け算関手のさらなる性質」で予告した内容です。 $\newcommand{\cat}[1]{ \mathcal{#1} } \newcommand{\In}{ \text{ in } } \newcommand{\twoTo}{\Rightarrow } \newcommand{\I}{ \mathrm{I} } \newcommand{\id}{\mathrm{id} } \newcommand{\oplax}{\mathrm{oplax} } % \newcommand{\coM}{\boldsymbol{d} } % comultiplication \newcommand{\coU}{\boldsymbol{e} } % counit % \require{color} \newcommand{\Keyword}[1]{ \textcolor{green}{\text{#1}} }% \newcommand{\For}{\Keyword{For } }% \newcommand{\Declare}{\Keyword{Declare } }% \newcommand{\Define}{\Keyword{Define } }%$

内容：

厳密2-圏内の余モナド
記号の約束
掛け算余モナド
反ラックス・モノイド性：準備
反ラックス・モノイド性：記述

厳密2-圏内の余モナド

構造を持った圏〈structured category〉とそのあいだの関手、関手のあいだの自然変換は2-圏を形成します。その事例には、 ${\bf MonCat}^\oplax, {\bf SymMonCat}^\oplax, {\bf QMarkovCat}^\oplax$ などがあります。これらの2-圏では、射〈1-射〉は関手なので、横結合は厳密〈strict〉になり、厳密2-圏となります。この記事で出てくる2-圏はすべて厳密2-圏〈strict 2-category〉です。

圏の2-圏 ${\bf Cat}$ 内のモナドはよく知られています。 ${\bf Cat}$ に限らず、任意の厳密2-圏内でモナドや余モナドを定義できます。

$\cat{K}$ を厳密2-圏とします。 $\cat{K}$ 内の余モナドは、次の構成素を持ちます。

対象〈0-射〉： $A \in |\cat{K}|$ （基礎対象）
射〈1-射〉： $f:A \to A \In \cat{K}$ （台射）
2-射： $\coM::f \twoTo f*f \In \cat{K}$ （余乗法2-射）
2-射： $\coU::f \twoTo \id_A \In \cat{K}$ （余単位2-射）

ここで、 $*$ は横結合の図式順記号です。2-圏に対する演算記号は次の過去記事を参照してください。

関手と自然変換の計算に出てくる演算子記号とか // 今後使う予定の演算子記号

上の構成素達をホム圏 $\cat{K}(A, A)$ のなかで考えれば次のようになります。

対象〈0-射〉： $f \in |\cat{K}(A, A)|$ （台対象）
射〈1-射〉： $\coM:f \to f*f \In |\cat{K}(A, A)|$ （余乗法1-射）
射〈1-射〉： $\coU::f \to \I_A \In |\cat{K}(A, A)|$ （余単位1-射）

ホム圏 $\cat{K}(A, A)$ では、横結合 $*$ をモノイド積と考え、 $\I_A = \id_A$ をモノイド積の単位対象と考えましょう。

余モナドの法則は、厳密モノイド圏としてのホム圏 $\cat{K}(A, A)$ 内の可換図式で書くのが便利です。

$\require{AMScd} \begin{CD} f @>{\coM}>> f*f \\ @V{\coM}VV @VV{\coM * \id_f}V \\ f*f @>{\id_f *\coM}>> f*f*f \end{CD}\\ \:\\ \begin{CD} f @>{\coM}>> f*f \\ @| @VV{\coU *\id_f}V \\ f @= \I_A*f = f \end{CD}\\ \:\\ \begin{CD} f @>{\coM }>> f*f \\ @| @VV{\id_f * \coU}V \\ f @= f* \I_A = f \end{CD}\\ \:\\ \text{commutative in }\cat{K}(A, A)$

よく知られているようにこれは、厳密モノイド圏 $(\cat{K}(A, A), *, \I_A)$ 内の余モノイド対象〈comonoid object〉を定義しています。

このようにして定義される余モナドを、記号の乱用をして次のように書きます。

$\quad f = (f, \coM, \coU )/A = \mathrm{Comnd}(f, \coM, \coU )/A \In \cat{K}$

次のように読みます。

$f$ は、
$\cat{K}$ 内の
$A$ 上の
$f, \coM, \coU$ を構成素とする
余モナド〈コモナド〉である。

記号の乱用をしているので、余モナドとその台射（ホム圏では台対象）に同じ記号を使っています。

記号の約束

準マルコフ圏達の2-圏（厳密2-圏） ${\bf QMarkovCat}^\oplax$ を、以下単に ${\bf QMarkovCat}$ と書きます。 ${\bf QMarkovCat}$ 内の余モナドを考えたいのですが、次の記号を使うことにします。

${\bf QMarkovCat}$ の対象〈0-射〉は準マルコフ圏なので、余モナドの基礎対象を $\cat{C}$ と書く。
${\bf QMarkovCat}$ の射〈1-射〉は準マルコフ圏関手なので、余モナドの台射を $F = (F, \delta, \varepsilon)$ と書く。記号の乱用を使っている。
余モナドの余乗法2-射と余単位2-射を、前節と同じ記号 $\coM, \coU$ で表す。これは、「自然変換はギリシャ文字小文字で表す」という習慣に反するが、混乱を避けることができる。

厳密2-圏 ${\bf QMarkovCat}$ 内の余モナドの構成素は次のようになります。

対象〈0-射〉： $\cat{C} \in |{\bf QMarkovCat}|$ （基礎対象＝基礎圏＝基礎準マルコフ圏）
射〈1-射〉： $F:\cat{C} \to \cat{C} \In {\bf QMarkovCat}$ （台射＝台関手＝台準マルコフ関手）
2-射： $\coM::F \twoTo F*F \In {\bf QMarkovCat}$ （余乗法2-射＝余乗法自然変換＝余乗法反ラックス・モノイド自然変換）
2-射： $\coU::F \twoTo \id_\cat{C} \In {\bf QMarkovCat}$ （余単位2-射＝余単位自然変換＝余単位反ラックス・モノイド自然変換）

まとめると：

$\quad F = (F, \coM, \coU )/\cat{C} = \mathrm{Comnd}(F, \coM, \coU )/\cat{C} \In {\bf QMarkovCat}$

これは次のように読みます。

$F$ は、
${\bf QMarkovCat}$ 内の
$\cat{C}$ 上の
$F, \coM, \coU$ を構成素とする
余モナド〈コモナド〉である。

厳密2-圏 ${\bf QMarkovCat}$ 内の余モナドを準マルコフ余モナド〈quasi-Markov monad〉と呼ぶことにします。

掛け算余モナド

「準マルコフ圏の掛け算関手」において、準マルコフ圏 $\cat{C}$ の対象 $W \in |\cat{C}|$ から決まる（左からの）掛け算関手 $L_W$ （右からの掛け算関手なら $R_W$ ）が準マルコフ関手になることを示しました。準マルコフ関手は反ラックス・モノイド関手なので、実際には余乗法と単位を持ち、（記号の乱用をして）次のように書けます。

$\quad L_W = (L_W, \delta, \varepsilon):\cat{C} \to \cat{C} \In {\bf QMarkovCat}$

$L_W$ は、厳密2-圏 ${\bf QMarkovCat}$ の1-射ですが、これに2つの2-射を付け加えて、全体として準マルコフ余モノイドになるようにできます。つまり、次のような余モノイドが構成できます。

$\quad L_W = (L_W, \coM, \coU )/\cat{C} = \mathrm{Comnd}(L_W, \coM, \coU )/\cat{C} \In {\bf QMarkovCat}$

そのためには、あらたに $\coM,\coU$ を定義する必要があります。次のように定義します。“ $\Keyword{Declare}$ ” で定義すべき射（2-射、1-射）を宣言して、“ $\Keyword{Define}$ ” で実際の定義を書きます。

$\For \cat{C} \in |{\bf QMarkovCat}|\\ \For W \in |\cat{C}|\\ \:\\ \Declare \coM :: L_W \twoTo L_W * L_W : \cat{C}\to \cat{C} \In {\bf QMarkovCat} \\ \For A \in |\cat{C}|\\ \Declare \coM_A : L_W(A) \to L_W(L_W(A)) \In \cat{C}\\ \Define \coM_A := (\Delta_W \otimes \id_A); \alpha_{W, W, A} :W\otimes A \to W\otimes (W \otimes A) \In \cat{C}\\ \:\\ \Declare \coU :: L_W \twoTo \id_\cat{C} : \cat{C}\to \cat{C} \In {\bf QMarkovCat} \\ \For A \in |\cat{C}|\\ \Declare \coU_A : L_W(A) \to \id_\cat{C}(A) \In \cat{C}\\ \Define \coU_A := \, !_W ; \lambda_{A} : W\otimes A \to A \In \cat{C}$

これは仮の定義（定義の途中段階）で、ちゃんと定義されている〈well-defined〉ことを示すには、 $\coM, \coU$ が自然変換であること、さらに反ラックス・モノイド自然変換であることを示す必要があります。まず、自然性（自然変換であること）は以下の可換図式で記述できます。

$\forall f:A \to B \In \cat{C}\\ \begin{CD} L_W(A) @>{\coM_A}>> L_W(L_W(A)) \\ @V{L_W(f)}VV @VV{L_W(L_W(f))}V \\ L_W(B) @>{\coM_B}>> L_W(L_W(B)) \end{CD}\\ \:\\ \begin{CD} L_W(A) @>{\coU_A}>> \id_\cat{C}(A) \\ @V{L_W(f)}VV @VV{\id_\cat{C}(f)}V \\ L_W(B) @>{\coU_B}>> \id_\cat{C}(B) \end{CD}\\ \:\\ \text{commutative in }\cat{C}$

$L_W$ の定義により、モノイド積を使って具体的に書けば：

$\forall f:A \to B \In \cat{C}\\ \begin{CD} W\otimes A @>{\coM_A}>> W \otimes (W \otimes A) \\ @V{\id_W \otimes f}VV @VV{\id_W \otimes (\id_W \otimes f)}V \\ W\otimes B @>{\coM_B}>> W\otimes (W \otimes B) \end{CD}\\ \:\\ \begin{CD} W\otimes A @>{\coU_A}>> A \\ @V{W\otimes f}VV @VV{f}V \\ W\otimes B @>{\coU_B}>> B \end{CD}\\ \:\\ \text{commutative in }\cat{C}$

これらは、 $\coM, \coU$ の定義を展開してストリング図を眺めれば割と明らかでしょう。

反ラックス・モノイド性：準備

前節で、 $\coM, \coU$ が自然変換であることは分かりました。しかし、単なる自然変換では2-圏 ${\bf QMarkovCat}$ の2-射にはなりません。自然変換が反ラックス・モノイド性を持つ必要があります。自然変換が反ラックス・モノイド自然変換であるとは、反ラックス・モノイド関手が持つ余乗法・余単位と協調することです。

ここで、「余乗法・余単位」が2つの意味で出てきて混乱しそうなので整理しておきます。

反ラックス・モノイド関手 $F$ の余乗法： $\delta_{A, B}:F(A\otimes B) \to F(A)\otimes F(B)$ という射の族
反ラックス・モノイド関手 $F$ の余単位： $F(\I) \to \I$ という射
余モナドの余乗法： $\coM_A : F(A) \to F(F(A))$ という射の族（自然変換）
余モナドの余単位： $\coU_A : F(A) \to \id_\cat{C}(A)$ という射の族（自然変換）

$F = L_W$ の場合に言いたいことは：

余モナドの余乗法 $\coM_A : L_W(A) \to L_W(L_W(A))$ は、反ラックス・モノイド関手 $L_W$ の余乗法・余単位 $\delta, \varepsilon$ と協調する。
余モナドの余単位： $\coU_A : L_W(A) \to \id_\cat{C}(A)$ は、反ラックス・モノイド関手 $L_W$ の余乗法・余単位 $\delta, \varepsilon$ と協調する。

「協調する」ことは4つの可換図式（等式的条件）で書けますが、その前に、 $L_W* L_W$ 上に反ラックス・モノイド関手の構造を載せます。

反ラックス・モノイド関手としての $L_W* L_W$ を $(L_W*L_W, \delta^2, \varepsilon^2)$ と書きます。 ${\delta^2}_{A, B}: (L_W*L_W)(A\otimes B) \to (L_W*L_W)(A) \otimes (L_W*L_W)(B)$ は次の射達の結合とします。

$\begin{CD} W \otimes (W \otimes (A\otimes B)) \\ @VV{\id_W \otimes \delta_{A, B}}V \\ W\otimes ( (W \otimes A) \otimes (W \otimes B) ) \\ @VV{\delta_{W\otimes A, W\otimes B} }V\\ (W\otimes (W\otimes A) ) \otimes ( W\otimes (W\otimes B) ) \end{CD}$

${\varepsilon^2}: L_W*L_W(\I) \to \I$ は次の射達の結合とします。

$\begin{CD} W \otimes (W \otimes \I) \\ @VV{\id_W \otimes \varepsilon }V \\ W \otimes \I \\ @VV{\varepsilon }V \\ \I \end{CD}$

関手上の構造 $(L_W*L_W, \delta^2, \varepsilon^2)$ が実際に反ラックス・モノイド関手であることを確認するには、余結合律と余単位律を示す必要がありますが、これは割愛します。

反ラックス・モノイド性：記述

自然変換 $\coM::L_w \twoTo L_W*L_W$ と $\coU::L_W \twoTo \id_\cat{C}$ が、反ラックス・モノイド自然変換であることは次のように記述できます。 ${L_W}^2 = L_W*L_W$ と書きます。

自然変換 $\coM:: L_W \twoTo {L_W}^2$ は、反ラックス・モノイド関手の余乗法・余単位と協調する。 ${L_W}^2 = ({L_W}^2, \delta^2, \varepsilon^2)$ は前節で定義した反ラックス・モノイド関手とする。
自然変換 $\coU:: L_W \twoTo \id_\cat{C}$ は、反ラックス・モノイド関手の余乗法・余単位と協調する。 $\id_\cat{C}$ は自明な反ラックス・モノイド関手と考える。

$\coM$ が、余乗法・余単位と協調することは次のように書けます。

$\forall A, B \in |\cat{C}|\\ \begin{CD} L_W(A\otimes B) @>{\coM_{A\otimes B} }>> {L_W}^2(A\otimes B) \\ @V{\delta_{A, B} }VV @VV{\delta^2_{A, B} }V \\ {L_W}(A)\otimes {L_W}(B) @>{\coM_A \otimes \coM_B}>> {L_W}^2(A)\otimes {L_W}^2(B) \end{CD}\\ \:\\ \begin{CD} L_W(\I) @>{\coM_\I}>> {L_W}^2(\I) \\ @V{\varepsilon}VV @VV{\varepsilon^2}V \\ \I @= \I \end{CD}\\ \:\\ \text{commutative in }\cat{C}$

$\coU$ が、余乗法・余単位と協調することは次のように書けます。

$\forall A, B \in |\cat{C}|\\ \begin{CD} L_W(A\otimes B) @>{\coU_{A\otimes B}}>> \id_\cat{C}(A \otimes B)\\ @V{\delta_{A, B} }VV @| \\ L_W(A) \otimes L_W(B) @>{\coU_A \otimes \coU_B}>> \id_\cat{C}(A)\otimes \id_\cat{C}(B) \end{CD}\\ \:\\ \begin{CD} L_W(\I) @>{\coU_\I}>> \id_\cat{C}(\I) \\ @V{\varepsilon}VV @| \\ \I @= \I \end{CD}\\ \:\\ \text{commutative in }\cat{C}$

$L_W$ の定義によりモノイド積を使って書けば次のようになります。

$\forall A, B \in |\cat{C}|\\ \begin{CD} W\otimes (A\otimes B) @>{\coM_{A\otimes B} }>> W\otimes (W \otimes(A\otimes B) )\\ @V{\delta_{A, B} }VV @VV{\delta^2_{A, B} }V \\ (W\otimes A)\otimes (W\otimes B) @>{\coM_A \otimes \coM_B}>> (W\otimes (W\otimes A) )\otimes (W\otimes (W\otimes B) ) \end{CD}\\ \:\\ \begin{CD} W\otimes \I @>{\coM_\I}>> W\otimes (W\otimes \I) \\ @V{\varepsilon}VV @VV{\varepsilon^2}V \\ \I @= \I \end{CD}\\ \:\\ \text{commutative in }\cat{C}$

$\forall A, B \in |\cat{C}|\\ \begin{CD} W\otimes (A\otimes B) @>{\coU_{A\otimes B}}>> A \otimes B\\ @V{\delta_{A, B} }VV @| \\ (W\otimes A) \otimes (W\otimes B) @>{\coU_A \otimes \coU_B}>> A\otimes B \end{CD}\\ \:\\ \begin{CD} W\otimes \I @>{\coU_\I}>> \I \\ @V{\varepsilon}VV @| \\ \I @= \I \end{CD}\\ \:\\ \text{commutative in }\cat{C}$

これらを示すのもルーチンワークでしょう。

以上で、準マルコフ圏 $\cat{C}$ における左からの掛け算関手 $L_W = (L_W, \delta, \varepsilon)$ と、それに対して定義された余モナド余乗法・余モナド余単位 $\coM, \coU$ の組 $(L_W, \coM, \coU)/\cat{C}$ は厳密2-圏 ${\bf QMarkovCat}$ 内の余モナド〈コモナド〉となることが分かりました。