Diag構成：圏論的構成法の包括的フレームワークとして - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)

「スケマティック系のために：雑多な予備知識 // Diag構成」でDiag構成について述べました。Diag構成を特殊化すると既存の色々な構成法になるので、Diag構成は、様々な構成法を包括的に扱うフレームワークとなります。

集合圏とは限らない $`\newcommand{\cat}[1]{\mathcal{#1}}\cat{C},\cat{D}`$ に対して $`{\bf Fam}(\cat{C},\cat{D})`$ が使えると、だいぶ便利になります。とはいえ、$`\cat{C}`$ は集合圏の部分圏に限っているので、この条件も外したいところです。それは、またいずれ。

と書きましたが、この記事が「またいずれ」に相当します。$`\newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}}
%\newcommand{\msf}[1]{\mathsf{#1}}
%\newcommand{\twoto}{\Rightarrow }
\newcommand{\In}{\text{ in } }
%\newcommand{\Imp}{ \Rightarrow }
%\newcommand{\Iff}{\Leftrightarrow }
\newcommand{\hyp}{\text{－} }
\newcommand{\op}{\mathrm{op} }
%\newcommand{\id}{\mathrm{id} }
%\newcommand{\pto}{ \supseteq\!\to }
\newcommand{\u}[1]{\underline{#1}}
%\newcommand{\msc}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\doct}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\dimU}[2]{{#1}\!\updownarrow^{#2}}
%\newcommand{\Diag}{\mathop{|\triangleright} }
%\newcommand{\OpDiag}{\mathop{\triangleleft|} }
\newcommand{\Int}[1]{\displaystyle{\int_{#1}} }
`$

内容：

用語法について
Diag構成
一般化ファミリー
有限有向グラフを形状とする図式
付値集合
色付き有限全順序集合＝リスト
Diag構成の繰り返し

関連する過去記事：

用語法について

概念的事物の種類に名前〈一般名〉を付けます。その種類の具体例にはボールド体やサンセリフ体の固有名を付けます。概念的事物が構造物〈structure〉であるとき、幾つかの構成素〈constituents〉を持ちます。構成素に役割名を付けます。構成素の役割名は、種類の一般名とも固有名とも別です。例えば、「群」は概念的事物の種類の一般名で、「単位元」は群の構成素の役割名です。

Diag構成は、3つの引数を持つ大規模な関数ですが、その値を見ると、3つの引数を構成素とする構造物だとみなせます。3つの引数／構成素とは次のものです。

引数／構成素の名前	引数／構成素の型
アンビエント2-圏	具象的な2-圏〈ドクトリン〉
形状の圏	アンビエント-2圏への編入済み圏（後述）
ターゲット圏	アンビエント2-圏の対象

次の言葉も役割名から派生した言葉です。説明は後でしますが、独立した一般名や固有名ではなくて、Diag構成に関連した役割として意味を持つ言葉です。

形状：形状の圏（正確には“形状の圏の台圏”）の対象
図式〈ダイアグラム〉の圏：アンビエント2-圏のホム圏を編入関手で細工したもの
図式〈ダイアグラム〉：図式の圏の対象。実体は関手。関手の域が“編入された形状対象”、関手の余域がターゲット圏。
Diag構成：アンビエント2-圏と形状の圏とターゲット圏から圏を構成する大規模な対応。アンビエント2-圏を固定するとニ変項関手〈双関手〉だが、これはアンビエント2-圏のホム圏二項関手を少し変更したもの。

Diag構成

Diag構成については、以下の過去記事に書いています。

スケマティック系のために：雑多な予備知識 // Diag構成

ここでは、用語・記法を整理しながら復習します。

$`\doct{D}`$ を、（なんらかの構造を備えるかも知れない）圏を対象とする2-圏だとします。そのような2-圏はドクトリン〈doctrie〉と呼ばれます。ここでは、ドクトリンが一般的に何であるかは必要ではなくて、$`\doct{D}`$ として次のような2-圏を使うことを知っておけば十分です。

$`{\bf Cat}`$ ：小さい圏を対象として、関手を1-射、自然変換を2-射とする2-圏
$`{\bf CAT}`$ ：大きい〈必ずしも小さくない〉圏を対象として、関手を1-射、自然変換を2-射とする2-圏
$`{\bf MonCAT}^\mrm{lax}`$ ：大きいモノイド圏を対象として、ラックス・モノイド関手を1-射、モノイド自然変換を2-射とする2-圏
$`{\bf CartCAT}`$ ：大きいデカルト圏〈デカルト・モノイド圏〉を対象として、デカルト構造をタイトに〈up-to-isoで〉保つ関手を1-射、デカルト構造と協調する自然変換を2-射とする2-圏
$`\dimU{{\bf Set}}{2}`$ ： 2-圏とみなした集合圏（$`\dimU{\hyp}{2}`$ については「圏の次元調整」参照）。小さい集合が対象、写像が1-射、写像のあいだの等式が2-射。

ドクトリン $`\doct{D}`$ に対して、次のDiag構成〈Diag-construction〉が決まります。

$`\quad \doct{D}\text{-}\mrm{Diag}^\hyp(\hyp)`$

二箇所のハイフンは、残りの2つの引数が入る場所です。

ドクトリン $`\doct{D}`$ は、Diag構成におけるアンビエント2-圏〈ambient 2-category〉、あるいはアンビエント・ドクトリン〈ambient doctrine〉と呼ぶことにします。デフォルトのアンビエント2-圏は $`{\bf CAT}`$ と約束します。アンビエント2-圏を省略したら、$`{\bf CAT}`$ が指定されていると解釈します。

$`\quad \mrm{Diag}^\hyp(\hyp) = {\bf CAT}\text{-}\mrm{Diag}^\hyp(\hyp)`$

Diag構成への二番目の（右肩の）引数の役割名は（Diag構成の）形状の圏〈category of shapes〉で、編入済み圏を入れます。ドクトリン $`\doct{D}`$ への編入済み圏〈incorporated category〉とは、圏 $`\cat{C}`$ と関手 $`J: \cat{C} \to \dimU{\doct{D}}{1}`$ の組です（$`\dimU{\hyp}{1}`$ については「圏の次元調整」参照）。（$`\doct{D}`$ への）編入済み圏を $`\cat{S}`$ として、次のように書きます。

$`\quad \cat{S} = (\u{\cat{S}}, J_\cat{S})\\
\text{where}\\
\quad \u{\cat{S}} \in |{\bf CAT}|\\
\quad J_\cat{S} :\u{\cat{S}} \to \dimU{\doct{D}}{1} \In \mathbb{CAT}
`$

$`\mathbb{CAT}`$ については、「一般化されたファミリーの圏」の最初の節「記法の約束」を参照してください。$`\u{\cat{S}} \in |{\bf CAT}| \subset |\mathbb{CAT}|`$ なので、$`\u{\cat{S}} \in |\mathbb{CAT}|`$ と考えています。

編入済み圏 $`\cat{S}`$ の構成素は次の役割名で呼びます。

$`\u{\cat{S}}`$ ：編入済み圏の台圏〈underlying category〉
$`J_\cat{S}`$ ：編入済み圏の編入関手〈incorporation functor〉
$`\doct{D}`$ ：編入済み圏のターゲット・ドクトリン〈target doctrine〉

編入関手には条件を付けませんが、次のような関手が編入関手としてよく使われます。

部分圏の包含関手（恒等関手含む）
忘却関手
自由生成関手

$`\doct{D}`$ への編入済み圏 $`\cat{S} = (\cat{C}, J)`$ を形状の圏（役割り）として渡すと、Diag構成は次の形になります*1。

$`\quad \doct{D}\text{-}\mrm{Diag}^\cat{S}(\hyp) =
\doct{D}\text{-}\mrm{Diag}^{\cat{C}, J}(\hyp) \;: \dimU{\doct{D}}{1} \to \dimU{\bf CAT}{1} \In \mathbb{CAT}
`$

形状の圏 $`\cat{S}`$ の（正確には、その台圏 $`\u{\cat{S}} = \cat{C}`$ の）対象を
形状対象〈shape object〉、インデックス対象〈indexing object〉、あるいは単に形状〈shape〉と呼びます。

Diag構成への三番目の引数の役割名は（Diag構成の）ターゲット圏〈target category〉で、アンビエント2-圏の対象を入れます。3つの引数をすべて具体化すると、Diag構成はひとつの圏を表します。

$`\quad \doct{D}\text{-}\mrm{Diag}^\cat{S}(\cat{D}) \in |{\bf CAT}|`$

Diag構成の定義のために、もうひとつ引数を足して、次のように定義します。

$`\quad \doct{D}\text{-}\mrm{Diag}^\cat{S}[\hyp](\cat{D}) := \doct{D}(J_\cat{S}(\hyp), \cat{D})
: \cat{\u{S}}^\op \to \dimU{\bf CAT}{1} \In \mathbb{CAT}
`$

これは、$`\cat{\u{S}}`$ 上のインデックス付き圏（実体は反変関手）です。インデックス付き圏にグロタンディーク構成をほどこすと平坦化圏ができます。それがDiag構成の結果〈成果物〉です。

$`\quad \doct{D}\text{-}\mrm{Diag}^\cat{S}(\cat{D}) :=
\Int{\u{\cat{S}}} \doct{D}\text{-}\mrm{Diag}^\cat{S}[\hyp](\cat{D}) \;\in |{\bf CAT}|
`$

グロタンディーク構成はファイバー付き圏〈{fibred | fibered} category〉を定義するので、ファイブレーションとして書けば：

$`\quad \doct{D}\text{-}\mrm{Diag}^\cat{S}(\cat{D}) \overset{\mrm{Shape}}{\longrightarrow} \u{\cat{S}} \In {\bf CAT}
`$

圏 $`\doct{D}\text{-}\mrm{Diag}^\cat{S}(\cat{D})`$ は図式の圏〈category of diagrams〉と呼び、その対象は一般的には図式〈ダイアグラム | diagram〉と呼びます（特殊ケースでは別な呼び名かも知れません）。ファイバー付き圏の射影関手 $`\mrm{Shape}`$ は、図式にその形状対象を対応させます。形状が $`A\in |\u{\cat{S}}|`$ である図式の実体は次の関手（$`\doct{D}`$ の1-射）です。

$`\quad F: J_\cat{S}(A) \to \cat{D} \In \doct{D}\\
\quad \doct{D} \in |\mathbb{2CAT}|
`$

ドクトリン $`\doct{D}`$ の対象はなんらかの構造を備えるかも知れない圏であり、そのあいだの1-射はなんらかの構造を保つ関手（＋構造*2）です。

ここから先の節では、Diag構成の具体例を幾つか挙げていきます。最後の節で、Diag構成の繰り返しについて述べます。

一般化ファミリー

一般化ファミリーについては次の記事に書いています。

上記一番目の過去記事では、$`{\bf Fam}(\cat{C}, \cat{D})`$ という記法を使っていますが、これは混乱を招きそうなので、包含関手／埋め込み関手 $`\mrm{INCLEMB}`$ （include/embedding）により $`\mrm{Diag}^{\cat{C}, \mrm{INCLEMB}}(\cat{D})`$ と書いたほうがいいでしょう（埋め込み関手は後述）。二番目の過去記事「ファミリー構成モナド：大規模構造の事例として」では、$`{\bf Fam}(\hyp, \hyp) `$ は使わない（むしろ使うべきではない）としています。

一般化ファミリーを考える場合は、アンビエント・ドクトリン $`\doct{D}`$ は $`{\bf CAT}`$ とします。これはデフォルトのドクトリン〈具象的2-圏〉なので省略できます。

集合圏 $`{\bf Set}`$ は、集合を離散圏とみなして $`{\bf Cat}`$ に埋め込めます。さらに $`{\bf Cat}\subset {\bf CAT}`$ なので、次のような埋め込み編入関手を定義できます。

$`\quad \mrm{EMB} : {\bf Set} \to \dimU{\bf CAT}{1} \In \mathbb{CAT}`$

これで、$`{\bf CAT}`$ への編入済み圏 $`({\bf Set}, \mrm{EMB})`$ が定義できました。一般化ファミリー（の構成）を $`\mrm{Fam}(\hyp)`$ と書くことにすると、

$`\quad \mrm{Fam}(\hyp) := \mrm{Diag}^{{\bf Set}, \mrm{EMB}}(\hyp) = {\bf CAT}\text{-}\mrm{Diag}^{{\bf Set}, \mrm{EMB}}(\hyp)\\
\quad : \dimU{\bf CAT}{1} \to \dimU{\bf CAT}{1} \In \mathbb{CAT}
`$

となります。$`I\in |{\bf Set}|`$ に関しては：

$`\quad \mrm{Fam}[I](\hyp) := {\bf CAT}\text{-}\mrm{Diag}^{{\bf Set}, \mrm{EMB}}(\hyp) =
{\bf CAT}(\mrm{EMB}(I), \hyp)\\
\quad : \dimU{\bf CAT}{1} \to \dimU{\bf CAT}{1} \In \mathbb{CAT}
`$

$`I`$ を動かしてグロタンディーク構成をするので：

$`\text{For }\cat{D} \in |{\bf CAT}|\\
\quad \mrm{Fam}(\cat{D}) := \Int{\bf Set} {\bf CAT}(\mrm{EMB}(\hyp), \cat{D}) \;\in |{\bf CAT}|
`$

となり、一般化ファミリーの定義が再現します。

有限有向グラフを形状とする図式

$`{\bf FinDiGraph}`$ を、頂点も辺も有限な有向グラフとそのあいだの準同型写像からなる圏とします。$`\mrm{FreeCat}`$ は有向グラフから自由圏を生成する関手とします。生成される圏は無限個の射（パス）を持つかも知れません。

$`\quad \mrm{FreeCat}: {\bf FinDiGraph} \to \dimU{\bf Cat}{1} \In {\bf CAT}`$

$`\mrm{FreeCat}`$ の余域を $`\dimU{\bf Cat}{1}`$ に拡張して編入関手とします。$`({\bf FinDiGraph}, \mrm{FreeCat})`$ は、ドクトリン $`{\bf CAT}`$ への編入済み圏となります。

次のDiag構成を考えます。

$`\quad \mrm{Diag}^{{\bf FinDiGraph}, \mrm{FreeCat}}(\hyp)
: \dimU{\bf CAT}{1} \to \dimU{\bf CAT}{1} \In \mathbb{CAT}
`$

ターゲット圏（ハイフンの部分）を、例えば集合圏で具体化すれば：

$`\quad \mrm{Diag}^{{\bf FinDiGraph}, \mrm{FreeCat}}({\bf Set}) \;\in |{\bf CAT}|`$

特定の有限グラフ $`G \in |{\bf FinDiGraph}|`$ に関しては：

$`\quad \mrm{Diag}^{{\bf FinDiGraph}, \mrm{FreeCat}}[G]({\bf Set}) = {\bf CAT}(\mrm{FreeCat}(G), {\bf Set}) \;\in |{\bf CAT}|`$

これは、文字どおり、形状が $`G`$ である図式の圏になります。グロタンディーク構成すれば、形状のあいだの変換に基づく図式のあいだの射を備えた“図式の圏”ができます。

$`\mrm{Diag}^{{\bf FinDiGraph}, \mrm{FreeCat}}({\bf Set}) := \Int{\bf FinDiGraph}{\bf CAT}(\mrm{FreeCat}(\hyp), {\bf Set})\;\in |{\bf CAT}|
`$

この例は、形状の圏、形状、図式の圏、図式などが文字どおりの意味を持つ場合です。

付値集合

$`V \in |{\bf Set}|`$ を固定します。任意の集合 $`X`$ から $`V`$ への写像を付値〈valuation〉と呼ぶことにします。$`(X, v)`$ は付値集合〈set with valuation | valued set〉と呼びます。付値を保つような写像 $`f: X \to Y`$ を、$`(X, v)`$ から $`(Y, w)`$ への準同型写像だとします。付値集合達とそのあいだの準同型写像達は圏を形成します。この圏は、オーバー圏〈スライス圏〉構成により $`{\bf Set}_{/V}`$ と書けます。

$`{\bf Set}_{/V}`$ をDiag構成で再現しましょう。名目上は、2-圏とみなした集合圏 $`\dimU{{\bf Set}}{2}`$ をアンビエント・ドクトリンとしたDiag構成を考えます。

$`\quad \dimU{{\bf Set}}{2}\text{-}\mrm{Diag}^\hyp(\hyp)`$

しかし、わざわざ2-圏を持ち出すのは面倒なので、次元を下げたDiag構成としてAtlas構成〈Atlas construction〉を定義しておきます。

$`\text{For }J:\cat{C} \to {\bf Set} \In {\bf CAT}\\
\text{For }A \in |{\bf Set}|\\
\quad \mrm{Atlas}^{\cat{C}, J}[\hyp](A) := \mrm{Map}(J(\hyp), A) \;: \cat{C}^\op \to {\bf Set} \In {\bf CAT}\\
\quad \mrm{Atlas}^{\cat{C}, J}(A) := \Int{\cat{C}} \mrm{Map}(J(\hyp), A)\;\in |{\bf CAT}|
`$

アトラス〈地図帳〉は多様体でも出てくる言葉ですが関係ありません。マップ（$`\mrm{Map}(\hyp, \hyp)`$ 、集合圏のホムセット）を寄せ集めたから地図帳です。$`\dimU{{\bf Set}}{2}\text{-}\mrm{Diag}`$ に関する議論と $`\mrm{Atlas}`$ に関する議論は同じです。

集合圏 $`{\bf Set}`$ は、$`({\bf Set}, \mrm{Id})`$ として（ドクトリンとしての）集合圏への自明な編入済み圏となります。この編入済み圏に対してAtlas構成（Diag構成の簡易版）を考えます。

$`\quad \mrm{Atlas}^{{\bf Set}, \mrm{Id}}(V) := \Int{\bf Set} \mrm{Map}(\hyp, V)\;\in |{\bf CAT}|`$

グロタンディーク構成*3の作り方から、でき上がった圏の対象は $`(X, v:X \to V), (Y, w:Y \to V)`$ のような形をしています。この2つの対象のあいだの射は、$`f:X \to Y \In {\bf Set}`$ であって、次の等式を満たすものです。

$`\quad f^*(w) = f;w = v \In \mrm{Map}(X, V)`$

これは、付値集合とそのあいだの準同型写像です。したがって、

$`\quad \mrm{Atlas}^{{\bf Set}, \mrm{Id}}(V) \cong {\bf Set}_{/V} \In {\bf CAT}`$

集合圏のオーバー圏〈スライス圏〉は、Atlas構成（次元を下げたDiag構成）によっても構成できました。

ちなみに、「付値〈valuation〉／値〈value〉」という言葉を使いましたが、同義語はたくさんあり、概念的には同じでも状況により違う言葉を使います。

ラベリング／ラベル
色付け／色（色＝一般的な値）
修飾
重み付け／重さ（主に実数値）
ランク付け／ランク（主に整数値）
階付け／階数（主に整数値）

値がモノの種類のときは：

型付け／型〈タイプ〉
ソート付け／ソート
色付け／色（色＝種類）

値が二値のときは：

極性付け〈偏極〉／極性
符号付け／符号
パリティ付け／パリティ
荷電

色付き有限全順序集合＝リスト

有限全順序集合達と順序を保つ写像〈単調写像〉達が形成する圏を $`{\bf FinTotOrd}`$ とします。台集合を対応させる次の忘却関手が存在します。

$`\quad U: {\bf FinTotOrd} \to {\bf FinSet} \In {\bf CAT}`$

$`{\bf FinSet} \subset {\bf Set}`$ という包含があります。これにより、ドクトリンとしての $`{\bf Set}`$ への編入関手 $`U`$ （同じ名前をオーバロード）を定義します。

$`\quad U: {\bf FinTotOrd} \to {\bf Set} \In {\bf CAT}`$

集合 $`C \in |{\bf Set}|`$ を固定して色の集合〈set of colors〉と呼びます（その要素は色〈color〉）。以下のようなAtlas構成（次元を下げたDiag構成）をほどこします。

$`\quad \mrm{Atlas}^{{\bf FinTotOrd}, U}(C) :=
\Int{\bf FinTotOrd} \mrm{Map}(U(-), C) \;\in |{\bf CAT}|
`$

グロタンディーク構成の作り方から、でき上がった圏の対象は $`(X, a:U(X) \to C), (Y, b:U(Y) \to C)`$ のような形をしています。ここで、$`X, Y`$ は有限全順序集合です。この2つの対象のあいだの射は、単調な写像 $`f:U(X) \to U(Y) \In {\bf Set}`$ であって、次の等式を満たすものです。

$`\quad f^*(b) = f;b = a \In \mrm{Map}(X, C)`$

対象 $`(X, a:U(X) \to C)`$ の $`X`$ は有限全順序集合であることから、$`a`$ は $`C`$ の要素のリスト（線形な並び）とみなせます。つまり、でき上がった圏の対象は“色のリスト”です。射は、リストの項目位置達のあいだの単調写像で、リストの項目値〈成分〉を保存するものです。

$`{\bf FinTotOrd}`$ の代わりに、その骨格〈skeleton〉部分圏として、$`\{1, 2, \cdots, n\}`$ の形の有限全順序集合だけを考えると、よりリストっぽくなります。射は、リスト（射の余域）の成分を重複を許して単調に選択して新しいリスト（射の域）を作る操作に対応します。

有限集合の圏 $`{\bf FinSet}`$ への忘却関手〈忠実関手〉を持つような圏 $`\cat{C}`$ に対してAtlas構成をすると、組み合わせ的に面白い圏が得られます。

Diag構成の繰り返し

Atlas構成は、Diag構成を次のように特殊化したものです。

アンビエント： $`{\bf Set}`$
編入関手： $`\cat{C} \to {\bf Set} \In {\bf CAT}`$
ターゲット： $`A \in |{\bf Set}|`$

Fam構成〈一般化ファミリー構成〉は、Diag構成を次のように特殊化したものと言えます。

アンビエント： $`{\bf CAT}`$
編入関手： $`\cat{C} \to {\bf Set} \hookrightarrow \dimU{\bf CAT}{1} \In \mathbb{CAT}`$
ターゲット： $`\cat{C} \in |{\bf CAT}|`$

Fam構成は、形状が離散的であり、図式は離散図式の場合になります。ターゲットは任意の圏なのでファミリーのあいだの射が自然変換として定義されます。

Atlas構成もFam構成もDiag構成（アンビエント・ドクトリンは $`{\bf CAT}`$）とみなせるので一律に扱えるし、組み合わせることもできます。Diag構成の値（構成結果／生成物）は圏（$`{\bf CAT}`$ の対象）であるため、次のような繰り返しが意味を持ちます。

$`\quad \mrm{Diag}^{\cat{D}, K}(\mrm{Diag}^{\cat{C}, J}(\cat{B}))\;\in |{\bf CAT}|`$

例えば、次の構成が可能です。（$`\mrm{Incl}`$ は集合圏への包含関手です。）

$`\quad \mrm{Fam}^{{\bf FinSet}, \mrm{Incl}}(\mrm{Atlas}^{ {\bf FinTotOrd}, U}(C) )\;\in |{\bf CAT}|`$

前節で構成したリストの圏に対して、有限ファミリー（インデックス集合が有限であるインデックス付き族）の圏を構成しています。

Diag構成は、「スケマティック系のために：雑多な予備知識 // Diag構成」で紹介しましたが、これは、スケマティック系のための必須の道具だと思ったからです。何種類かのDiag構成を繰り返し適用する、あるいはモナドとしてのDiag構成を（ベックの分配法則により）複合することが重要になると思います。

*1:2-射を削り落とさずに $`\mathbb{2CAT}`$ で考えることが出来ると、さらに面白くなるでしょう。

*2:例えば、$`{\bf MonCAT}^\mrm{lax}`$ の1-射は、単なる関手ではなくて、ラクセイターが付随しています。

*3:前層に対するグロタンディーク構成は要素の圏〈category of elements〉ともいいます。