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参照用 記事

グロタンディーク構成 の検索結果:

マルコフ圏 A First Look -- 圏論的確率論の最良の定式化

…CタイプとAタイプ」に書きました。[/追記] *2:カタカナ書きは https://www.youtube.com/watch?v=Z3Gps7VjJ88 をもとにしました。 *3:アスタリスク'*'は、関手の図式順結合記号です。 *4:フリッツは、余可換〈cocommutative〉ではなくて単に可換〈commutative〉と呼んでいます。 *5:シンプソン方式に関する詳しい分析は今後の課題になってますが。 *6:例えば、「指標のパラメータ化とグロタンディーク構成」参照。

さまざまな関手/オペレータと微分の表示

…ctBundleは、グロタンディーク構成とは独立に定義できます。一方で、インデックス付き圏VectBdl#[-]をグロタンディーク構成で順方向平坦化すると、VectBundleと同型な圏 ∫→VectBdl#/Man が得られます。ここで使ったグロタンディーク平坦化については「インデックス付き圏のインデックス付き対象の圏 // 4種のグロタンディーク平坦化」を参照してください。バンドルと層の用語・記号は次の記事にまとめてあります。 ベクトルバンドル射の逆写像: 記法の整理をか…

インデックス付き圏のインデックス付き対象の圏

…タンディーク平坦化圏グロタンディーク構成については次の過去記事を参照してください。 インデックス付き圏のグロタンディーク構成 グロタンディーク構成と積分記号 それと、「ベクトル空間上の複素密度 4: フレームとコフレームの相反性 // グロタンディーク構成 復習と新しい記法」で導入した略記法も使います。その他、バンドルと層に関する用語・記法の全般については: バンドルと層の記法 まとめ バンドルと層の記法 追加(特に、ビッグサイト/層とリトルサイト/層の再定義) C[-]:B…

多様体類似物とチャータブル圏 1:開包含

…とき使われる構成法はグロタンディーク構成です。グロタンディーク構成については、次の記事を参照してください。 グロタンディーク構成と積分記号 短く書く略記法に関しては次の記事(の一節)を参照: ベクトル空間上の複素密度 4: フレームとコフレームの相反性 // グロタンディーク構成 復習と新しい記法 グロタンディーク構成はやたらに出てくるので、色々な例を知りたいなら、検索結果のリストから記事をたどってみてください。 「グロタンディーク構成」のブログ内検索結果 M Bdl[M] …

ベクトル空間上の複素密度 4: フレームとコフレームの相反性

…。内容: はじめに グロタンディーク構成 復習と新しい記法 用語の問題:逆、相反、双対 標準双対化関手と反双対化コンビネータ 線形同型の亜群上の相反化関手と反相反化コンビネータ 線形同型の亜群とフレーム集合関手/コフレーム集合関手 フレーム集合関手からコフレーム集合関手への相反化自然同型 フレーム主等質集合とコフレーム主等質集合の相反性 それから 付録:この記事で使った記号・記法 はじめにこの記事は、シリーズ記事の4番目のものです。もともとは2つの記事で完結する予定でした。が…

ベクトル空間上の複素密度 3: 反対主等質集合と反傾主等質集合

…クス付き圏があれば、グロタンディーク構成〈Grothendieck construction〉ができます。インデックス付き圏のグロタンディーク構成については、次の記事とそこから参照されている記事を(必要なら)読んでみてください。 グロタンディーク構成と積分記号 グロタンディーク構成の例は、検索結果を眺めてください。 「グロタンディーク構成」のブログ内検索結果 さて、一般的な左主等質集合の圏 GenLeftPHS は、インデックス付き圏 LeftPHS[-]:Grp→CAT か…

0次元多様体は向き付け不可能なのでは

…た。最近は、大文字小文字の対応をとって dim(M) = m, dim(N) = n とすることが多いのですが、徹底してません。[/追記] *2:[追記]多様体の圏Manの対象ごとに集合 Or(M) がくっついています。集合を離散圏(または余離散圏)とみなして、グロタンディーク構成で向き付き多様体の圏が作れるかというと、そうはいきません。写像により向きを引き戻すことができないのです。引き戻しが定義できる写像に制限するとうまくいきますが、でき上がる圏が小さすぎます。 [/追記]

コジュール接続の圏 その2

…E) をもとにして、グロタンディーク構成によってコジュール接続の圏 KoszConnection を構成しました。そのとき、次のように書きました。 もうひとつ別な方法でも KoszConnection を構成したいですね。もちろん、ふたつの定義の同値性を期待しています(あー疲れる)。 以前とは別な方法でコジュール接続の圏を構成します。ただし、過去記事の時点で想定していたEP射(embedding と projection のペア)以外に、より一般的な射も使います。多様体Mに対…

シュバレー/アイレンベルク関手の話

…指標のパラメータ化とグロタンディーク構成 コジュール接続の圏 セクション空間関手がとても便利な理由 モノイド対象と単体的対象 これらの記事達の背後にある動機について書いておこうかな、でないと「なんだこれ?」になりそうだから。内容: シュバレー/アイレンベルク代数とシュバレー/アイレンベルク関手 リー亜代数 接バンドルのリー亜代数とド・ラーム複体 微分インフラとシュバレー/アイレンベルク関手 シュバレー/アイレンベルク関手の拡張 シュバレー/アイレンベルク関手が意味を失うとき …

モノイド対象と単体的対象

…指標のパラメータ化とグロタンディーク構成」の最初のほうに、二項演算を'm'という記号で表した指標があります。 equation〈等式〉と書いてありながらイコール記号でなくて二重矢印を使っている理由は: 律子を省略しているので、正確にイコールではない。 1-射である演算〈operation〉を一重矢印、2-射である等式を二重矢印と揃えたかった。 上に挙げた指標は、一般的・総称的です。特定の圏ごとに具体化してみます。 集合圏において具体化 signature Monoid { s…

ビッグサイトから巨大サイトへ

…ンデックス付き圏にはグロタンディーク構成(「グロタンディーク構成と積分記号」参照)ができるので、圏Cに対する被覆の圏〈category of covers〉 Cover(C) を次のように定義します。 インデックス付き圏 Cov[-]:C→CAT と、そのグロタンディーク平坦化である Cover(C) により、圏C上に被覆構造が与えられます。つまり、Cはサイトになります*2。巨大層へ前節の手順で、開射を持つ圏Cをサイトに仕立てることができます。圏Manに適切な開射(からなる部…

コジュール接続の圏

…ないかと(未確認)。グロタンディーク構成を何度も繰り返し使います。なんだか「指標のパラメータ化とグロタンディーク構成」と関係しそうな気がします。内容: コジュール接続 共変微分の空間 ベクトルバンドルとEPペアの圏 共変微分のインデックス付き圏とグロタンディーク構成 曲率 コジュール接続バンドルの「接続」には色々な種類があります。 接続の種類 接続を載せる対象物 定義の手段 エーレスマン接続 任意のバンドル 水平部分空間の分布 主接続 G-主バンドル Gのリー環に値を取る微分…

指標のパラメータ化とグロタンディーク構成

…背後にある枠組みは、グロタンディーク構成じゃなかろうか、と思います。内容: 用語と書き方の約束 指標の分割とパラメータ化/平坦化 意味論は? 指標と相対指標の意味論 パラメータ付き指標の意味論 指標のパラメータ化の基本的な性質 型理論へ 用語と書き方の約束指標と仕様の区別は相変わらず決めてません。ここでは、「指標〈signature〉」という言葉だけを使い、指標に法則を書いてもいいとします。次は、法則も書いてあるモノイドの指標です。 signature Monoid { so…

訂正+α: 逆方向グロタンディーク平坦化圏の重要性

…ク平坦化圏」は記事「グロタンディーク構成と積分記号」へのリンクとしました。一語修正が予告をするほどのことかと思うでしょうが、この一語修正は重要なんです。その説明を以下にします。E, F がベクトルバンドルだとして、ftot:Etop→Ftot と fbase:|E|→|F| の組 f = (ftot, fbase) がベクトルバンドル射であることは、次の図式が可換になることです。ベクトルバンドルとベクトルバンドル射から構成される圏を VectBundle とします。これはいい…

訂正予告: バンドルの圏とグロタンディーク平坦化

…関係が曖昧でした。「グロタンディーク構成と積分記号」で書いたように、グロタンディーク平坦化には次の種類があります。 インデックス付き圏の順方向平坦化 インデックス付き圏の逆方向平坦化 余インデックス付き圏の順方向平坦化 余インデックス付き圏の逆方向平坦化 そうすると、次の言い方は、どの平坦化を使っているか分からないので曖昧です。 インデックス付き圏 VectBdl[-] のグロタンディーク平坦化圏が VectBundle である。 どの平坦化を使うかはけっこう重要な問題で、ひ…

ベクトルバンドル射の逆写像: 記法の整理をかねて

…Bdl[-] からのグロタンディーク構成で得られるファイバー付き圏は、Base:VectBundle→Man です。ここで、Baseはベクトルバンドルにその底空間を対応させる関手です。今までの話で、ファイバーがベクトル空間であることは使ってないので、一般のファイバーバンドルでも同じです。 Bundle はファイバーバンドルの圏 Base:Bundle→Man が底空間関手から定義されるファイバー付き圏 Bdl[-] は、ファイバー付き圏に対応するインデックス付き圏 セクション…

主バンドルの基本的なこと (1/2)

…e を構成する方法(グロタンディーク構成)もありますが、今は触れません。バンドルチャートとバンドルアトラスファイバーバンドル (E, B, F, π) の定義には局所自明性が含まれます。局所自明性で述べられている同型 E|U→U×F を局所自明化〈local trivialization〉と呼びます。(E|U, U, F, π|U) はファイバーバンドルになり、(U×F, U, F, π1) もファイバーバンドルなので、局所自明化は、(E|U, U, F, π|U)→(U×F…

グロタンディーク構成と積分記号

グロタンディーク構成はやたらに出てきますね。グロタンディーク構成に関わる記法をここで決めておきたいと思います。[追記 date="2019-05-16"]この記事内に出現する「ファイバー付き圏〈fibered category〉」の一部は「反ファイバー付き圏〈opfibered category〉」(「余ファイバー付き圏〈cofibered category〉」ともいう)にすべきです。余インデックス圏〈coindexed category〉から作られたファイブレーションは反フ…

層に関してちょっと

…T *3が作れれば、グロタンディーク構成〈Grothendieck construction〉(「インデックス付き圏のグロタンディーク構成」参照)を行って、ファイバー付き圏〈fibered category〉(圏のファイブレーション、「14年ぶりにファイバー付き圏」参照)を作れます。次の書き方をすることにします。 C-Presheaf*→B : インデックス付き圏から作られた、前層のファイバー付き圏。 C-Presheaf*→B : 余インデックス付き圏から作られた、前層のフ…

インデックス付き圏を拡張してファイバー付き圏へ

…付き圏ではお馴染みのグロタンディーク構成の拡張版です。この辺のことを知るには、今から14年前に紹介したことがあるアンジェロ・ヴィストリのテキスト(解説論文)を拾い読みするといいかもしれません。 Title: Notes on Grothendieck topologies, fibered categories and descent theory Author: Angelo Vistoli Pages: 114p URL: https://arxiv.org/abs/ma…

マリオスの抽象微分多様体

…タンディーク平坦化〈グロタンディーク構成〉をしてみるのが定石です。グロタンディーク構成に関しては、次の記事に書いてあります。 インデックス付き圏のグロタンディーク構成 Iop→Cat がインデックス付き圏のとき、f:i→j in I に対して (i, A)→(j, B) (i, j∈|I|, A∈|F(i)|, B∈|F(j)|)という射をどう定義するか? 2種類の向きがあります。余インデックス付き圏でも向きが2種類あります。合計で4種類の平坦化があります。 構成の材料 構成…

リストモナドとテンソル空間モナドのあいだの準同型射

…タンディーク平坦化〈グロタンディーク構成〉。 1MndAlg(K) : K内のモナドとそのあいだの代数的準同型射からなる圏。1MndAlg(K) := Flatten(MndOn(K)[-]) と定義する。 1MndEM(K) : K内のモナドとそのあいだのアイレンベルク/ムーア型の準同型射からなる1-圏。アイレンベルク/ムーア型の準同型射については、"クリメン/ソリヴェレス 2010"参照。 1MndKl(K) : K内のモナドとそのあいだのクライスリ型の準同型射からなる1…

偉大なり、米田

…nd/coend〉とグロタンディーク構成〈Grothendieck construction〉の創始者でもあるんですよね。エンド/コエンドに関しては、ロアギアン論文から引用します。強調(太字+下線)は檜山。 Title: This is the (co)end, my only (co)friend Author: Fosco Loregian Pages: 84p URL: https://arxiv.org/abs/1501.02503 The original defi…

述語論理とインデックス付き圏と限量随伴性

…インデックス付き圏のグロタンディーク構成 また、次の記事はこの節の内容に近いです。 ホーア論理の圏論的な定式化 さて、集合Xにその上の述語の全体Pred[X]を対応させる関手は、実質的に反変ベキ集合関手Pow*と同じものですが、Pred[X]は圏だと解釈します。集合Xごとに圏がくっついているような構造ですね。改めて、インデックス付き圏としてのPredを定義しましょう。まず、集合圏の部分圏Bを定めます。このBをベース圏(base category)と呼びます。集合圏の特定された…

形式言語理論のための代数

…インデックス付き圏のグロタンディーク構成」を参照)。インデックス付き圏AutomH[-]をグロタンディーク平坦化した圏をAUTOMHとしましょう。圏をAUTOMH は次のように記述できます。 AUTOMHの対象は、AutomH[S]の対象をSを動かしながらすべて直和で寄せ集めたもの。|AUTOMH| = ΣS∈SETχAutomH[S] と書けます。 A∈AutomH[S] から B∈AutomH[T] への射は、ブール行列 α:S→T と、A→αB in AutomH[S]…

圏のファイブレーション

…も理由があることで、グロタンディーク構成/グロタンディーク・ファイブレーションはやっぱり使うのですよ。ファイブレーション界隈も用語がけっこう乱れているので、調べて整理しようと、Wikipedia項目 http://en.wikipedia.org/wiki/Fibred_category とnLabの http://ncatlab.org/nlab/show/Grothendieck+fibration を見比べたりました。まず、英語の綴りがfibreとfiberがあるんです…

「グロタンディーク」って言ったらカッコイイのか?

…るいは他の著作物でもグロタンディーク構成はしょっちゅう出てきます。 Databases are categories (http://math.mit.edu/~dspivak/informatics/talks/galois.pdf) Databases are Categories II (http://math.mit.edu/~dspivak/informatics/talks/refinements_and_extensions.pdf) 実際にグロタンディーク構成…

一般関手モデル:インスティチューションとの関係

…向グラフの圏の拡張 グロタンディーク構成による表示の圏の再現 インスティチューションの構成 関手モデルとインスティチューションの同値性 言葉と記号の約束Catは、小さい圏と関手からなる圏です。Graphは、有向グラフとグラフの準同型写像からなる圏です。グラフの準同型写像とは、頂点を頂点に、辺を辺に移す写像。有向グラフGから作られた自由圏を FreeCat(G)、小さい圏Cから圏の演算を忘れた有向グラフを Graph(C) とします。Graph(-) は忘却関手ですね。一般に、…

一般関手モデル:相対スキーマと相対インスタンス

…このインデックス圏のグロタンディーク構成(平坦化) ∫(s∈Sch | [s, C]) をInstと書きます。Instはすべてのインスタンスからなる圏で、その射はスキーマ射と(同一スキーマ上の)インスタンスの射の組み合わせです。Instはグロタンディーク構成に伴う標準的な射影を持ちます。この射影を Sch:Inst→Sch とします。インスタンスFに対して、Sch(F) はFのスキーマであり、Sch(f:F→G) は、インスタンスのあいだの射fのスキーマ部分(schema p…

一般関手モデル:インスタンスの余タプリングと貼り合わせ

…ント圏Cを決めると、グロタンディーク構成により圏のファイブレーション ∫(s∈Sch | [s, C]) → Sch ができるのでした。以下、平坦化された圏 ∫(s∈Sch | [s, C]) を単にInstと書くことにします。Instの対象は、スキーマSとその上のインスタンス F:S→C の組 (S, F) です。Instの射 (S, F)→(T, G) は、スキーマ射(関手)σ:S→T と自然変換 α:F⇒σ*(G) の組です(「インデックス付き圏のグロタンディーク構成」…