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参照用 記事

グロタンディーク構成 の検索結果:

ファイバーの計算 全体像と色々な構成法

…yp)`$ に対するグロタンディーク構成を施します。これが $`\cat{S}`$ の(大域的な)ファミリー構成です。$`\quad \mrm{Fam}^\cat{S}(\cat{S}) := {\displaystyle \int_\cat{S}} (\cat{S}^\hyp)`$$`\mrm{Fam}`$ の右肩に $`\cat{S}`$ が乗っている事情は次の過去記事を参照してください。 Diag構成: 圏論的構成法の包括的フレームワークとして ファミリー構成に関しては…

ファイバーの計算 基本概念

…ファミリー対応は、“グロタンディーク構成によるファイバー付き圏とインデキシング付き圏の対応”の0-圏バージョンです。ファイバー関手この節では三種類のファイバー関手〈fiber functor〉*2を定義します。まず、前節のバンドル-ファミリー対応から次のような関手が得られます。バンドルにそのファイバーファミリーを対応させます。$`\quad R_K : \cat{S}/K \to \cat{S}^K \In {\bf CAT}\\ \text{For } \obj{g} \i…

スライス圏の大域的な定義: スラッシュ記号の解釈

…インデックス付き圏のグロタンディーク構成 スライシング関手 スライス圏$`\cat{C}`$ は小さい圏とします。$`\cat{C}`$ の対象は、ラテン文字小文字の最初のほう $`a, b, \cdots`$ で表します。$`\cat{C}`$ の射は、ラテン文字小文字の中間あたりの $`f, g, \cdots`$ で表します。$`\cat{C}`$ の対象 $`c\in |\cat{C}|`$ に対して、スライス圏〈slice category | オーバー圏 | ov…

圏論におけるフレーム充填問題

…ン $`(k, f)`$ に対する右カン拡張1-射〈right Kan extension 1-morphism〉です。解の2-射 $`\rho`$ に名前が付いてないのは単に偶発的・歴史的事情です。 *1:くぼみの意味です。英語だと「ニーシ」に近い発音です。 *2:https://pixabay.com/vectors/water-rain-teardrop-liquid-drop-1560478/ *3:前層・余前層からグロタンディーク構成をして得られる“要素の圏”です。

2階インデックス付き圏と反ラックス余錐

…インデックス付き圏とグロタンディーク構成に関する過去記事を2つだけ挙げておくと: インデックス付き圏のグロタンディーク構成 グロタンディーク構成と積分記号 小さい1-圏 $`\cat{I}`$ に、自明な2-射(1-射のあいだの等式)を追加した2-圏を $`\dimU{ \cat{I} }{2}`$ として、以下の $`F`$ のようにインデックス付き圏を定義すると、一般化されたインデックス付き圏の概念になります。$`\quad F: (\dimU{\cat{I}}{2})^…

状態遷移系としての前層・余前層・プロ関手

…の射です。要素の圏はグロタンディーク構成によるファイバー付き圏〈{fibred | fibered} category〉の特別なもので、ファイバーが離散圏(事実上、単なる集合)であるものです。グロタンディーク構成については、次の過去記事に説明があります。 インデックス付き圏のグロタンディーク構成 グロタンディーク構成と積分記号 プロ関手 $`P`$ の場合は、状態空間であるインデックス付き集合のインデキシング集合は次の形になります。$`\quad |\cat{C}^\op\t…

続・有向コンテナと多項式コモナド: 錯綜整理

…Groth}`$ はグロタンディーク構成です。本来のグロタンディーク構成の退化バージョンで、コンテナ $`A = (X \mid A[\hyp])`$ に次のようなパイ型で作ったバンドルを対応させます。$`\quad \pi : \sum_{x\in X}A[x] \to X \In {\bf Set}`$バンドルの構成素名を $`\mrm{Tot}`$(全空間)、$`\mrm{Base}`$(底空間)、$`\mrm{proj}`$(射影)とすると:$`\Let B = \m…

Diag構成の変種とその書き方

…。(以下の積分記号はグロタンディーク構成です。)$`\quad \doct{D}\text{-}\mrm{CoDiag}^{\cat{D}, J}(\cat{C}) := \Int{\cat{D}} \doct{D}(J(\hyp)^\op, \cat{C}) `$$`\doct{D}`$ がデフォルトの $`{\bf CAT}`$ である場合は:$`\quad \mrm{CoDiag}^{\cat{D}, J}(\cat{C}) := \Int{\cat{D}} {\bf …

Diag構成: 圏論的構成法の包括的フレームワークとして

…インデックス付き圏にグロタンディーク構成をほどこすと平坦化圏ができます。それがDiag構成の結果〈成果物〉です。$`\quad \doct{D}\text{-}\mrm{Diag}^\cat{S}(\cat{D}) := \Int{\u{\cat{S}}} \doct{D}\text{-}\mrm{Diag}^\cat{S}[\hyp](\cat{D}) \;\in |{\bf CAT}| `$グロタンディーク構成はファイバー付き圏〈{fibred | fibered} ca…

スケマティック系のために: 雑多な予備知識

…。以下で、積分記号はグロタンディーク構成です。$`\quad \mrm{Diag}^{\cat{C},J }[\hyp_1](\hyp_2) := {^{\cat{C},J} \doct{D}}(\hyp_1, \hyp_2) = \doct{D}(J(\hyp_1), \hyp_2)\\ \quad \mrm{Diag}^{\cat{C},J }(\cat{D}) := \int_{\cat{C}} \mrm{Diag}^{\cat{C},J }[\hyp](\cat{D}…

関手の表現可能性と、要素の圏の終対象・始対象

…インデックス付き圏のグロタンディーク構成〈Grothendieck construction for indexed category〉の特殊ケースです。前層 $`F`$ の要素の圏を $`\mrm{El}(F)`$ と書きます。圏 $`\mrm{El}(F)`$ の対象の集合は、次の集合論的シグマ型で与えます。$`\quad |\mrm{El}(F)| := \sum_{X\in |\cat{C}|} F(X)`$要するに、$`F(X)`$ 達をすべて寄せ集めた集合です。た…

レイヤー化ストリング図: スプリット図

…ックス付き圏なので、グロタンディーク構成〈Grothendieck construction〉ができます。グロタンディーク構成によって出来上がる平坦化圏には順方向と逆方向があります。インデックス付き圏の場合と余インデックス付き圏の場合で合計4種類の平坦化圏があります(グロタンディーク構成と積分記号)。4種類の平坦化圏と対応する積分記号(平坦化のオペレータを表す)は: $`\int_\rightarrow`$ : インデックス付き圏の順方向平坦化圏 $`\int_\leftar…

層化ストリング図

…インデックス付き圏のグロタンディーク構成のトータル圏(「最近の型理論: 拡張包括構造を持ったインデックス付き圏」の最初の節参照)の射です。関手コボックスとスプリッター図ロブスキ/ザンサイの描画方向は、射の方向が右から左、モノイド積の方向が上から下ですが、僕の説明は射の方向が上から下、モノイド積の方向は左から右です。描画方向やその変換は次の記事を参照してください。 絵算(ストリング図)における池袋駅問題の真相 双対や随伴に強くなるためのトレーニング ストリング図、関手ボックス、…

最近の型理論: 拡張包括構造を持ったインデックス付き圏

…インデックス付き圏のグロタンディーク構成 $`\cat{P}`$ は関手ですが、引数渡しはブラケットを使って $`\cat{P}[X], \cat{P}[f]`$ のように書くことにします。「インデックス・アクセスはブラケットで書く」という習慣からです。次の用語を使います。 関手 $`\cat{P}`$ の域である圏 $`\cat{C}`$ を、インデキシング圏〈indexing category〉またはベース圏〈base category〉と呼びます。インデックス付き圏とイ…

最近の型理論: 型判断/シーケントの意味論に向けて

…at{P}`$ からグロタンディーク構成した平坦化圏〈flattened category〉を $`\int_\cat{C} \cat{P}[\hyp]`$ 、あるいはより短く $`\int \cat{P}`$ と書くことにします。$`X\in |\cat{C}|`$ と $`p\in |\cat{P}[X]|`$ のペア $`(X, p)`$ が平坦化圏 $`\int \cat{P}`$ の対象となります。次の形の射は、ひとつのファイバー内に収まる“垂直な射”なので、ファイ…

最近の型理論: 依存型理論で述語論理が出来てしまう理由

…ンデックス付き圏にはグロタンディーク構成ができるので、グロタンディーク平坦化圏とグロタンディーク・ファイブレーション(すぐ下)を構成できます。$`\quad \pi : \int_\cat{C} \cat{P}[\hyp] \to \cat{C} \In {\bf CAT}`$グロタンディーク構成については、例えば次の記事を参照してください。 インデックス付き圏のグロタンディーク構成 グロタンディーク構成と積分記号 射影と随伴トリプル系$`X, A \in |\cat{C}|…

一般化されたファミリーの圏

…般化とパラメータ化 グロタンディーク構成 ベース圏の制限 まとめ 追記 追記その2 記法の約束サイズのランク〈レベル〉をr、次元をnとして、サイズランクrのn-圏達の(n + 1)-圏を次のように書きます。dはデフォルトのランクです。 $`r = d `$ $`r = d + 1`$ $`r = d + 2`$ $`n = 0`$ $`{\bf Set}`$ $`{\bf SET}`$ $`\mathbb{SET}`$ $`n = 1`$ $`{\bf Cat}`$ $`{\…

2-コンテナ

…関手 2-コンテナ グロタンディーク構成 2-多項式関手 おわりに 1-コンテナ1-コンテナ〈1-container〉とは通常のコンテナのことです。コンテナとは集合族〈indexed family of sets〉の別名です。(インデックス付きの)集合族を単にファミリーとも呼ぶので、コンテナとファミリーは同義語です。コンテナ $`F:I \to |{\bf Set}| \In {\bf SET}`$ があると、写像 $`f:E \to I \In {\bf Set}`$ が一…

述語論理: ベース圏と論理代数の圏

…に関する技法、例えばグロタンディーク構成(「 インデックス付き圏のグロタンディーク構成 」参照)を使うことが出来ます。グロタンディーク構成を通じて、ハイパードクトリンをファイバー付き圏〈{fibred | fibered} category〉とみなすと、ベースの対象 $`X`$ 上の論理代数 $`\mrm{Pred}[X]`$ はファイバーになります。なので、$`\mrm{Pred}[X]`$ を(ハイパードクトリンの)ファイバー〈fibre | fiber〉とも呼びます。ハ…

なんでも米田に便乗

…タンディークより先にグロタンディーク構成のアイディアを出しています(「偉大なり、米田」参照)。最近スピヴァック〈David I. Spivak〉は、表現可能関手に $`y^-`$ という記法を使ってますが(「米田テンソル計算 3: 米田の「よ」、米田の星、ディラックのブラケット 再論 // スピヴァックの指数記法」を参照)、$`y`$ は米田の「y」だそうです。$`y^-`$ は余米田埋め込み〈coYoneda embedding〉になっていますが、同じ意味の記号が他にもあり…

圏論的レンズ 最初の一歩: ストリング図を中心に

…ーな圏論的道具立て(グロタンディーク構成、アクテゴリー、コエンド計算、パラ構成など)が使われたりもします。ですが、アブストラクト・ナンセンスに飛び込む前に、元祖レンズ/具象レンズとそのストリング図をいじっておいたほうがよいかと思います。 *1:スタックのpop/pushをget/putだと思うと、良振る舞いレンズですが最良振る舞いレンズにはなりません。 *2:準マルコフ圏の文脈では、この性質を僕は射の非分散性〈nondispersiveness〉と呼んでいます。デカルト圏では…

構造付き圏の定義と記述

…ory〉と呼ばれます。最近、アクテゴリー〈加群圏〉の需要(?)が増しているようですが、定義や記述が整理されてません。ゴチャゴチャしてしまう理由のひとつは、台〈underlying thing〉を2つ持つ複合構造だからでしょう。パート抽出関手で台を分離すれば情勢は見えやすくなると思います。今日はパート抽出関手を導入しただけで、アクテゴリー〈加群圏〉の定義と記述はまたいずれ。 *1:ちゃんと記述するなら、体の圏上で定義されたインデックス付き圏とそのグロタンディーク構成を使います。

もっとちゃんと微分、デザインパターンを使って

…るかも知れません。 グロタンディーク構成と積分記号 インデックス付き圏のインデックス付き対象の圏 “ベース・ファイバー分解”デザインパターンには2つの変種があり、以下の図式で表現できます。域側ベース・ファイバー分解: 余域側ベース・ファイバー分解: これらの図式は、圏論で出てくる通常の可換図式とは少し違います。実線矢印は関手ですが、破線矢印は関手ではありません。したがって、可換性の意味も変わってきます。デザインパターンだけを実例なしに説明しても分かりにくいと思うので、次節で実…

多様体のあいだの写像の微分

…に定義される圏 は、グロタンディーク構成で結ばれますが、今日はその話は省略します。 は、多様体に圏を対応させますが、多様体の射 には関手が対応します。 から誘導された反変関手 を と略記します。 に対する値 は、ベクトルバンドルの引き戻し〈pullback〉と呼ばれるものです。引き戻しバンドルの具体的な構成は割愛しますが、ここで必要な事実は次です。 (加群として) これを使うと、写像の微分のプロファイルを書き換えられます。 なので、同じ略記 を採用すると、 と短く書けます。実…

開集合族に載った前層係数のコチェーン

…圏/やせた圏に対するグロタンディーク構成を繰り返して作ります。係数域に使うFが層とは限らないので「貼り合わせの原理」が使えるとは限りません。また、コチェーンが載ってる開集合族が被覆とは限らないので、X全体の話になるとは限りません。ここで定義するコチェーンは、局所的に定義されたモノ(の集まり)を記述します。が、局所的に定義されたモノを貼り合わせて大域的なモノを構成する目的には使えないかも知れません。それでも、統一的な記法を提供する意味はあるでしょう。内容: 開集合族の圏 前層係…

多相関数と依存型をちゃんと理解しよう

…インデックス付き圏のグロタンディーク構成 インデックス付き圏 F:X → Cat にグロタンディーク構成を施して得られた平坦化圏が依存和型に対応します。射影 πF:Σ(F) → X はグロタンディーク構成のファイブレーションです。 [/補足]依存積型: 型ファミリーの総積依存積型を具体的に定義するとき、(僕が)思いつく方法が2つあります。どっちを採用してもできる集合は同型なので、抽象レベルでは「どっちでも同じ、どうでもいい」のですが、具体的な計算・処理だと差が出るので、どっち…

マルコフ圏 A First Look -- 圏論的確率論の最良の定式化

…CタイプとAタイプ」に書きました。[/追記] *2:カタカナ書きは https://www.youtube.com/watch?v=Z3Gps7VjJ88 をもとにしました。 *3:アスタリスク'*'は、関手の図式順結合記号です。 *4:フリッツは、余可換〈cocommutative〉ではなくて単に可換〈commutative〉と呼んでいます。 *5:シンプソン方式に関する詳しい分析は今後の課題になってますが。 *6:例えば、「指標のパラメータ化とグロタンディーク構成」参照。

さまざまな関手/オペレータと微分の表示

…ctBundleは、グロタンディーク構成とは独立に定義できます。一方で、インデックス付き圏VectBdl#[-]をグロタンディーク構成で順方向平坦化すると、VectBundleと同型な圏 ∫→VectBdl#/Man が得られます。ここで使ったグロタンディーク平坦化については「インデックス付き圏のインデックス付き対象の圏 // 4種のグロタンディーク平坦化」を参照してください。バンドルと層の用語・記号は次の記事にまとめてあります。 ベクトルバンドル射の逆写像: 記法の整理をか…

インデックス付き圏のインデックス付き対象の圏

…タンディーク平坦化圏グロタンディーク構成については次の過去記事を参照してください。 インデックス付き圏のグロタンディーク構成 グロタンディーク構成と積分記号 それと、「ベクトル空間上の複素密度 4: フレームとコフレームの相反性 // グロタンディーク構成 復習と新しい記法」で導入した略記法も使います。その他、バンドルと層に関する用語・記法の全般については: バンドルと層の記法 まとめ バンドルと層の記法 追加(特に、ビッグサイト/層とリトルサイト/層の再定義) C[-]:B…

多様体類似物とチャータブル圏 1:開包含

…とき使われる構成法はグロタンディーク構成です。グロタンディーク構成については、次の記事を参照してください。 グロタンディーク構成と積分記号 短く書く略記法に関しては次の記事(の一節)を参照: ベクトル空間上の複素密度 4: フレームとコフレームの相反性 // グロタンディーク構成 復習と新しい記法 グロタンディーク構成はやたらに出てくるので、色々な例を知りたいなら、検索結果のリストから記事をたどってみてください。 「グロタンディーク構成」のブログ内検索結果 M Bdl[M] …