ジョニーへの伝言：3点テンパリー／リーブ代数の行列表現 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)

Temperley-Lieb Algebraの行列表現と対消滅と対生成が閉じ込められた素過程について。 - hiroki_fの日記：

hiro> Temperley-Lieb algebraが行列で表現できない
檜山> いや、できるでしょ、がんばれば。僕はできないけど。
hiro> やはり無理だと考える。

あきらめちゃうの？ジョニー。

点の数は次元じゃないってば

どうも暗黙に、点の数をベクトル空間の次元と仮定してるみたいですが、そんな条件は付けてませんよ。そんなこともあるので、「3点」を「3次元」なんて呼ぶのはやめよう、って言ってるわけ。いらぬ誤解やつまらない先入観が生じますからね。

n = 3 のケースで、ベクトル空間の次元は8、行列は8×8の64成分なら、割と自然(?)な表現が構成できますよ。もとの図がたいして情報を持たないので、64成分もあってもスカスカ（大部分は0）だけど。

こんな行列をみつければいい

テンパリー／リーブ代数の行列表現がみつかったとして、それをRepと書きましょう。UとWは前の記事と同じく、3点テンパリー／リーブ代数の生成元とします。

R = Rep(U)
S = Rep(V)

と置いて、Repがちゃんと行列表現になっていることを確認するには、次を示せばいいですね。

RR = 2R
SS = 2S
RSR = R
SRS = S

要するに、上の4つの等式を満たすような行列RとSをみつけろ、ってハナシ。

使い捨て行列計算プログラム

手計算するよりは、プログラムを作っておいたほうが少しは楽だろう。なんでもいいや、こんなんでもいいや。



/* mat.js */
var _N = 8;
function _col(m, i) {

  var c = new Array();

  for (var j = 0; j < _N; j++) {

    c[j] = m[j][i];

  }

  return c;

}
function _prod(x, y) {

  var p = 0;

  for (var i = 0; i < _N; i++) {

    p += x[i]*y[i];

  }

  return p;

}
function mult(a, b) {

  var m = new Array();

  for (var j = 0; j < _N; j++) {

    m[j] = new Array();

    for (var i = 0; i < _N; i++) {

      m[j][i] = _prod(a[j], _col(b, i))

    }

  }

  return m;

}
function smult(s, a) {

  var m = new Array();

  for (var j = 0; j < _N; j++) {

    m[j] = new Array();

    for (var i = 0; i < _N; i++) {

      m[j][i] = s * a[j][i];

    }

  }

  return m;

}
function matEq(a, b) {

  for (var j = 0; j < _N; j++) {

    for (var i = 0; i < _N; i++) {

      if (a[j][i] != b[j][i]) {

	return false;

      }

    }

  }

  return true;

}
function printMat(m) {

  for (var i = 0; i < _N; i++) {

    print(m[i]); // for Rhino!

  }

}

みつかった

これだ。



var R = [

 [1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0],

 [0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1],

 [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],

 [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],

 [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],

 [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],

 [1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0],

 [0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1]

];
var S = [

 [1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0],

 [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],

 [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],

 [1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0],

 [0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1],

 [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],

 [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],

 [0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1]

];

ウソじゃないよ



js> printMat(mult(R, R))

2,0,0,0,0,0,2,0

0,2,0,0,0,0,0,2

0,0,0,0,0,0,0,0

0,0,0,0,0,0,0,0

0,0,0,0,0,0,0,0

0,0,0,0,0,0,0,0

2,0,0,0,0,0,2,0

0,2,0,0,0,0,0,2

js> printMat(mult(S, S))

2,0,0,2,0,0,0,0

0,0,0,0,0,0,0,0

0,0,0,0,0,0,0,0

2,0,0,2,0,0,0,0

0,0,0,0,2,0,0,2

0,0,0,0,0,0,0,0

0,0,0,0,0,0,0,0

0,0,0,0,2,0,0,2

js> printMat(mult(mult(R, S), R))

1,0,0,0,0,0,1,0

0,1,0,0,0,0,0,1

0,0,0,0,0,0,0,0

0,0,0,0,0,0,0,0

0,0,0,0,0,0,0,0

0,0,0,0,0,0,0,0

1,0,0,0,0,0,1,0

0,1,0,0,0,0,0,1

js> printMat(mult(mult(S, R), S))

1,0,0,1,0,0,0,0

0,0,0,0,0,0,0,0

0,0,0,0,0,0,0,0

1,0,0,1,0,0,0,0

0,0,0,0,1,0,0,1

0,0,0,0,0,0,0,0

0,0,0,0,0,0,0,0

0,0,0,0,1,0,0,1

js>



js> matEq(mult(R, R), smult(2, R))

true

js> matEq(mult(S, S), smult(2, S))

true

js> matEq(mult(mult(R, S), R), R)

true

js> matEq(mult(mult(S, R), S), S)

true

js>