「型理論などの引っ越し準備 その2 // 包括自然変換」にて：
「自然変換は関手」で述べたように、アロー圏への関手は自然変換を定義します。包括関手 $`\rho`$ から定義される自然変換を同じ名前で（オーバーロードして）$`\rho`$ とします。
包括関手と包括自然変換を同じ文字 $`\rho`$ で表したのですが、これは慣れてないと混乱しますね。「型理論などの引っ越し準備 その2」への補遺としてこの記事では、包括関手を $`H`$ 、包括自然変換を $`\rho`$ として、その関係を述べます。$`\newcommand{\cat}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mbf}[1]{\mathbf{#1}}
\newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}}
\newcommand{\twoto}{\Rightarrow}
%\newcommand{\msc}[1]{\mathscr{#1}}
%\newcommand{\msf}[1]{\mathsf{#1}}
%\newcommand{\mbb}[1]{\mathbb{#1}}
%\newcommand{\o}[1]{\overline{#1} }
%\newcommand{\u}[1]{\underline{#1} }
%\newcommand{\op}{\mathrm{op} }
%\newcommand{\id}{\mathrm{id} }n
\newcommand{\In}{\text{ in } }
\newcommand{\hyp}{\text{－} }
%\newcommand{\Imp}{\Rightarrow }
`$
包括関手は次のように書きます。
$`\quad \xymatrix{
\cat{E} \ar[d]_\pi \ar[r]^{H}
&{\mrm{Arr}(\cat{C}) }\ar[d]^{\mrm{Cod}}
\\
\cat{C} \ar@{=}[r]
&\cat{C}
}\\
\quad \text{strictly commutative }\In \mrm{CAT}
`$
拡張作用〈extension action〉$`\alpha`$ は次のように定義できます。（アスタリスクは、図式順の関手の結合演算子記号です。）
$`\quad \alpha := H*\mrm{Dom} \;: \cat{E}\to \cat{E}\In \mbf{CAT}`$
$`\quad \xymatrix{
\cat{C} \ar@{=}[r]
&\cat{C}
\\
\cat{E} \ar[d]_\pi \ar[r]^{H} \ar[u]^\alpha
&{\mrm{Arr}(\cat{C}) }\ar[d]^{\mrm{Cod}} \ar[u]_{\mrm{Dom}}
\\
\cat{C} \ar@{=}[r]
&\cat{C}
}\\
\quad \text{strictly commutative }\In \mrm{CAT}
`$
関手のデカルト射（「関手のデカルト射とファイバー付き圏」参照）達の集合は $`\mrm{Cart}(\hyp)`$ で書きます。包括関手の条件は、次のように書けます。
- $`\varphi \in \mrm{Cart}(\pi)`$ ならば、$`H(\varphi)\in \mrm{Cart}(\mrm{Cod})`$
一方で、包括自然変換は次のような自然変換です。
$`\quad \rho :: \alpha \twoto \pi : \cat{E}\to \cat{C}\In \mbf{CAT}`$
関手 $`H`$ と自然変換 $`\rho`$ は一対一に対応します。
$`\quad \mrm{Functor}(\cat{E}, \mrm{Arr}(\cat{C}) ) \ni H \longleftrightarrow
\rho \in \mrm{Nat}(\alpha, \pi : \cat{E}\to \cat{C})`$
上記の左辺は関手圏ではなくて関手集合です。右辺は自然変換達の集合です。
$`\varphi`$ を、グロタンディーク・ファイブレーション $`\pi`$ のトータル射とします（デカルト射とは仮定しない）。
$`\quad \varphi : (\Gamma \mid A)\to (\Delta\mid B) \In \cat{E}`$
関手 $`H`$ による $`\varphi`$ の値と、自然変換 $`\rho`$ の $`\varphi`$ に関する自然性四角形が一致します。この事実が、$`H`$ と $`\rho`$ が対応する根本的理由です。
$`\varphi`$ の関手 $`H`$ による値は、普通に $`H(\varphi)`$ と書きます。$`\varphi`$ に関する自然変換 $`\rho`$ の自然性四角形は、普通使わない記法ですが $`\rho(\varphi)`$ と書くことにする*1と、$`H(\varphi)`$ と $`\rho(\varphi)`$ は同じ可換四角形になります。
$`\varphi : (\Gamma \mid A)\to (\Delta\mid B)`$ を関手 $`H`$ で $`\mrm{Arr}(\cat{C})`$ に送ると：
$`\quad H(\varphi) : H(\Gamma \mid A)\to H(\Delta\mid B) \In \mrm{Arr}(\cat{C})`$
これを、$`\cat{C}`$ 内の四角形で描くと：
$`\quad \xymatrix{
\cdot \ar[r]^{\alpha(\varphi)} \ar[d]_{H(\Gamma\mid A)}
\ar@{}[dr]|{H(\varphi)}
&\cdot \ar[d]^{H(\Delta\mid B)}
\\
\cdot \ar[r]_{\pi(\varphi)}
&\cdot
}\\
\quad \text{commutative }\In \cat{C}
`$
一方で、$`\varphi`$ に関する自然変換 $`\rho`$ の自然性四角形は次のようです。
$`\quad \xymatrix{
\cdot \ar[r]^{\alpha(\varphi)} \ar[d]_{\rho_{(\Gamma\mid A)} }
\ar@{}[dr]|{\rho(\varphi)}
&\cdot \ar[d]^{\rho_{(\Delta\mid B)} }
\\
\cdot \ar[r]_{\pi(\varphi)}
&\cdot
}\\
\quad \text{commutative }\In \cat{C}
`$
これらは同じ可換四角形なので：
- $`H(\Gamma \mid A) = \rho_{(\Gamma\mid A)}`$
- $`H(\Delta \mid B) = \rho_{(\Delta\mid B)}`$
- $`H(\varphi) = \rho(\varphi)`$
関手も自然変換も可換四角形達の集まりで決まってしまうので、可換四角形達に注目すれば $`H = \rho`$ という同一視をしても差し支えありません。「実質的に同じモノですから同じ名前にしてもいいだろう」がオーバーロードの理由です。
多くの人は、$`H(\varphi)`$ は四角形を左から右の方向で見ることになり、$`\rho(\varphi)`$ では四角形を上から下の方向で見ることになります。この「心理的方向の食い違い」が混乱や違和感の原因かと思います。
上記のごときレイアウトで描くことを前提にするなら、「関手は左から右」「自然変換は上から下」に思えますが、方向を無視すれば同じ四角形です。
また、$`\mrm{Arr}(\cat{C})`$ の射である四角形の四辺のうち、（上記レイアウトで）左側も域〈ドメイン〉、上側も域〈ドメイン〉なのも混乱の原因でしょう。このブログ内では、先頭文字を大文字・小文字で区別しています。
$`\quad \xymatrix{
\cdot \ar[r]^{\mrm{Dom}(R)} \ar[d]_{\mrm{dom}(R) }
\ar@{}[dr]|{R}
&\cdot \ar[d]^{\mrm{cod}(R) }
\\
\cdot \ar[r]_{\mrm{Cod}(R) }
&\cdot
}\\
\quad \text{commutative }\In \cat{C}
`$
包括関手／包括自然変換の定義より、$`\varphi`$ が $`\pi`$ のデカルト射のときは、$`H(\varphi) = \rho(\varphi)`$ はデカルト四角形〈プルバック四角形〉です。
*1:自然性四角形の対角線を $`\rho(\varphi)`$ と書くことがたまにあります。
