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［参照用 記事］

モノイド指標と自由拡張

雑記／備忘

“モノイド指標”や“等式を含むモノイド指標”は、デカルト圏のなかの代数構造の定義などによく使われます。必ずしもデカルト圏でなくても、“モノイド指標／等式を含むモノイド指標”は使えます。例えば、圏の自己関手達の関手圏は対称でさえないモノイド圏です。そのモノイド圏のモノイド対象はモナドです。

“モノイド指標／等式を含むモノイド指標”を定義するメカニズムとして、厳密高次圏のアタッチメントの自由拡張は好都合です。このメカニズムについて紹介します。$`\newcommand{\cat}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mbf}[1]{\mathbf{#1}}
\newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}}
%\newcommand{\twoto}{\Rightarrow}
%\newcommand{\msc}[1]{\mathscr{#1}}
%\newcommand{\msf}[1]{\mathsf{#1}}
\newcommand{\mbb}[1]{\mathbb{#1}}
%\newcommand{\o}[1]{\overline{#1} }
\newcommand{\u}[1]{\underline{#1} }
\newcommand{\op}{\mathrm{op} }
\newcommand{\id}{\mathrm{id} }
\newcommand{\In}{\text{ in } }
\newcommand{\hyp}{\text{－} }
\newcommand{\Imp}{\Rightarrow }
\newcommand{\dimU}[2]{{#1}\!\updownarrow^{#2}}
\newcommand{\H}{\text{-}}
\newcommand{\bdry}{\partial }
\newcommand{\incto}{\hookrightarrow }
`$

内容：

厳密高次圏

厳密高次圏〈strict higher category〉の定義は、ホタンの論文（下）の "4.1. Strict higher categories" に従います。

  • [HoT18-22]
  • Title: The Equivalence between Many-to-One Polygraphs and Opetopic Sets
  • Author: Cédric Ho Thanh
  • Submitted: 22 Jun 2018 (v1), 22 Sep 2021 (v4)
  • Pages: 26p
  • URL: https://arxiv.org/abs/1806.08645

厳密高次圏 $`\cat{C}`$ には、任意の $`k\in \mbf{N}`$ に対して“k-射〈k-morphism〉達の集合”があります。それを $`|\cat{C}|_k`$ と書きます。$`k`$ ごとに次のような写像があります。

$`\quad \xymatrix@C+1pc{
|\cat{C}|_k \ar[r]|{\id_k}
&{|\cat{C}|_{k+1}} \ar@/_1pc/[l]_{\mrm{dom}_{k}}
\ar@/^1pc/[l]^{\mrm{cod}_{k}}
}\\
\quad \In \mbf{Set}
`$

これらの集合達・写像達は反射的球体集合〈reflexive globular set〉と呼ばれる構造（「反射的球体集合」参照）を形成しています。なお、$`\id_k`$ の値を通常のように下付きで書こうとすると、下付きの $`k`$ とかち合ってしまうので、$`\id_k(x)`$ という書き方をします。

[補足]
上に定義した $`\mrm{dom}_k, \mrm{cod}_k`$ は、$`\mrm{dom}_{k + 1}, \mrm{cod}_{k +1}`$ と番号を付けたほうが覚えやすいと思います。写像の域の番号と写像の番号が揃うからです。

しかし、$`\mrm{dom}, \mrm{cod}`$ に関しては、写像の余域の番号と写像の番号を揃えるほうが多数派の番号付け方式なので、多数派に従っておきます。
[/補足]

便宜上（必須ではないが）、次の条件も付けておきます。

$`\quad j \ne k \Imp |\cat{C}|_j \cap |\cat{C}|_k = \emptyset`$

$`\mrm{dom}_k, \mrm{cod}_k, \mrm{id}_k`$ を繰り返し結合して得られる写像を次のように書きます。$`k \lt l`$ とします。

  • $`\mrm{dom}_{l, k} : |\cat{C}|_l \to |\cat{C}|_k \In \mbf{Set}`$
  • $`\mrm{cod}_{l, k} : |\cat{C}|_l \to |\cat{C}|_k \In \mbf{Set}`$
  • $`\mrm{id}_{k, l} : |\cat{C}|_k \to |\cat{C}|_l \In \mbf{Set}`$

次が成立します。

  • $`\mrm{dom}_k = \mrm{dom}_{k + 1, k} \;: |\cat{C}|_{k+1} \to |\cat{C}|_k \In \mbf{Set}`$
  • $`\mrm{cod}_k = \mrm{cod}_{k + 1, k} \;: |\cat{C}|_{k+1} \to |\cat{C}|_k \In \mbf{Set}`$
  • $`\mrm{id}_k = \mrm{id}_{k, k + 1} \;: |\cat{C}|_{k} \to |\cat{C}|_{k+1} \In \mbf{Set}`$

集合 $`|\cat{C}|_n \times_k |\cat{C}|_n`$ は、次のファイバー積として定義します。$`\text{p.b.}`$ はプルバック四角形を示します。

$`\quad \xymatrix{
{|\cat{C}|_n \times_k |\cat{C}|_n} \ar[r] \ar[d]
\ar@{}[dr]|{\text{p.b.} }
&{|\cat{C}|_n} \ar[d]^{\mrm{cod}_{n,k}}
\\
{|\cat{C}|_n} \ar[r]_{\mrm{dom}_{n, k}}
&{|\cat{C}|_k}
}\\
\quad \In \mbf{Set}
`$

[追記]
当初、ファイバー積をホタンの記法と合わせて $`|\cat{C}|_{n, k}`$ と書いてましたが、誤解をまねきそうなので、$`|\cat{C}|_n \times_k |\cat{C}|_n`$ に変えました。

$`|\cat{C}|_n \times_k |\cat{C}|_n \subseteq |\cat{C}|_n \times |\cat{C}|_n`$ です。
[/追記]

さらに任意の $`n, k \:(0 \le k \lt n)`$ に対して結合写像〈composition map〉があります。

$`\quad \mrm{comp}_{n, k} : |\cat{C}|_n \times_k |\cat{C}|_n \to |\cat{C}|_n \In \mbf{Set}`$

これらの構成素達が以下の法則〈公理〉を満たすとき、形成される構造を厳密高次圏〈strict higher category〉と呼びます。

  1. $`(|\cat{C}|_k , |\cat{C}|_n, \mrm{dom}_{n, k}, \mrm{cod}_{n,k}, \id_{k, n}, \mrm{comp}_{n,k})`$ は1-圏になる。
  2. $`(|\cat{C}|_l , |\cat{C}|_k, \mrm{dom}_{k, l}, \mrm{cod}_{k,l}, \id_{l, k}, \mrm{comp}_{k,l})`$ と $`(|\cat{C}|_k , |\cat{C}|_n, \mrm{dom}_{n, k}, \mrm{cod}_{n,k}, \id_{k, n}, \mrm{comp}_{n,k})`$ を一緒にした構造は厳密2-圏になる。

厳密高次圏は、高次元、ときに無限次元かも知れない構造物ですが、1-圏と厳密2-圏の公理系で統制できます。

厳密高次圏の構造を厳密に保存する写像（の族）が厳密高次圏のあいだの準同型射〈homomorphism 〉、あるいは厳密ω-関手〈strict ω-functor〉です。厳密高次圏を対象として、そのあいだの準同型射〈厳密ω-関手〉を射とする圏〈1-圏〉を $`\omega\mbf{Cat}_1`$ とします。$`\omega\mbf{Cat}_1`$ の対象は高次圏ですが、$`\omega\mbf{Cat}_1`$ は大きな1-圏です。

$`\cat{C}\in |\omega\mbf{Cat}_1|`$ が次の性質を持つとき、（名目上の）厳密n-圏〈strict n-category〉と呼びます。

  • $`k \gt n`$ ならば、$`|\cat{C}|_k`$ は恒等射（$`\id_{k-1}`$ の像に属する射）だけ。

例えば、厳密0-圏は集合と同一視できます。厳密0-圏（集合）は、任意の n に対して（名目上の）厳密n-圏です。通常の圏は厳密1-圏で、1以上の任意の n に対して（名目上の）厳密n-圏です。

（名目上の）厳密n-圏達からなる $`\omega\mbf{Cat}_1`$ の部分圏を $`\mbf{s}n\mbf{Cat}`$ とします。例えば、$`\mbf{s}0\mbf{Cat}`$ は集合圏と同じです。

$`\mbf{1}`$ は、すべての次元の射がただ1つだけである無限次元圏を表します。$`\mbf{1}`$ から厳密高次圏 $`\cat{C}`$ への厳密ω-関手は、$`\cat{C}`$ の0-射（対象）をポインティングして特定します。

任意の厳密高次圏 $`\cat{C}`$ に対して、$`\cat{C}_{\le n}`$ は、恒等射ではない(n + 1)次元以上の射を捨てて得られるn-圏です。例えば、$`\cat{C}_{\le 1}`$ は（$`\cat{C}`$ が何であれ）通常の圏とみなせます。

コンテイメントとアタッチメント

コンテイメントとアタッチメントの簡単な例は次の過去記事に書いています。

ここで改めて述べます。

コンテイメントは簡単な概念です。$`A`$ を集合、$`\cat{C}`$ を厳密高次圏だとして、次のような単射がk-コンテイメント〈k-containment〉です。

$`\quad \iota : A \to |\cat{C}|_k \In \mbf{Set}`$

一方、k-アタッチメント〈k-attachment〉は次のような写像のペアです。

$`\quad f^-, f^+ : A \to |\cat{C}|_{k -1} \In \mbf{Set}`$

ここで、$`\cat{C}`$ は(k - 1)-圏であると仮定します*1。また、$`\bdry := \langle f^-, f^+\rangle`$ （$`\langle\hyp, \hyp\rangle`$ はデカルトペア）と書くこともあります。

$`\quad \bdry : A \to |\cat{C}|_{k -1} \times |\cat{C}|_{k-1} \In \mbf{Set}`$

$`\bdry`$ は境界作用素の記号です。$`A`$ の要素を追加のk-射と考えると、$`f^-, f^+`$ が境界（1次元低い2つの面）を与えるので、境界（を対応させる）作用素とみなせます。

k-コンテイメントを一文字 $`\Gamma`$ で表したときは次のように書きます。

$`\quad \Gamma = (|\Gamma|_k, \cat{C}^\Gamma, \iota^\Gamma)`$

ここで、$`\iota^\Gamma : |\Gamma|_k \incto |\cat{C}|_k`$ です（$`\incto`$ は単射を表す）。

k-アタッチメントを一文字 $`\Sigma`$ で表したときは次のように書きます。

$`\quad \Sigma = (|\Sigma|_k, \cat{C}^\Sigma, \bdry^\Sigma)`$

ここで、$`\bdry^\Sigma : |\Sigma|_k \to |\cat{C}^\Sigma|_{k-1}\times|\cat{C}^\Sigma|_{k -1}`$ 、$`\cat{C}^\Sigma \in |\mbf{s}(k - 1)\mbf{Cat}_1|`$ です。

$`\Sigma`$ が厳密(k - 1)-圏 $`\cat{C}`$ に対するk-アタッチメントだとします。つまり、$`\cat{C} = \cat{C}^\Sigma`$ 。このとき、k-コンテイメント $`\Gamma`$ が、k-アタッチメント $`\Sigma`$ のk-拡張〈k-extension〉であるとは次のことです。

  • $`{\cat{C}^\Gamma}_{\le k - 1} = \cat{C}`$
  • $`|\Gamma|_k = |\Sigma|_k`$
  • 以下の図式が可換。

$`\quad \xymatrix{
{|\Gamma|_k} \ar@{=}[d] \ar[r]^{\iota^\Gamma}
&{|\cat{C}^\Gamma|_k} \ar[d]^{\langle \mrm{dom}, \mrm{cod}\rangle }
\\
{|\Sigma|_k} \ar[r]_-{\bdry^\Sigma}
&{( |\cat{C}|_{k-1}\times |\cat{C}|_{k-1} )}
}\\
\text{commutative }\In \mbf{Set}
`$

[補足]
上の図式の $`\langle \mrm{dom}, \mrm{cod}\rangle`$ は、余域を $`|\cat{C}|_{k-1}\times |\cat{C}|_{k-1}`$ の部分集合に制限できます。その部分集合は、図形的に言えば (k - 1)-次元球面の形をしたペアです。$`\bdry^\Sigma`$ の余域も同じ部分集合に制限できます。

最初から、部分集合を余域として定義したほうがが便利かも知れません。
[/補足]

一般に、$`\Gamma`$ と $`\Gamma'`$ がk-コンテイメントのとき、そのあいだの射は次の構成素の組です。

  • $`f: |\Gamma|_k \to |\Gamma'|_k \In \mbf{Set}`$
  • $`F: \cat{C}^\Gamma \to \cat{C}^{\Gamma'} \In \omega\mbf{Cat}_1`$
  • 以下の図式を可換にする。

$`\quad \xymatrix{
{|\Gamma|_k} \ar@{^{(}->} [r]^{\iota^\Gamma } \ar[d]_f
&{|\cat{C}^\Gamma|_k} \ar[d]^{F_k}
\\
{|\Gamma'|_k} \ar@{^{(}->} [r]^{\iota^{\Gamma'} }
&{|\cat{C}^{\Gamma'}|_k}
}\\
\quad \text{commutative }\In \mbf{Set}
`$

$`f`$ が恒等写像のときがよく使われます。

特定の k-アタッチメント $`\Sigma`$ のk-拡張となっているk-コンテイメントの全体は圏を形成します。この圏に始対象があれば、それを $`\Sigma`$ のk-自由拡張〈k-free extension〉（または自由k-拡張〈free k-extension〉）と呼びます。

モノイド指標

モノイドを $`M = (\u{M}, m_M, e_M)`$ と書きます。二項演算 $`m_M`$ は中置演算子記号 '$`\cdot`$' を使っても書きます。混乱の心配がなければ $`M = (\u{M}, \cdot, e)`$ とも書きます。しかし、モノイド $`M`$ とその台集合 $`\u{M}`$ をオーバーロードする“記号の乱用”はしません。

モノイド $`M`$ に対するモノイド指標〈monoidal signature〉$`\Sigma`$ は、次のものから構成されます。

  • 集合 $`|\Sigma|_1`$
  • モノイド $`M`$
  • 写像 $`\bdry^\Sigma : |\Sigma|_1\to \u{M}\times \u{M} \In \mbf{Set}`$

自由モノイドに対するモノイド指標 $`\Sigma`$ は次のようになります。

  • 集合 $`|\Sigma|_0`$
  • 自由モノイド $`M := ({|\Sigma|_0}^*, \cdot, \varepsilon)`$ 、ここで、 $`{|\Sigma|_0}^*`$ は $`\mrm{List}(|\Sigma|_0)`$ のこと。
  • 集合 $`|\Sigma|_1`$
  • 写像 $`\bdry^\Sigma : |\Sigma|_1\to \u{M}\times \u{M} \In \mbf{Set}`$

自由モノイドに対するモノイド指標の常識的解釈は：

  • $`|\Sigma|_0`$ の要素はソート記号とみなす。
  • $`|\Sigma|_1`$ の要素はオペレーション記号とみなす。
  • $`\bdry^\Sigma`$ がオペレーションのプロファイル（入出力の仕様）を与える。
  • 等式は含まれないが、必要とあらば等式を追加可能である（後述する）。

2-アタッチメントとしてのモノイド指標

モノイド $`M = (\u{M}, \cdot, e)`$ を厳密モノイド圏とみなしたものを $`M_\bot`$ と書くことにします。$`M_\bot`$ は次のような圏です。

  • $`|M_\bot| = |M_\bot|_0 := \{\bot\}`$ （単元集合）
  • $`|M_\bot|_1 = \mrm{Mor}(\cat{C}):= \u{M}`$ （モノイドの台集合）
  • $`\mrm{dom}, \mrm{cod}`$ は自明（自動的に一意に決まってしまう）
  • $`\id(\bot) = e`$ （モノイドの単位元を恒等射とする）
  • $`\mrm{comp} = (;) := (\cdot)`$ （圏の結合はモノイドの二項演算とする）

$`M\mapsto M_\bot`$ は、モノイドに厳密モノイド圏を対応させます。モノイド射に厳密モノイド関手を対応付ける写像も作れるので、$`(\hyp)_\bot`$ は次のような関手になります。

$`\quad (\hyp)_\bot : \mbf{Mon} \to \mbf{strMonCat}_1 \In \mbf{CAT}`$

ここで、$`\mbf{strMonCat}_1`$ は、（小さな）厳密モノイド圏達の1-圏です。今は、厳密モノイド圏のあいだの自然変換は考えません。

$`\Sigma = (|\Sigma|_1, M, \bdry^\Sigma)`$ をモノイド指標とします。このとき、厳密モノイド圏 $`M_\bot`$ に対する2-アタッチメント（1-アタッチメントではない） $`\Sigma'`$ を定義できます。それは、次のような2-アタッチメントです。

  • $`|\Sigma'|_2 := |\Sigma|_1`$
  • $`\cat{C}^{\Sigma'} := M_\bot`$
  • $`\bdry^{\Sigma'} := \bdry^\Sigma`$

モノイド指標という概念は、特殊な1-圏に対する2-アタッチメントとしても定義できるわけです。自由モノイドに対するモノイド指標も、もちろん2-アタッチメントとみなせます。

モノイド指標 $`\Sigma`$ から作られた2-アタッチメント $`\Sigma'`$ の自由2-拡張を $`\mbb{F}\Sigma'`$ と書くことにします。自由2-拡張 $`\mbb{F}\Sigma'`$ は、定義から、ただひとつの対象 $`\bot`$ を持つ厳密2-圏です（追加構造としてコンテイメントを備えていますが）。ただひとつの対象を持つ厳密2-圏とは厳密モノイド圏なので、$`\Sigma\mapsto \mbb{F}\Sigma'`$ は以下のような関手とみなせます。

$`\quad \mbb{F}(\hyp)' : \mbf{MonSign} \to \mbf{strMonCat}_1 \In \mbf{CAT}`$

ここで、$`\mbf{MonSign}`$ はモノイド指標達の圏です。モノイド指標のあいだの準同型射については述べてませんが、今は割愛します。

モノイド指標と厳密モノイド圏のあいだの随伴系

この節では改めて、関手 $`\mbb{F}(\hyp)'`$ を $`\mbb{F}(\hyp)`$ と置きます。つまりここから先では、$`\mbb{F}`$ はモノイド指標を受け取って厳密モノイド圏を返す関手です。

$`\quad \mbb{F} : \mbf{MonSign} \to \mbf{strMonCat}_1 \In \mbf{CAT}`$

$`\mbb{F}`$ の定義は、いったん2-アタッチメントを作って、その2-アタッチメントに対する自由2-拡張を作る操作でした。$`\mbb{F}`$ は、忘却関手 $`\mbb{U}`$ の左随伴関手としても特徴付けられます。その特徴付けのためには、忘却関手 $`\mbb{U}`$ を定義する必要があります。

$`\quad \mbb{U} : \mbf{strMonCat}_1 \to \mbf{MonSign} \In \mbf{CAT}`$

厳密モノイド圏 $`\cat{C}`$ に対する $`\Sigma := \mbb{U}\cat{C}`$ は次のようなモノイド指標です。

  • $`M^\Sigma := (|\cat{C}|_0, \otimes, \mrm{I})`$
  • $`|\Sigma|_1 := |\cat{C}|_1 = \mrm{Mor}(\cat{C})`$
  • $`\bdry^\Sigma := \langle \mrm{dom}, \mrm{cod}\rangle`$

厳密モノイド関手に対してモノイド射（モノイドのあいだの準同型射）も定義できます（今は割愛します）。

こうして作った忘却関手 $`\mbb{U}`$ と、自由2-拡張から作った関手 $`\mbb{F}`$ は次のような随伴系〈随伴関手ペア〉を構成します。

$`\quad \xymatrix{
{\mbf{MonSign} } \ar@/^1pc/[r]^{\mbb{F}}
\ar@{}[r]|{\bot}
&{\mbf{strMonCat}_1} \ar@/^1pc/[l]^{\mbb{U}}
}\\
\quad \In \mbf{CAT}
`$

等式の扱い方

モノイド指標には通常は等式も含めます。等式の意味は、モノイド圏の1-射のあいだの2-射です。この解釈によって、等式が含まれるモノイド指標は2-アタッチメントとして定式化できます。

$`\cat{C}`$ が厳密モノイド圏だとして、2アタッチメント $`\Sigma`$ は次の構成素からなります。

  • 集合 $`|\Sigma|_2`$
  • 厳密モノイド圏 $`\cat{C}^\Sigma = \cat{C}`$
  • 写像 $`\bdry^\Sigma : |\Sigma|_2 \to |\cat{C}|_1\times |\cat{C}|_1`$

集合 $`|\Sigma|_2`$ の要素は等式（あるいは等式を識別するラベル）とみなします。$`x\in |\Sigma|_2`$ に対する $`\bdry^\Sigma(x)`$ が等式の左辺と右辺を与えます。

厳密モノイド圏 $`\cat{C}`$ を、単一対象の厳密2-圏だとみなす場合は、等式は3-射となるので、等式を含む $`\Sigma`$ は3-アタッチメントとなります。定式化により次元がズレるので注意してください。

厳密モノイド圏の2-アタッチメント（単一対象の厳密2-圏の3-アタッチメントと同じ）達が形成する圏は、等式を含むモノイド指標の圏と同一視できます。アタッチメントの自由拡張により、等式を含むモノイド指標から自由生成された厳密モノイド圏を定義できます。構成法の詳細は省略します。

コンピュータッド、CW指標

この記事では、モノイド構造を持つモノイド指標に注目しました。モノイドは特別な1-圏とみなせて、厳密モノイド圏は特別な厳密2-圏とみなせます。つまり、モノイド構造は厳密n-圏のなかで議論できます。

“モノイド指標”と“等式を持つモノイド指標”は、厳密n-圏に対するアタッチメントと自由拡張の繰り返しにより定式化できます。アタッチメントと自由拡張の繰り返しは、コンピュータッド〈computad〉と同じことです。コンピュータッドについては以下の過去記事達を参照してください。

また、アタッチメントと自由拡張の繰り返しはCW指標〈CW signature〉とも同じことです。

コンピュータッドもCW指標も、指標と指標が生成する圏（高次圏含む）を定式化するための構造です。コンピュータッド／CW指標の定義は色々ありますが、アタッチメントと自由拡張の繰り返しは議論をスッキリさせる効果がありそうです。

*1:「(k - 1)-圏である」という仮定は落として、必要なときに追加するほうが良いかも知れません。