直積の単位が終対象とは限らない - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)

直積を持つ圏に終対象があれば、その終対象は直積の単位になります。この逆はどうでしょうか。つまり、直積の単位は終対象になるか？なりません。練習問題として反例を作ってみました*1。

実は、微妙なところを詰め切れてない気がするけど、まーいいや。たぶん大丈夫、もし間違っていたら訂正します。

お約束

「×」は演算としての直積を表します。f:X→A, g:X→B に対して、<f, g>:X→A×B は、fとgのデカルト対（cartesian pairing）とします。p¹_A,B:A×B→A と p²_A,B:A×B→B は直積の射影です。

双対的に、「+」は直和。f:A→Y, g:B→Y に対して、[f, g]:A+B →Y は、fとgの余デカルト対（cocartesian pairing;場合分け）。i¹_A,B:A→A+B と i²_A,B:B→A+B は直和の入射（injection）です。

デカルト対に関して次の計算法則が成立します（ちょっとサボって略記を使ってます）。

<f, g>;p¹ = f
<f, g>;p² = g
h;<f, g> = <h;f, h;g>
<p¹, p²> = id

終対象は単位であること

Tをある圏の終対象とします（Tはterminalから；finalも使います）。任意の対象AからTへの唯一の射を !_A:A→T で表します。すると：

f:A→B に対して、 f;!_B = !_A
!_T = id_T

終対象Tが直積の単位であることを示すために、A×T と A の同型を作ってみます； p¹ = P¹_A×T:A×T→A と <id_A, !_A>:A→A×T を考えます。デカルト積の性質（「お約束」参照）から、p¹;<id_A, !_A> = <p¹;id_A, p¹;!_A>、idの性質と終対象の性質から、<p¹;id_A, p¹;!_A> = <p¹, !_A×T>。ところで、!_A×T は A×T の第二射影でもあるので、<p¹, !_A×T> = <p¹, p²> = id 。

一方、<id_A, !_A>;p¹ = id_A なので、p¹ と <id_A, !_A> が A×T と A の同型を与えます。T×A と Aの同型も同じです。これで、終対象が直積の単位であることが示せました*2。

番号付けを持つ可算無限集合の圏

Xを可算無限集合、σ:X→N を、XとN（自然数）の同型（bijection）とします。(X, σ) は、番号付け（自然数コーディング）を持つ可算無限集合です。(f, f') が(X, σ)から(Y, τ)への射だとは、次の図式が可換なことだとします。



 X - f → Y

 |        |

 σ      τ

 |        |

 v        v

 N - f'→ N

記号を乱用して、X = (X, σ_X)、f = (f, f') と書きましょう。f:X→Y と書いてあったら、実際は次の可換図式のことです。



 X - f → Y

 |        |

σ_X    σ_Y

 |        |

 v        v

 N - f'→ N

番号付けを持つ可算無限集合達と、そのあいだの射が圏をなすように結合（composition）と恒等（identity）を定義できることは明らかでしょう。こうしてできる圏をCとします。

圏Cの対象はすべて無限集合、射は任意の写像なので、X→Y という射が1個だけという事態は起こりません。したがって、Cには始対象も終対象は存在しません。

この圏の直和と直和の単位

i¹(n) = 2×n : N→N、i²(n) = 2×n + 1: N→N として、集合の圏で余デカルト対 j = [i¹, i²] を作ると、j:N+N→Nは同型になります。jの逆は、自然数全体を偶数と奇数に分ける写像ですね。この同型j:N+N→N に基づいて、圏Cにおける直和を定義します。直和を考えるのは、直積より簡単そうだからです。

X = (X, σ_X) と Y = (Y, σ_Y) に対して、σ_X+Y:X+Y →N を σ_X+Y := (σ_X+σ_Y);j として構成します。ここで、(σ_X+σ_Y)内の記号「+」は、数の足し算ではなくて、写像の直和ですから注意。

X+Y = (X+Y, σ_X+Y)だけではまだ直和になりません。圏Cにおける直和の第一入射k¹:(X, σ_X)→(X+Y, σ_X+Y) は、次のように定義します。



 X - i^1 → X+Y

 |          |

σ_X    σ_X+σ_Y

 |          |

 V          v

 N - ×2 → N (2倍して偶数にする)

第二入射k²:(Y, σ_Y)→(X+Y, σ_X+Y) も同様に作ります（偶数の代わりに奇数を使う）。以上で述べた構成が、圏Cにおいて、対象(X, σ_X)と(Y, σ_Y)の直和を与えます。確認してみてください。

さて、(N, id_N)は圏Cの対象です。この(N, id_N)が直和の単位になることを示します。そのために、任意の X = (X, σ_X) に対して、X+N = (X+N, σ_X+N) と N = (N, id_N) のCにおける同型を作ります。次の射の系列を結合します。

X+N - σ_X+id_N → N+N - j → N - (σ_X)^-1 → X

もうはしょって書きますが、それぞれの射は同型なので、逆向きにたどれば X → X+N も作れます。対応する N→N の写像も作れます（実はidになっています）し、N+X と X の同型も同様に作れます。

それで結局、圏Cには直和演算が定義できて、(N, id_N) が単位になることが分かります。

終対象／始対象と単位は別物

圏Cでは：

始対象が存在しない。
直和演算+を定義できる。
直和の単位が存在する（構成可能である）。

圏Cの反対圏C^opでは：

終対象が存在しない。
直積演算×を定義できる。
直積の単位が存在する（構成可能である）。

というわけで、単位がいつでも終対象／始対象とは限らないことが分かりました。

最後に注意しておくと；今回作った圏Cは、すべての対象が同型です。よって、対象の個性が全然なくて、みんな事実上同じなんです（完璧に「人類みな平等」状態）。ですから、任意の対象を選んで単位にすることができます。

*1:もともとの動機は別なところにあったのですがね。

*2:実際には、一貫性に関する議論も必要です。が、以下、一貫性の件は割愛します。[追記]「直積や直和がちゃんとモノイド演算になる」ことを前もって仮定すれば、別にここで一貫性を気にかける必要はないかも。[/追記]