カロウビ展開圏：関手としてのカロウビ展開

カロウビ展開圏（Karoubi envelope）の話です。前回は、カロウビ展開圏の実例を出しましたが、今日は、マクロな立場からカロウビ展開圏を見てみます。ここで、マクロな立場とは、個々の圏を調べるのではなくて、圏の集まりを社会学的(?)に見ることです。記述はかなり大ざっぱ、行間を埋めてくださいませ。誤解や間違いのご指摘はもちろん歓迎。

カロウビ展開関手

どんな圏Cに対しても、そのカロウビ展開圏KE(C)を定義できます。F:C→D が圏Cから圏Dへの関手だとします。この関手Fを、KE(C)→KE(D) という関手に持ち上げることができるでしょうか？

この問題は簡単に解けます。G:KE(C)→KE(D) を次のように定義します。

• a∈|KE(C)| に対して、G(a) = F(a)
• f∈KE(C) に対して、G(f) = F(f)

なんのことはない、GはFと同じものです。こうして定義したG（Fと同じ）が関手であるためには、

• a∈|KE(C)| ならば、G(a)∈|KE(D)|
• f∈KE(C) ならば、G(f)∈KE(D)
• G(f;g) = G(f);G(g) in KE(D)
• G(id_a) = id_G(a) in KE(D)

であることが必要です。GがFと同じ対応であることを使えば、いずれも容易に示せます。（[追記]dom, codを忘れてますが、適当に補ってください。[/追記]）

記号の一貫性のために、Gを（実はFを）KE(F) と書きます。すると、KEは、圏を圏に対応させ、関手を関手に対応させます。言い方を換えれば：

• Cが圏なら、圏KE(C)が一意的に決まる。
• F:C→D が圏Cから圏Dへの関手なら、圏KE(C)から圏KE(D)への関手KE(F)が一意的に決まる。

これは、“圏の圏”をCatとして、KEがCat→Cat （C|→KE(C), F|→KE(F)）という対応になっていることです。さらに、次が成立しているなら、KEは圏Catから圏Catへの関手だということになります。

• KE(F;G) = KE(F);KE(G) （「;」は関手の結合）
• KE(Id_C) = Id_KE(C) （Idは恒等関手）

KEの定義と照らし合わせてみれば、これも容易に示せます。つまり、KEは圏Cat上の自己関手です。

カロウビ展開の性質：増大性とベキ等性

実例から予想できるように、KE(C) = C の場合はありますが、KE(C)がCより“小さくなる”ことはありません。これをハッキリと言うと、C→KE(C) という埋め込み関手を構成できることです。埋め込み関手Jは次のように定義できます。

• A∈|C| に対して、J(A) = (A, id_A)
• f∈C(A, B) に対して、J(f) = f:(A, id_A)→(B, id_B)

対象Aと恒等射id_Aを同一視すれば、元の圏Cは、KE(C)のなかにスッポリと収まります。この性質をカロウビ展開の増大性*1と呼びます。正確な表現ではありませんが、次のように書けます。

• C ⊆ KE(C)

次に、KE(KE(C)) がどんな圏になるかを見てみます。記号の簡略化のため、K = KE(C) と置きます。

f∈KE(K) であるとは、f:(A, a)→(A, a) in K （f:A→B、a;f;a = f in C）で、f;f = f in K のことです。ところが、f;f という結合はCのなかで既に定義されていますから、fはCのベキ等射 f:A→A です。つまり、fは|K|に入っています。f∈|KE(K)| ⇒ f∈|K| なので、|KE(K)|⊆|K| となります。aがA上のC内ベキ等射で、fがa上のK内ベキ等射ならば、fはA上のC内ベキ等射でもあるのです。

j∈KE(K)(f, g) ということは、f;j;g = j ということです。f, gはKの対象（Cのベキ等射）とみなせるので、jはKの射とみなせます。つまり、j∈K。j∈KE(K)(f, g) ⇒ j∈K(f, g) ですから、KE(K)⊆K 。

以上から、KE(KE(C)) ⊆ KE(C) が言えます。一方、増大性から KE(C) ⊆ KE(KE(C)) が言えるので、だいたいのところ、KE(KE(C)) = KE(C) です。カロウビ展開を2回行っても1回分と同じ効果しか得られないことになります。つまり、カロウビ展開という構成はベキ等性を持ちます。

閉包関手、モナド

Aを順序集合として、単調写像 f:A→A が次の性質を持つとき、閉包演算子と呼びます。

• x ≦ f(x) （増大性）
• f(f(x)) = f(x) （ベキ等性）

閉包演算子の概念を圏に拡張したものが閉包関手です。圏Cの自己関手 F:C→C を考え、不等号の代わりに自然変換を使います。

• η:: Id_C ⇒ F
• μ:: F;F ⇒ F

増大性とベキ等性は、自然変換に次の条件を課して表現します。

• 任意の対象Aに対して、ηの成分 η_A:A→F(A) はモノである。
• 任意の対象Aに対して、μの成分 μ_A:F(F(A))→F(A) はアイソである。

そして、(F, η, μ) はモナドだとします。これで閉包関手（閉包モナド、ベキ等モナド）が定義できました。

カロウビ展開関手は、圏Cat上の関手ですが、適当な自然変換と組み合わせれば増大性とベキ等性を持つので、圏Cat上の閉包関手です。圏Cat上の関手を結ぶ自然変換の成分はまた関手だったりするので、なかなかに頭が混乱しますが、圏論の基本概念を何度も適用して事実を確認することはいい練習問題かもしれません。

Catは単なる圏ではなくて2-圏でもあるので、KEは2-モナドの例になっているように思うのですが、気力が湧かなくて確認してません。と、世界を上空から見下ろしたマクロな話になりすぎたので、次はもっとミクロな話をします、たぶん。

*1:ほんとは非縮小性だね。