「関係圏とスパンの圏」において、「Set ： Rel ＝ C ： ？」という“比例式”を満たすような圏（「？」に当てはまる圏）が欲しい、と言いました。そして、近似的な比例式「Set ： Rel ≒ C ： Span(C)」が成立するらしきことは説明しました。
コメント欄のryoさんのヒントにより、「Set ： Rel ＝ C ： Rel(C)」となる構成 Rel(-) がみつかりました。この構成Relを使うと、Rel = Rel(Set) だと言えます。
さらに双対な構成CoRelを使って余関係の概念を定義できます。
Rel構成
Cを終対象とプルバックを持つ圏とします。終対象とプルバックがあれば、任意の有限図式が極限を持つので、Cは有限完備な圏と言っても同じです。また、Cは等値核（equalizer）を持つデカルト圏であるとも表現できます。
そのような圏Cに対して、Cのスパンの圏 Span(C) が定義できます。Span(C) のホムセットのサイズ（smallness）は難しい問題ですが、ここでは素朴に大丈夫と信じましょう。Span(C)のなかでjointly monicなCのスパンからなるSpan(C)の部分圏をRel(C)とします。jointly monicなスパンとは、(A←X→B) の左右の足をf, gとして、デカルトペアリング <f, g>:X→A×B がモノであるスパンのことです。
もとの圏Cで考えると、モノ射 X→A×B とは「A×Bの部分対象」のことです。Cが集合圏Setの状況では、モノ射 X→A×B とは「直積集合A×Bの部分集合」なので、確かにこれは関係になります。したがって、Rel(Set) = Rel が圏同値の意味で成立します。
CoRel構成
Rel構成を双対化してみましょう。
Cを始対象とプッシュアウトを持つ圏とします。Cは有限余完備な圏、あるいは余等値核（coequalizer）を持つ余デカルト圏と言っても同じです。
Cの余スパンは、(A→X←B) という形の射の組です。Span(C) と同様に、プッシュアウトを使ってCの余スパンの圏 CoSpan(C) を定義できます。
CoSpan(C)のなかでjointly epicな余スパンからなる部分圏をCoRel(C)とします。jointly epicな余スパンとは、(A→X←B) の左右の余足（足の双対概念）をf, gとして、デカルト余ペアリング [f, g]:A+B→X がエピである余スパンのことです。
余関係とはなに？
CoRelは、機械的にRelの双対を取っただけの構成法です。圏Cに対するCoRel(C)の射とは、具体的には何なのでしょうか？ CoRel(Set) の場合に考えてみます。
p:A+B→X がエピ、つまり全射だとすると、A+B 上に同値関係があって、Xはその商集合だと考えることができます。つまり、jointly epicな余スパン (A→X←B) とは、直和集合 A+B 上の同値関係です。p:A+B→X はその射影です。
p:A+B→X が定義する A+B 上の同値関係を〜p、q:B+C→Y が定義する B+C 上の同値関係を〜q とすると、A+C 上の同値関係 x 〜r y を次の関係から生成される最小の同値関係と定義します。
- x 〜p y
- x 〜q y
- x 〜r y ⇔ (x 〜p t かつ t 〜q y となる t∈B がある)
こうして定義した同値関係〜rに対応する射影 r:A+C→Z が、プッシュアウトから作った結合余スパンになっていることも確認できます。
圏論の双対性なしで、いきなり余関係を構成することは難しいと思います。矢印をひっくり返す機械的な双対性を使えば、何も考えなくても関係の双対＝余関係に行き着きます。余関係概念が役立つかどうかはよく分かりませんが、圏論の矢印ひっくり返しが、双対を扱うための強力なマシナリーなのは確かです。
