昨日の記事「半群の上の畳み込み積」の最後で、部分的な積が定義された半群の例を出しました。その部分的な積は、適当な集合Xに対して次のように定義されます。
x, y∈X に対して：
- x = y のとき、x・y = x
- x ≠ y のとき、x・y は未定義
ほんとにバカみたいに簡単です。未定義のときは、x・y = ⊥ と定義しなおすと、X' = X + {⊥} の上の全域的結合的二項演算になります。
いま定義したX'上の“積”は、集合Xにボトムを加えた順序集合上のミート演算になっています。X'上の順序は、⊥ ≦ x で、それ以外の順序関係はない（みんな平等）としたものです。
「ボトムを加える」という操作は、計算科学では頻繁に使います。出来上がった構造は、ミート半束や束（トップも加えたとき）となります。そのテの構造のなかで最も簡単なものが、X'のような平坦ミート半束です。
平坦束や平坦ミート半束については次の記事に説明があります。
次の記事にも、けっこう平坦束の説明が含まれます。
平坦ミート半束は、あまりにも単純なので、半群やモノイドであることに気付かないことがあります。気付いても、プア過ぎて無意味だろう、と無視しちゃったりします。
同じように、あまりにも単純すぎて見過ごされる“積”に、左自明積と右自明積があります。
- x・y = x （左自明積）
- x・y = y （右自明積）
これらは、破壊的代入と単一代入を表現する演算になっています（次の記事を参照）。
リーマン予想へのアタックのためのベースキャンプとして期待されているエフイチ（一元体）にしても、可換モノイドとしての定義は次のとおりです。
| × | 0 | 1 |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 |
こんな簡単な代数系のどこに深遠な謎や革命的ブレークスルーが潜んでいるのか？ 僕は納得出来ないままです。「不思議だがホントウだ」としか言いようが無いですねぇ。
難しくて複雑だから構造が認識できない、ってこともあるでしょうが、あまりに簡単すぎて見すごくこともあります。エフイチはひょっとすると、千年単位の歴史のなかで起きた壮大な見すごしだったのかも知れません。そこまで大げさなことは言わなくても、簡単さ/単純さゆえに現象の法則性を認識できてないことはありそうです。
