Cが2次元の圏であって、対象、射、2-射(2-セル)を持っているとします。このとき、2-射を忘れて対象と射だけを考えることに何の問題もありません。Cを通常の(1次元の)圏とみなせます。
では、対象を忘れて射と2-射だけを考えたいときはどうでしょう。射の集合と2-射の集合を単純に取り出しただけでは圏にはなりません。次元が低い構成素を削り落とすには何らかの工夫が必要です。
そんな工夫のひとつとして、高次圏の台となる構造(下部構造)を、高次の箙〈えびら〉を使って表現してみます。高次の箙は、高次圏(higher category, n-category)を記述する便利な言葉を提供します。
内容:
反射的箙
箙(quiver)とは、「多重辺と自己ループ辺を許す有向グラフ」という長ったらしい名前に対する別名です。(この言葉を使うことにした動機は「形容詞「複」「多」と箙〈えびら〉」参照。)
箙をQとして、頂点の集合を|Q|0, アロー(有向辺)の集合を|Q|1とします。s, t:|Q|1→|Q|0 を写像として、Q = (|Q|0, |Q|1, s, t) が箙です。満たすべき公理(条件)は特にありません。
上記の(|Q|0, |Q|1, s, t)に加えて、写像 i:|Q|0→|Q|1 があって次を満たすとき、(|Q|0, |Q|1, s, t, i)を反射的箙(reflexive quiver)と呼びます。
- i;s = id|Q|0
- i;t = id|Q|0
反射的箙は、圏から結合(composition)を除いた構造になります。a∈|Q|0に対するi(a)は恒等射に相当します。「反射的」の由来は、同値関係などの反射律に多少似てるからですが、言葉を気にする必要はありません。
圏の場合と同様に、a, b∈|Q|0に対するアローセットをQ(a, b)と書きます。f∈Q(a, b) を f:a→b in Q とも書きます。
反射的箙の別な定式化
Aを集合として、構造(A, ‖, ◁, E)を考えます。ここで、
‖は共端関係*1、◁は隣接関係と呼びます。f‖g は「fとgは共端」、f◁gは「fはgに(この順で)隣接している」と読みます。
次の公理を仮定します。
- ‖はA上の同値関係
- f‖f', g‖g', f◁g ならば、f'◁g'
- x∈E ならば、x◁x (自分と隣接している)
- x, y∈E, x‖y ならば、 x = y
- 任意のfに対して、x◁f となる x∈E がある。
- 任意のfに対して、f◁y となる y∈E がある。
これは、反射的箙の別定義になります。
与えられた(A, ‖, ◁, E)に対して、(|Q|0, |Q|1, s, t, i)を次のように定義します。
- |Q|0 := E
- |Q|1 := A
- s(f) := εx.(x◁f かつ x∈E)
- t(f) := εx.(f◁y かつ y∈E)
- i:|Q|0→|Q|1は、E⊆A の包含埋め込み。
s, tの定義に使っている εx.(…) は、「…であるようなx」と読みます。詳しくは「イプシロン計算ってなんですかぁ? こんなもんですよぉ」を見てください。sとtが写像としてwell-definedなことは、公理からすぐ出ます。i;s = id, i;t = id も定義から出ます。
(|Q|0, |Q|1, s, t, i)から(A, ‖, ◁, E)を作るには、
- A := |Q|1
- f‖g :⇔ s(f) = s(g) かつ t(f) = t(g)
- f◁g :⇔ t(f) = s(g)
- E := i(|Q|0) (iによる像集合)。
(A, ‖, ◁, E)に関する公理も簡単に確認できます。
半反射的箙と概反射的箙
反射的箙と同じ構造 (A, ‖, ◁, E) で、公理を弱めたものを考えます。
- ‖はA上の同値関係
- f‖f', g‖g', f◁g ならば、f'◁g'
- x∈E ならば、x◁x (自分と隣接している)
- x, y∈E, x‖y ならば、 x = y
アローfの両端にEに属する自己隣接アローが決まることを要求していません。圏で言えば、恒等射の存在を要求しないことに相当します。弱めた公理を満たす構造を半反射的箙(semi-reflexive quiver)と呼ぶことにします。半反射的箙では、Eが空になることも許されます。
(A, ‖, ◁, E)が反射的箙なら、もちろんこれは半反射的箙でもあります。Aを任意の集合として、Aに対して、(A, ‖, ◁, E) を次のように定義すると半反射的箙になります。
- a, b∈A なら、a, bが何でも a‖b
- どんな a, b∈A でも、 a◁b とはならない。
- Eは空集合
さて、これから n≧0 に対してn-概反射的箙(n-almost reflexive quiver)というものを定義します。n-概反射的箙は、次の構成素を持ちます。
- 0≦ j ≦n に対して集合 |Q|j
- |Q|j上の半反射的箙構造 (|Q|j, ‖j, ◁j, Ej)。
- 0≦ j ≦(n - 1) に対して写像 sj, tj:|Q|j+1→|Q|j
- 0≦ j ≦(n - 1) に対して写像 ij:|Q|j→|Q|j+1
sj, tj, ijは次の関係を満たします。
- sj;tj-1 = tj;tj-1
- tj;sj-1 = sj;sj-1
- ij;sj = id
- ij;tj = id
さらに次も満たすとします。
- j≧1 ならば、(|Q|j, ‖j, ◁j, Ej) は反射的箙であり、sj-1, tj-1, ij-1 によって作られる反射的箙構造と同じである。
最後の条件を詳しく言うと:
- f‖jg ⇔ sj-1(f) = sj-1(f) かつ tj-1(f) = tj-1(f)
- f◁jg ⇔ tj-1(f) = sj-1(g)
- Ej = ij-1(|Q|j-1)
(|Q|0, ‖0, ◁0, E0) だけが例外的で、反射的箙であることは保証されません。
今までの定義内で出てきた上限値nがなくて、任意のj≧0に対して上記の構造が定義されているときは、∞-概反射的箙と呼びます。
[追記]n-概反射的箙Qの0次元部分である|Q|0上に半反射的箙構造(|Q|0, ‖0, ◁0, E0) を要求してますが、実際に必要なのは共端関係だけです。したがって、半反射的箙構造を同値関係だけに弱めても、応用上は差し障りがないかも知れません。
[/追記]
高次圏と高次箙
Cをn-圏とします。n-圏の定義は色々ありますが、とりあえず次のことを仮定します。
- 0≦ k ≦n に対して、Cのk-射(k-セル、k-アロー)の集合が決まっている。Cのk-射の集合を|C|kとする。特に、|C| = |C|0。
- a∈|C|k(0< k ≦n)なら、dom(a), cod(a)∈|C|k-1 である。
- a∈|C|k(0≦ k <n)なら、ida∈|C|k+1 である。
これは、n-圏Cがn-概反射的箙を決めることを示しています。あるいは、n-圏の台構造がn-概反射的箙であるとも言えます。
n-圏Cが決めるn-概反射的箙をもう少しハッキリと記述しておきましょう; |C|k上で定義されたdom, codは dom(k-1), dom(k-1):|C|k→|C|k-1 と書くことにします。下付き添字の番号が(k - 1)である点に注意してください。|C|k上で定義されたidは、id(k):|C|k→|C|k+1 とします。
s, t, iの代わりにdom, cod, idを使うので、今後は文字iを番号に使うことを許します。
念のために、dom, cod, idが満たす等式を再度書いておくと:
- dom(i);cod(i-1) = cod(i);cod(i-1)
- cod(i);dom(i-1) = dom(i);dom(i-1)
- id(i);dom(i) = Id|C|i
- id(i);cod(i) = Id|C|i
ここで、id(i)は箙の構造を定義する写像で、Id|C|iは“i-射の集合|C|i”の上の恒等写像です。
n-圏Cの対象の集合|C|0は単なる集合なので、(|C|0, ‖0, ◁0, E0) は自明な方法で定義しておきます。つまり、
- A, B∈|C|0 ならば、A‖B。
- A, B∈|C|0 ならば、A◁B ではない。
0< i ≦n に対する(|C|i, ‖i, ◁i, Ei) は、dom, cod, idから自動的に決まります。
n-圏Cから決まるn-概反射的箙も同じ記号Cで表します。n-概反射的箙Cは、k-射の集合(k = 0, 1, ..., n)と、3×n個の写像から構成されます。
n-概反射的箙Cに対して、その1-シフトは、|C|0を捨てて、番号を付け直した(n - 1)-概反射的箙です。Cの1-シフトをC[1]と書いて、シフトしたdom, cod, idは、dom[1], cod[1], id[1]とします。
- 0≦ i ≦ (n -1) に対して、(C[1])i = Ci+1
- 0≦ i ≦ (n -1) に対して、(dom[1])(i) = dom(i+1)、(cod[1])(i) = cod(i+1)、(id[1])i = id(i+1)。
この定義で、C[1]はn-概反射的箙になります。|C[1]|0 = |C|1上の(‖, ◁, E)構造は反射的箙になりますが、反射的箙は半反射的箙なので問題ありません。
Cがn-概反射的箙のとき、0≦ k ≦n に対してk-シフトを次のように定義できます。
- C[0] := C
- C[k] := (C[k-1])[1]
C[k]は(n - k)-概反射的箙になります。C[k]が、Cのk次元未満のセルを捨てた構造です。
共端対とホム箙
通常の圏Dにおいて、A, B∈|D| に対するホムセットD(A, B)は大変に便利な概念です。高次圏に対してもホムセットを定義しましょう。
Cはn-圏だとして、対応するn-概反射的箙も同じCで表します。0≦ k <n として、a, b∈|C|k とします。同じ次元(k)の射は共端かどうかを判定できます。a‖kbのとき、(a, b)をk-共端対と呼びます。
- k = 0 のときは、a‖0b は|C|0上の関係として決まる。
- k > 0 のときは、a‖kb は dom(k-1)(a) = dom(k-1)(b) かつ cod(k-1)(a) = cod(k-1)(b) のこと。
a, bがk-共端対のとき、C(a, b)を定義できます。C(a, b)は、(n - k - 1)-概反射的箙になるので、aからbへのホム箙と呼びます。C(a, b)は高次箙なので、(n - k)個の集合 |C(a, b)|0, ..., |C(a, b)|n-k-1 と各次元のdom, cod, idで構成されます。これらの構成素を定義していきます。
準備として、X⊆|C|j(0≦ j <n)に対して X#⊆|C|j+1 を定義します。
- X# = {a∈|C|j+1 | dom(j)(a)∈X かつ cod(j)(a)∈X }
(X#)# = X## = X#2, ((X#)#)# = X### = X#3 のようにも書きます。
さて、C(a, b)の定義です。C(a, b)に付随するdom, cod, idをdom', cod', id' とします(これ以上の添字は煩雑なので)。
- |C(a, b)|0 = {x∈|C|j+1 | dom(j)(x) = a かつ cod(j)(x) = b}
- |C(a, b)|i := (|C(a, b)|0)#i
- dom'(i) := (dom(k+i)の|C(a, b)|i+1への制限), cod'(i) := (cod(k+i)の|C(a, b)|i+1への制限), id'(i) := (id(k+i)の|C(a, b)|iへの制限)。
以上により、C(a, b)は、(n - k - 1)-概反射的箙になります。
実例:小さい圏の圏
n = 2, C = Cat の場合を考えてみます。
- |Cat|0 = (すべての(小さい)圏の集合)
- |Cat|1 = (すべての関手の集合)
- |Cat|2 = (すべての自然変換の集合)
- dom(0), cod(0), id(0) は、関手のdom, cod, id
- dom(1), cod(1), id(1) は、自然変換のdom, cod, id
ホム箙は二種類考えることができます。A‖0B に対するCat(A, B)と、F‖1G に対するCat(F, G)です。
A, B を小さい圏として、(2 - 0 - 1)-概反射的箙Cat(A, B)を定義しましょう; A‖0B は無条件に成立するので、1-概反射的箙Cat(A, B)を定義できます。
- |Cat(A, B)|0 = {F∈|Cat|1 | dom(0)(F) = A かつ cod(0)(F) = B}
- |Cat(A, B)|1 = (|Cat(A, B)|0)# = {α∈|Cat|2 | dom(1)(α), cod(1)(α)∈|Cat(A, B)|0 }
F, G を関手として、(2 - 1 - 1)-概反射的箙Cat(F, F)を定義しましょう; F‖1G ならば、0-概反射的箙Cat(F, G)を定義できます。
- |Cat(F, G)|0 = {α∈|Cat|2 | dom(1)(α) = F かつ cod(1)(α) = G}
2種のホム箙の対象集合(0-射の集合)を簡略化した記法で書けば:
- |Cat(A, B)|0 = Functor(A, B)
- |Cat(F, G)|0 = NatTran(F, G)
まとめと展望
球体(globe)ベースで定義されたn-圏(高次圏)から結合演算を取り除いてしまうと、n-概反射的箙になります。逆に言うと、n-概反射的箙は、n-圏を定義するための土台となる構造です。
n-概反射的箙では、k-シフトにより低次元のセルを捨てることと、任意の共端対に対するホム箙を取り出すことが出来ます。シフトの結果もホム箙も再び概反射的箙になります。したがって、シフトとホム箙抽出の操作は、組み合わせたり繰り返したりできます。
n-概反射的箙のあいだの準同型射を定義すれば、n-概反射的箙の圏n-AReQを構成できます。k-シフトは、(-)[k]:n-AReQ→(n-k-1)-AReQ という関手となります。また、n-概反射的箙を∞-概反射的箙に拡張する関手 n-AReQ→∞-AReQ も定義できます。
n-概反射的箙の概念に基いて、n-圏(高次圏)に関する記述法をもう少し整理できるんじゃないか、と考えています。
*1:英語ではparallel(平行)ですが、共端のほうが意味が伝わると思います。