大域米田の補題

通常、米田の補題と呼ばれている定理は局所的〈local〉、あるいは点ごと〈point-wise〉の主張です。もっと広範囲・大規模な構造に関する主張も言えます。その広範囲・大規模な主張を、ここでは大域米田の補題〈global Yoneda lemma〉と呼んでおきましょう。

大域米田の補題を述べる諸々の準備をして、その主張を記述します。$`\newcommand{\cat}[1]{\mathcal{#1}}
%\newcommand{\Imp}{ \Rightarrow }
\newcommand{\For}{\text{For }}
\newcommand{\In}{ \text{ in } }
\newcommand{\On}{ \text{ on } }
\newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}}
\newcommand{\id}{\mathrm{id}}
\newcommand{\hyp}{\text{－}}
\newcommand{\Iff}{\Leftrightarrow}
\newcommand{\op}{\mathrm{op}}
`$

内容：

米田関連の記法
評価二項関手
前層の圏のホムセット
反変・共変に関する注意
大域米田の補題

米田関連の記法

昨日の記事の最初の節も、同じタイトル「米田関連の記法」でした。過去記事でも何度か書いていることですが、過去記事を参照せずに済むように再度書いておきます。完全な繰り返しではない点もありますしね。

米田埋め込みは“米田の「よ」”を使います。共変バージョン（余米田埋め込み）には右肩に $`\vee`$ を付けて区別します。

ハイフン記法	「よ」記法	「h」記法
$`\cat{C}(\hyp, B)`$	$`{^\cat{C}よ}^B`$	$`h_B`$
$`\cat{C}(A, \hyp)`$	$`{^\cat{C}よ}^\vee_A`$	$`h^A`$

米田の補題の同型を与える米田写像〈Yoneda map〉は太字のyで書きます。「よ」記法と同様に、共変バージョンには右肩に $`\vee`$ を付けて区別します。

$`{\bf y}: \mrm{Nat}(よ^B, G) \to G(B) \In {\bf Set}`$
$`{\bf y}^\vee: \mrm{Nat}(よ^\vee_A, F) \to F(A) \In {\bf Set}`$

逆写像には明示的に右肩に $`{-1}`$ を付けます。

$`{\bf y}^{-1}: G(B) \to \mrm{Nat}(よ^B, G) \In {\bf Set}`$
$`{{\bf y}^\vee}^{-1}: F(A) \to \mrm{Nat}(よ^\vee_A, F) \In {\bf Set}`$

ベースになっている圏を明示したいなら、$`{\bf y}`$ の左肩にも $`\cat{C}`$ を乗せます。また、$`{\bf y}`$ に関与している対象と関手も明示したいときは、ブラケットに入れて渡すことにします。

関連する情報を、上下左右添字・ブラケットのパラメーターとして明示的に表示して米田の補題を書いてみます。$`\cat{C}^\wedge`$ は前層の圏、$`\cat{C}^\vee`$ は余前層の圏です。

$`\For B\in |\cat{C}|,\; G:\cat{C}^\op \to {\bf Set} \In {\bf CAT}\\
{^\cat{C}{\bf y}}[B, G], {^\cat{C}{\bf y}}[B, G]^{-1} \text{ are mutually-inverse maps}\\
\quad {^\cat{C}{\bf y}}[B, G]: \cat{C}^\wedge({^\cat{C}よ}^B, G) \to G(B) \In {\bf Set}\\
\quad {^\cat{C}{\bf y}}[B, G]^{-1}: G(B) \to \cat{C}^\wedge({^\cat{C}よ}^B, G) \In {\bf Set}\\
\:\\
\For A\in |\cat{C}|,\; F:\cat{C} \to {\bf Set} \In {\bf CAT}\\
{^\cat{C}{\bf y}^\vee}[A, F], {^\cat{C}{\bf y}^\vee}[A, F]^{-1} \text{ are mutually-inverse maps}\\
\quad {^\cat{C}{\bf y}^\vee}[A, F]: \cat{C}^\vee({^\cat{C} よ^\vee_A}, F) \to F(A) \In {\bf Set}\\
\quad {^\cat{C}{\bf y}^\vee}[A, F]^{-1}: F(A) \to \cat{C}^\vee({^\cat{C}よ^\vee_A}, F) \In {\bf Set}
`$

上下左右添字・ブラケットのパラメーターは適宜省略します。例えば、米田写像を一番スリムな形で書けば $`{\bf y}`$ です。それでも、逆米田写像 $`{\bf y}^{-1}`$ 、余米田写像 $`{\bf y}^\vee`$ 、逆余米田写像 $`{{\bf y}^\vee}^{-1}`$ とは区別します。

口頭では口癖のように繰り返し言っていることですが、関数・関手・自然変換などへの引数渡しの構文は色々あります。例えば：

$`\varphi(X)`$
$`\varphi_X`$
$`\varphi^X`$
$`\varphi[X]`$
$`X.\varphi`$
$`{^X \varphi}`$

構文は習慣と好みで恣意的に選択されるので、いちいち拘泥しないでチャッチャと解釈を切り替えることが重要です。

評価二項関手

集合と関数に関して、評価関数（高階関数）$`\mrm{ev}`$ があります。

$`\quad \mrm{ev}_{A, B} : [A, B]\times A \to B \In {\bf Set}`$

引数を右から渡すか左から渡すかを区別すると：

$`\quad \mrm{rev}_{A, B} : [A, B]\times A \to B \In {\bf Set}\\
\quad \mrm{lev}_{A, B} : A\times [A, B] \to B \In {\bf Set}
`$

同様に、圏と関手に関して、評価二項関手〈評価双関手 | evaluation bifunctor〉を考えることができます。

$`\quad \mrm{REv}_{\cat{C}, \cat{D}} : [\cat{C}, \cat{D}]\times\cat{C} \to \cat{D} \In {\bf CAT}\\
\quad \mrm{LEv}_{\cat{C}, \cat{D}} : \cat{C}\times [\cat{C}, \cat{D}] \to \cat{D} \In {\bf CAT}
`$

$`\mrm{REv}, \mrm{LEv}`$ が二項関手であるには、片一方の引数変数を固定して単項関手になるだけではなくて、交替律〈interchange law〉も必要です。$`\mrm{LEv}`$ に関して言えば：

$`\For f:A \to B, g:B \to C \In \cat{C}\\
\For \alpha:F \to G, \beta:G \to H \In [\cat{C}, \cat{D}]\\
\quad \mrm{LEv}(f;g, \alpha; \beta) = \mrm{LEv}(f, \alpha); \mrm{LEv}(g, \beta) \In \cat{D}
`$

引数を左から渡す適用〈application〉をドットで表すなら、交代律は次のように書けます。

$`\quad (f;g).(\alpha;\beta) = (f.\alpha); (g.\beta)`$

これは、$`\cat{C}\cong [{\bf 1}, \cat{C}]`$ と同一視して（イコールだとみなして）、適用＝評価と自然変換の横結合〈horizontal composition〉を同一視すれば、$`{\bf CAT}`$ の2-圏構造の法則に吸収されます。

特に、圏を $`\cat{C}^\op`$ として関手の余域を集合圏にすれば：

$`\quad \mrm{REv} : \cat{C}^\wedge\times \cat{C}^\op \to {\bf Set} \In {\bf CAT}\\
\quad \mrm{LEv} : \cat{C}^\op\times \cat{C}^\wedge \to {\bf Set} \In {\bf CAT}
`$

前層の圏のホムセット

圏 $`\cat{C}`$ の前層の圏は $`\cat{C}^\wedge = [\cat{C}^\op, {\bf Set}]`$ と書くのでした。前層の圏も圏なので、ホム関手（二項関手）があります。ホム関手の値（ホムセット）が通常の集合圏 $`{\bf Set}`$ に収まったほうが議論が単純・安全です。

圏 $`\cat{C}`$ が小さい圏なら、前層の圏 $`\cat{C}^\wedge`$ は（小さいとは限りませんが）局所小〈locally small〉にはなります。すべてのホムセットが小さいので、ホム関手の値は集合圏 $`{\bf Set}`$ に入ります。

$`\quad \cat{C}^\wedge(\hyp, \hyp) : {\cat{C}^\wedge}^\op \times \cat{C}^\wedge \to {\bf Set} \In {\bf CAT}`$

以下の議論は、すべてこの状況 -- ホムセットは小さい状況 -- を仮定します。

反変・共変に関する注意

反変・共変は、なかなかにややこしい問題で、ときに混乱します。「層化ストリング図 // 裏返し反変関手」で導入した裏返し反変関手〈reversing contravariant functor〉を使って説明します。

関手 $`F`$ が共変関手、$`G`$ が反変関手であることを次のように表すことにします。

$`\quad F:\cat{C} \to \cat{D} \text{ (covar)} \In {\bf CAT}\\
\quad G:\cat{C} \to \cat{D} \text{ (contravar)} \In {\bf CAT}
`$

裏返し反変関手をプレ結合、ポスト結合すると、関手の変性〈variance〉は次のように変わります。

$`\quad F:\cat{C} \to \cat{D} \text{ (covar)} \In {\bf CAT}\\
\quad \mrm{Rev}_\cat{C^\op} * F :\cat{C}^\op \to \cat{D} \text{ (contravar)} \In {\bf CAT}\\
\quad F* \mrm{Rev}_\cat{D^\op} :\cat{C} \to \cat{D}^\op \text{ (contravar)} \In {\bf CAT}\\
\quad \mrm{Rev}_\cat{C^\op} * F * \mrm{Rev}_\cat{D^\op} :\cat{C}^\op \to \cat{D}^\op \text{ (covar)} \In {\bf CAT}\\
\:\\
\quad G:\cat{C} \to \cat{D} \text{ (contravar)} \In {\bf CAT}\\
\quad \mrm{Rev}_\cat{C^\op} * G :\cat{C}^\op \to \cat{D} \text{ (covar)} \In {\bf CAT}\\
\quad G* \mrm{Rev}_\cat{D^\op} :\cat{C} \to \cat{D}^\op \text{ (covar)} \In {\bf CAT}\\
\quad \mrm{Rev}_\cat{C^\op} * G * \mrm{Rev}_\cat{D^\op} :\cat{C}^\op \to \cat{D}^\op \text{ (contravar)} \In {\bf CAT}
`$

前後を裏返し反変関手でサンドイッチすると、変性は元に戻ります。関手の機能も何も変わりません。よって、関手とそれを裏返し反変関手でサンドイッチした関手は、内容的に区別する必要がないのですが、形は違うので区別したほうがいいときもあります。

ここだけの記法ですが、裏返し反変関手でサンドイッチすることを、チルダを乗せて表すことにします。

$`\quad F:\cat{C} \to \cat{D} \text{ (covar)} \In {\bf CAT}\\
\quad \widetilde{F} = \mrm{Rev}_\cat{C^\op} * F * \mrm{Rev}_\cat{D^\op} :\cat{C}^\op \to \cat{D}^\op \text{ (covar)} \In {\bf CAT}\\
\quad G:\cat{C} \to \cat{D} \text{ (contravar)} \In {\bf CAT}\\
\quad \widetilde{G} = \mrm{Rev}_\cat{C^\op} * G * \mrm{Rev}_\cat{D^\op} :\cat{C}^\op \to \cat{D}^\op \text{ (contravar)} \In {\bf CAT}
`$

例えば、余米田埋め込み $`よ^\vee`$ は、反対圏からの共変関手（気持ちは反変関手）として

$`\quad よ^\vee : \cat{C}^\op \to \cat{C}^\vee`$

と書かれます。域・余域ともに反対圏をとると、

$`\quad \widetilde{よ^\vee} : \cat{C} \to {\cat{C}^\vee}^\op`$

となります。

大域米田の補題〈global Yoneda lemma〉の内容は、対象と関手でインデックスされた米田写像の族 $`{\bf y}[\hyp, \hyp]`$ が、二項関手のあいだの自然変換になっている、ということです。

米田写像族〈family of Yoneda maps〉により結ばれる2つの二項関手は次です。

$`\quad \cat{C}^\wedge(\widetilde{よ}^\hyp, \hyp) : \cat{C}^\op \times \cat{C}^\wedge \to {\bf Set} \In {\bf CAT}\\
\quad \mrm{LEv}_{\cat{C}^\op, {\bf Set}} : \cat{C}^\op \times \cat{C}^\wedge \to {\bf Set} \In {\bf CAT}
`$

一番目は、反対圏バージョンの米田埋め込みと、前層のホム関手の組み合わせです。

$`\quad \cat{C}^\wedge(\widetilde{よ}^\hyp, \hyp) = (\widetilde{よ} \times \mrm{Id}_{\cat{C}^\wedge}) * \cat{C}^\wedge(\hyp, \hyp) : \cat{C}^\op \times \cat{C}^\wedge \to {\bf Set} \In {\bf CAT}
`$

この表示から、$`\cat{C}^\wedge(\widetilde{よ}^\hyp, \hyp)`$ が二項関手であることはわかります。

ニ番目は、先に導入した評価二項関手です。実際に二項関手であることは先に述べたとおりです。

米田写像族が、これら2つの二項関手を結ぶ自然変換〈2-射〉であることは次のように書けます。

$`\quad
{\bf y}[\hyp, \hyp] :: \cat{C}^\wedge(\widetilde{よ}^\hyp, \hyp) \Rightarrow \mrm{LEv}_{\cat{C}^\op, {\bf Set}} : \cat{C}^\op \times \cat{C}^\wedge \to {\bf Set} \In {\bf CAT}
`$

自然性〈naturality〉条件は、成分〈インデックス | パラメーター〉ごとの可換四角形になります。以下の $`f: A \to B \In \cat{C}^\op`$ は、$`f: B \to A \In \cat{C}`$ であることに注意してください。

$`\require{AMScd}
\For f: A \to B \In \cat{C}^\op,\; \alpha: F \to G \In \cat{C}^\wedge\\
\begin{CD}
\cat{C}^\wedge(\widetilde{よ}^A, F) @>{ {\bf y}[A, F] }>> \mrm{LEv}(A, F)\\
@V{\cat{C}^\wedge(\widetilde{よ}^f, \alpha)}VV @VV{\mrm{LEv}(f, \alpha) }V\\
\cat{C}^\wedge(\widetilde{よ}^B, G) @>{ {\bf y}[B, G] }>> \mrm{LEv}(B, F)
\end{CD}\\
\text{commutative in }{\bf Set}
`$

自然性の確認は愚直な計算を実行するだけです。特別なアイディアやトリックは不要です。とはいえ、テキストで計算していると何がなんだかワケワカメになることがあるので、絵算〈{pictorial | graphical} calculus〉を利用するのが得策でしょう。「米田の補題とストリング図」で述べた手法が使えます。評価二項関手の絵図のうえでの解釈とかも必要となるので、具体的な計算は別記事（なるべく近日中）にします。