「カーディナリティ〈多重度〉の“カラスの足”記法が分からない」において、関係のカーディナリティ〈多重度〉の説明が（僕が見た少数の事例では）曖昧・意味不明で困ったもんだ、という話をしました。
その後、ER diagrams vs. EER diagrams: What’s the difference? という解説記事に次の図を見つけました。$`\newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}}`$
Manyが実はAny〈任意〉なのだと解釈すれば、これらの記号は、関係〈非決定性関数〉 $`R:A \to B`$ に関する次の条件〈制約〉を表現すると思われます。
- One ： $`\forall x\in A.\, \mrm{card}(R(x)) = 1`$
- Many ： $`\forall x\in A.\, 0 \le \mrm{card}(R(x))`$ （無条件）
- One and only one ： $`\forall x\in A.\, \mrm{card}(R(x)) = 1`$
- Zero or one ： $`\forall x\in A.\, 0 \le \mrm{card}(R(x)) \le 1`$
- One or many ： $`\forall x\in A.\, 1 \le \mrm{card}(R(x))`$
- Zero or many ： $`\forall x\in A.\, 0 \le \mrm{card}(R(x))`$ （無条件）
この解釈（僕の憶測）だと：
- One と One and only one は同じこと。
- Many と Zero or many は同じこと。
- One or many は、One or more-than-one〈1 または 1 を超える多数〉 のこと。
- したがって、Many〈任意 無条件〉、Zero or one〈単葉〉、One or many〈全域〉、One〈一意的〉だけで十分。One and only one、Zero or many は不要。Many も無印で済むから必須ではない。
僕の憶測が間違っているなら、正しい定義が知りたい。
さて、The (Extended) Entity-Relationship Model というスライド（おそらく講義資料）では次の図を見つけました。
ひし形は関係〈関連〉を表します*1。二項関係だけではなくて多項関係を許しているようです。Meetsは、Course、Room、Dayのあいだの三項関係です。三項関係でもカーディナリティ制約を付けています。上の図のカーディナリティ記法は、許される最小値と最大値のペアなので分かりやすいです。書き方は分かりやすいけど、どう解釈するの？
おそらく（また憶測ですが）、三項関係を二項関係〈非決定性関数〉とみなしてからカーディナリティ制約を解釈するのでしょう。三項関係 $`\text{Meets}`$ から次の3つの二項関係〈非決定性関数〉を作ります。
$`\quad \text{Meets1} : \text{Room} \times \text{Day} \to \text{Course}\\
\quad \text{Meets2} : \text{Course}\times \text{Day} \to \text{Room} \\
\quad \text{Meets3} : \text{Course}\times \text{Room} \to \text{Day}
`$
カーディナリティ制約は次のようになります（たぶん）。N は任意の自然数なので制約はかかりません。
- $`\forall (r, d)\in \text{Room} \times \text{Day}.\, 3 \le \mrm{card}(\text{Meets1}( (r, d) ) ) \le 3 `$
- $`\forall (c, d)\in \text{Course} \times \text{Day}.\, 0 \le \mrm{card}(\text{Meets2}( (c, d) ) ) \le 40`$
- $`\forall (c, r)\in \text{Course} \times \text{Room}.\, 0 \le \mrm{card}(\text{Meets3}( (c, r) ) )`$ （無条件）
二項関係でもカーディナリティ制約の解釈が難しいのに、雰囲気的な説明だけで三項関係のカーディナリティ制約を解釈するのは無理があるのでは？ そもそも、三項以上の多項関係って要る？ 僕は要らないと思うけど。
同じスライド資料から別な図を挙げます。
これは、試験〈EXAM〉を、学生〈STUDENT〉と科目〈COURSE〉のあいだの関係〈関連〉と捉えています。その捉え方が疑問だけど、それはまーいいとして、試験〈EXAM〉に属性が付いていることに注目します。点数〈Mark〉と日付〈Date〉は試験〈EXAM〉という関係に対する属性です。
この例は、色々とモヤモヤするので、もっと単純な“関係に対する属性”の例を出すと； 人〈PERSON〉と人〈PERSON〉との関係として友人〈FRIEND〉であるという関係を考えます。友人関係にいつから〈Since〉という属性を付けます。「山田太郎と鈴木明は2013年以来の友人である」は次のように書けます。
$`\quad \text{FRIEND} \subseteq \text{PERSON}\times \text{PERSON}\\
\quad (\text{山田太郎}, \text{鈴木明}) \in \text{FRIEND} \:\text{Since } \mrm{Year}2013`$
関係に対する属性もあれば便利そうですが、ほんとうに要る？ 僕は要らないと思うけど。
“三項以上の多項関係”も“関係に対する属性”も要らないと書きました。「いや、要るだろう」という意見もあるでしょうし、「なんで要らないんだよ？」と疑問も感じるでしょう。ちゃんと説明しようとすると長くなるんで、その話はまたいずれ（って、いつになるかはわからん）。
*1:{Extended | Enhanced} Entity-Relationship Model ではひし形を使うことが多いようです。
