特別な圏

• 12年前の記事「可愛い圏」

集合に恒等射を追加して離散圏にできるし、順序集合の比較可能なペアを射とみなせばとてもやせた圏〈very thin category〉になります。逆に言えば、集合も順序集合も特別な圏です。一般の圏に条件を付けて絞り込むと特別な圏になります。

	離散的	やせている	無条件
単対象	単元集合	単元集合	モノイド
任意個の対象	集合	プレ順序集合	一般の圏

圏としてのプレ順序集合に、「同型な対象は等しい（骨格性〈skeletal〉条件）」または「同型射は恒等射に限る（ガリガリ〈gaunt〉条件）」を付けると順序集合になります。

プレ順序集合、モノイド、圏に、「すべての射が可逆である」という条件を付けてみましょう。

無条件	射の可逆性
プレ順序集合	亜集合〈setoid〉
モノイド	群
圏	亜群〈groupoid〉

亜集合〈セットイド〉は、同値関係を備えた集合です。同値なペアが射になります。

これらの構造（以下に再掲）は特別な圏であることに留意しておくと、役に立つこともありますよ。

1. 集合
2. プレ順序集合
3. モノイド
4. 順序集合
5. 亜集合〈セットイド〉
6. 群