関数はカリー化できて、それは便利な道具になります。同様に、関手をカリー化することができます。関手のカリー化は割とお馴染みかも知れません。それだけでなく、自然変換もカリー化することができます。$`\newcommand{\cat}[1]{\mathcal{#1}}
%\newcommand{\Imp}{ \Rightarrow }
\newcommand{\In}{ \text{ in } }
\newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}}
%\newcommand{\op}{\mathrm{op}}
%\newcommand{\id}{\mathrm{id}}
\newcommand{\hyp}{\text{－}}
\newcommand{\twoto}{\Rightarrow}
%\newcommand{\dimU}[2]{{#1}\!\updownarrow^{#2}}
%\newcommand{\Iff}{\Leftrightarrow}
\newcommand{\For}{\text{For } }
\newcommand{\lto}{\leftarrow }
`$
内容：
自然変換、成分、自然性
記法〈書き方〉ってのは習慣と好みの問題なので、なんだっていいっちゃナンダッテイイのだけど、広く採用されている習慣が、自分の好みとあわないときは不愉快で、精神衛生上よろしくないですね。自然変換の成分を $`\alpha_A`$ と書くの、あれはイヤッ！
普通に $`\alpha(A)`$ と書けば、関手と自然変換に同時に引数を渡すときに形が揃います。
$`\quad \alpha :: F \twoto G : \cat{C} \to \cat{D} \In {\bf CAT}\\
\For A \in |\cat{C}|\\
\quad \alpha(A) : F(A) \to G(A) \In \cat{D}
`$
もちろん、他の引数渡し形式を使ってもいいです（下の箇条書き）。
- $`\alpha[A]`$
- $`\alpha A`$
- $`A. \alpha`$
自然変換〈2-射〉と関手〈1-射〉への引数渡し形式を揃えたほうがいいだろう、が趣旨なので、次でもいいです。
$`\quad \alpha :: F \twoto G : \cat{C} \to \cat{D} \In {\bf CAT}\\
\For A \in |\cat{C}|\\
\quad \alpha_A : F_A \to G_A \In \cat{D}
`$
それと、$`\alpha(A)`$ だけじゃなくて、$`\alpha(f)`$ も使うと便利。ただし、$`\alpha(f)`$ の解釈はニ通りあるけど。
まず、圏（高次圏を含む）のk-射の集合を $`|\cat{C}|_k`$ と書くことにして、関手と自然変換の次元ごとの構成素（素材）を列挙してみます。（変換手〈transfor〉については、例えば「「モナド、双圏、変換手」への補遺」参照。「コンストラクタ系と変換手性 」にも関連する話題あり。）
関手 ＝ 1-射 ＝ 0-変換手 $`F`$
- $`F_0 : |\cat{C}|_0 \to |\cat{D}|_0`$ （関手の対象パート）
- $`F_1 : |\cat{C}|_1 \to |\cat{D}|_1`$ （関手の射パート）
自然変換 ＝ 2-射 ＝ 1-変換手 $`\alpha`$
- $`\alpha_0 : |\cat{C}|_0 \to |\cat{D}|_1`$ （自然変換の対象パート ＝ 成分）
- $`\alpha_1 : |\cat{C}|_1 \to |\cat{D}|_2`$ （自然変換の射パート）
自然変換の射パート〈morphism part〉って何よ？ となりますが、圏 $`\cat{C}`$ の1-射に圏 $`\cat{D}`$ の2-射を対応させます。2-射とは、1-射のあいだの等式、つまり自然性のことです。
$`\alpha :: F \twoto G : \cat{C} \to \cat{D} \In {\bf CAT}\\
\For f: A \to B \In \cat{C}\\
\quad \alpha_1(f) :: \alpha_0(A); G_1(f) \twoto F_1(f);\alpha_0(f):F_0(A) \to G_0(B) \In \cat{D}
`$
図式的に表現すれば：
$`\require{AMScd}
\quad \alpha \text{'s naturality for } f\\
\:\\
= \left(
\begin{CD}
F_0(A) @>{\alpha_0(A)}>> G_0(A)\\
@V{F_1(f)}VV @VV{G_1(f)}V\\
F_0(B) @>{\alpha_0(B)}>> G_0(B)\\
\end{CD}
\right) \text{'s commutativity }\\
\:\\
= \left( \alpha_0(A); G_1(f) \text{ and } F_1(f);\alpha_0(f):F_0(A) \right) \text{'s equality}
`$
任意の $`f\in |\cat{C}|_1`$ に対して、等式 $`\alpha_1(f) \in |\cat{D}|_2`$ が成立することから、可換四角形〈自然性〉の対角線である1-射が定義できます。それを次のように書きましょう。
$`\For f: A \to B \In \cat{C}\\
\quad \bar{\alpha}(f) := \alpha_0(A); G_1(f) : F_0(A) \to G_0(B) \In \cat{D}\\
\text{Or}\\
\quad \bar{\alpha}(f) := F_1(f);\alpha_0(f) : F_0(A) \to G_0(B) \In \cat{D}
`$
2つの定義のどちらでもいいことは、等式 $`\alpha_1(f)`$ で保証されます。
等式〈2-射〉 $`\alpha_1(f)`$ と1-射 $`\bar{\alpha}(f)`$ のどちらも $`\alpha(f)`$ と書いてしまってもいいでしょう。すると、$`\alpha`$ は次の意味でオーバーロードされます。
- $`A \mapsto (\alpha(A):F(A) \to G(A))`$ （0-射 → 1-射）
- $`f \mapsto (\alpha(f):: \alpha(A); G(f) \twoto F(f);\alpha(f))`$ （1-射 → 2-射）
- $`f \mapsto (\alpha(f): F(A) \to G(B) )`$ （1-射 → 1-射）
三番目の用法は、ストリング図において次の形で多用されます。（例えば、「絵算をはじめた人への注意」参照。）
$`\quad
\xymatrix{
A \ar@{-}[d]
& F \ar@{-}[d]
\\
(f) \ar[d]
& (\alpha) \ar[d]
\\
B & G
}\\
f.\alpha : A.F \to B.G
`$
ストリング図内で、エレベーター法則でノードを上下スライドさせてもいいことは、等式（ストリング図書き換え）としての $`f.\alpha`$ で表現されます。
関手のカリー化
関手のカリー化は、関数のカリー化と同じことで、二項関手〈双関手〉を関手値関手に変換することです。左カリー化と右カリー化を区別しましょう。それにともない、左指数と右指数も区別します。
- 左指数： $`[\cat{C}, \cat{E}] = [\cat{C} \to \cat{E}] = {^\cat{C} \cat{E}}`$
- 右指数： $`[\cat{E} \lto \cat{D}] = \cat{E}^\cat{D}`$
左カリー化を $`{^\cap \hyp}`$ 、右カリー化を $`{\hyp^\cap }`$ で表します（象形文字記法）。
$`\quad F: \cat{C}\times \cat{D} \to \cat{E} \In {\bf CAT}\\
\quad {^\cap F}: \cat{D} \to [\cat{C} \to \cat{E}] = {^\cat{C}\cat{E}}\In {\bf CAT}\\
\quad { F^\cap}: \cat{C} \to [\cat{E} \lto \cat{D} ] = \cat{E}^\cat{D} \In {\bf CAT}
`$
左カリー化した関手への引数渡しは上付き添字、右カリー化した関手への引数渡しは下付き添字とします。
$`\For X, Y\in |\cat{D}|\\
\quad (^\cap F)^X, (^\cap F)^Y \in |[\cat{C} \to \cat{E}]|\\
\For g: X \to Y \in |\cat{D}|\\
\quad (^\cap F)^g : (^\cap F)^X \to (^\cap F)^Y \In [\cat{C} \to \cat{E}]\\
\:\\
\For A, B\in |\cat{C}|\\
\quad ( F^\cap)_A, ( F^\cap)_B \in |[\cat{E} \lto \cat{D} ]|\\
\For f: A \to B \in |\cat{C}|\\
\quad ( F^\cap)_f : ( F^\cap)_A \to ( F^\cap)_B \In [\cat{E} \lto \cat{D} ]
`$
通常、「上付き添字引数なら左カリー化、下付き添字引数なら右カリー化」の規則から、カリー化記号 $`{^\cap}`$ は不要と考えて、次のオーバーロードをします。
$`\quad ({^\cap F})^\hyp = F^\hyp\\
\quad ({ F^\cap})_\hyp = F_\hyp
`$
カリー化／反カリー化しても事実上同じなので、このオーバーロードは許容されると思いますが、混乱を避けるために律儀にカリー化記号 $`{^\cap}`$ を付けることにします。
カリー化した関手に対象を渡すと関手ですが、射を渡すと自然変換（関手圏の射）になります。
$`\quad (^\cap F)^g :: (^\cap F)^X \twoto (^\cap F)^Y : \cat{C} \to \cat{E} \In {\bf CAT}\\
\quad ( F^\cap)_f :: ( F^\cap)_A \twoto ( F^\cap)_B : \cat{D} \to \cat{E} \In {\bf CAT}
`$
これらの自然変換に引数を渡すとき、関手と引数渡し形式を揃えたほうがわかりやすいだろう、と思います（前節の主張）。
$`\For g:X \to Y \In \cat{D}\\
\For A\in |\cat{C}|\\
\quad (^\cap F)^g(A) : (^\cap F)^X(A) \to (^\cap F)^Y(A) \In \cat{E}\\
\:\\
\For f:A\to B\In \cat{C}\\
\For X \in |\cat{D}|\\
\quad ( F^\cap)_f(X) : ( F^\cap)_A(X) \to ( F^\cap)_B(X) \In \cat{E}
`$
カリー化した関手に“二回に分けて引数を渡す”ことは、もとの関手に“一度に二引数を渡す”のと同じですから：
$`\quad (^\cap F)^g(A) = F(A, g) : F(A, X) \to F(A, Y) \In \cat{E}\\
\quad ( F^\cap)_f(X) = F(f, X) : F(A, X) \to F(B, X) \In \cat{E}
`$
無名ラムダ変数 '$`\hyp`$' を使って言えば：
- $`F(\hyp, X) = (^\cap F)^X(\hyp) = (^\cap F)^X`$ は関手（関手圏の対象）になる。
- $`F(\hyp, g) = (^\cap F)^g(\hyp) = (^\cap F)^g`$ は自然変換（関手圏の射）になる。
右カリー化 $`F^\cap`$ でも同じことです。
自然変換のカリー化
関手のカリー同型は次の形に書けます。
$`\quad {\bf CAT}(\cat{C}\times \cat{D}, \cat{E}) \cong {\bf CAT}(\cat{D}, [\cat{C} \to \cat{E}] ) \In {\bf CAT}\\
\quad {\bf CAT}(\cat{C}\times \cat{D}, \cat{E}) \cong {\bf CAT}(\cat{C}, [\cat{E} \lto \cat{D} ] )\In {\bf CAT}
`$
$`\cong`$ は一般には圏同値ですが、この場合は圏同型と思っていいでしょう。
2-圏 $`{\bf CAT}`$ の指数〈内部ホム〉を使って内部化すると、カリー同型は次の形になります。
$`\quad [\cat{C}\times \cat{D}, \cat{E}] \cong [\cat{D}, [\cat{C} \to \cat{E}] ] \In {\bf CAT}\\
\quad [\cat{C}\times \cat{D}, \cat{E} ] \cong [\cat{C}, [\cat{E} \lto \cat{D} ] ] \In {\bf CAT}
`$
いずれにしても、カリー同型で結ばれる左右は、集合ではなくて圏です。したがって、カリー化関手のホムパート（ホムセットごとの写像）として、次のような写像が存在します。以下で、自然変換の集合 $`\mrm{Nat}(\hyp, \hyp)`$ は小さい状況を考えています。
$`\quad \mrm{LCurry}_{F, G}: \mrm{Nat}(F, G) \to \mrm{Nat}(\mrm{LCurry}(F), \mrm{LCurry}(G)) \In {\bf Set}\\
\quad \mrm{RCurry}_{F, G}: \mrm{Nat}(F, G) \to \mrm{Nat}(\mrm{RCurry}(F), \mrm{RCurry}(G)) \In {\bf Set}
`$
カリー化関手ホムパート写像に引数を渡すと：
$`\For \alpha :: F \twoto G : \cat{C}\times \cat{D} \to \cat{E} \In {\bf CAT}\\
\quad \mrm{LCurry}_{F, G}(\alpha) \in \mrm{Nat}({^\cap F}, {^\cap G}) \\
\quad \mrm{RCurry}_{F, G}(\alpha) \in \mrm{Nat}(F^\cap, G^\cap)
`$
自然変換のカリー化にもカリー化記号 $`{^\cap}`$ を使って短く書くと：
$`\For \alpha :: F \twoto G : \cat{C}\times \cat{D} \to \cat{E} \In {\bf CAT}\\
\quad {^\cap \alpha} :: {^\cap F} \twoto {^\cap G} : \cat{D} \to [\cat{C}\to\cat{E}]\In {\bf CAT}\\
\quad \alpha^\cap :: F^\cap \twoto G^\cap : \cat{C} \to [\cat{E}\lto \cat{D}] \In {\bf CAT}
`$
あるいは、関手圏を使って書けば：
$`\For \alpha : F \to G \In [\cat{C}\times \cat{D}, \cat{E}]\\
\quad {^\cap \alpha} : {^\cap F} \to {^\cap G} \In [\cat{D}, [\cat{C} \to \cat{E} ] ]\\
\quad \alpha^\cap : F^\cap \to G^\cap \In [\cat{C} , [ \cat{E} \lto \cat{C}] ]
`$
“二回に分けて引数を渡し”ましょう。
$`{^\cap \alpha} : {^\cap F} \to {^\cap G} \In [\cat{D}, [\cat{C} \to \cat{E} ] ]\\
\For X \in |\cat{D}|\\
\quad {^\cap \alpha}^X : {^\cap F}^X \to {^\cap G}^X \In [\cat{C} \to \cat{E}]\\
\For A \in |\cat{C}|\\
\quad {^\cap \alpha}^X(A) : {^\cap F}^X(A) \to {^\cap G}^X(A) \In \cat{E}
`$
もとの自然変換・関手に“一度に二引数を渡す”のと同じですから：
$`\quad {^\cap \alpha}^X(A) = \alpha(A, X) : F(A, X) \to G(A, X) \In \cat{E}`$
これは、「対象、次に対象」の順で引数を渡しましたが、「射、次に対象」「対象、次に射」「射、次に射」でも同じように計算できます。引数を渡し切れば、次の形が出てきます。
- $`\alpha(A, X) : F(A, X) \to G(A, X) \In \cat{E}`$
- $`\alpha(A, g) : F(A, g) \to G(A, g) \In \cat{E}`$
- $`\alpha(f, X) : F(f, X) \to G(f, X) \In \cat{E}`$
- $`\alpha(f, g) : F(f, g) \to G(f, g) \In \cat{E}`$
「引数をどう渡そうが、結局は同じ」ことが、カリー同型の本質ですが、それは関手・自然変換のカリー化の場合も同様で、様々な引数渡しが同じ結果となります。
