大域米田の補題を使った計算練習をしてみます。$`\newcommand{\cat}[1]{\mathcal{#1}}
%\newcommand{\Imp}{ \Rightarrow }
\newcommand{\In}{ \text{ in } }
\newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}}
\newcommand{\op}{\mathrm{op}}
\newcommand{\id}{\mathrm{id}}
\newcommand{\hyp}{\text{－}}
%\newcommand{\hypp}{ \;\style{display: inline-block; transform: rotate(90deg)}{\|}\; }
\newcommand{\bs}[1]{\boldsymbol{#1} }
\newcommand{\twoto}{\Rightarrow}
%\newcommand{\Iff}{\Leftrightarrow}
\newcommand{\For}{\text{For } }
%\newcommand{\Where}{\text{Where } }
\newcommand{\YY}{\mathscr{Y} }
`$
内容：
記法の約束と米田の補題
色々なモノが出てくるので、文字種・フォントでモノの種類を区別することにします。（と、最初に決めたけど、意外と使わなかった文字種・フォントもあります。）
$`\cat{C}`$ は小さい圏として、その対象・射は $`a, b, f`$ などのラテン文字小文字で表します。$`\cat{C}^\wedge`$ は、圏 $`\cat{C}`$ 上の前層の圏とします。
$`\quad \cat{C}^\wedge := [\cat{C}^\op, {\bf Set}] = {\bf CAT}(\cat{C}^\op, {\bf Set})`$
$`\cat{C}^\wedge`$ の対象（前層）は $`F, G`$ などラテン文字大文字、前層のあいだの射（自然変換）は $`\alpha, \beta`$ などギリシャ文字小文字で表します。
$`\cat{E}`$ は $`\cat{C}^\wedge`$ の別名として使います。“前層の圏”上の余前層の圏 $`\cat{E}^\vee`$ の対象は $`\Phi, \Psi`$ などギリシャ文字大文字、射（自然変換）は $`\bs{\xi}, \bs{\eta}`$ などギリシャ文字小文字ボールド体で表します。
$`\quad \cat{E}^\vee := [\cat{E}, {\bf Set}] = [ [\cat{C}^\op, {\bf Set}], {\bf Set}]`$
「大域米田の補題」で出した大域米田の補題は次の形でした。
$`\quad
{\bf y}[\hyp, \hyp] :: \cat{C}^\wedge(\widetilde{よ}^\hyp, \hyp) \overset{\cong}{\twoto} \mrm{LEv}_{\cat{C}^\op, {\bf Set}} : \cat{C}^\op \times \cat{C}^\wedge \to {\bf Set} \In {\bf CAT}
`$
$`\widetilde{よ} = \,{^\mrm{rev}よ^\mrm{rev}}`$ （「反対圏／反変関手と、2-圏のストリング図 // 反変関手」参照）と $`よ`$ は同一視することにして、いちいちチルダを乗せるのはやめます。また、記法をスッキリさせるために、次のように約束します。（$`\YY`$ も米田〈Yoneda〉から。）
- $`{^\cat{C}\YY}(\hyp, \hyp) := \cat{C}^\wedge(よ^\hyp, \hyp) : \cat{C}^\op \times \cat{C}^\wedge \to {\bf Set}`$
- $`{^\cat{C} \mrm{LEv}} := \mrm{LEv}_{\cat{C}^\op, {\bf Set}} : \cat{C}^\op \times \cat{C}^\wedge \to {\bf Set}`$
$`{^\cat{C}\YY}`$ は無名ラムダ変数 '$`\hyp`$' を使って定義していますが、丁寧に書くなら：
$`\For a\in|\cat{C}^\op|, F\in |\cat{C}^\wedge|\\
\quad (a, F)\mapsto {^\cat{C}\YY}(a, F) := \left(\cat{C}^\wedge(よ^a, F) \in |{\bf Set}|\right)\\
\For f:b \to a \In \cat{C}^\op, \alpha:F\to G \In \cat{C}^\wedge\\
\quad (f, \alpha)\mapsto {^\cat{C}\YY}(f, \alpha) := \left(\cat{C}^\wedge(よ^f, \alpha) : \cat{C}^\wedge(よ^b, F) \to \cat{C}^\wedge(よ^a, G) \In {\bf Set}
\right)`$
米田写像の族〈family of Yoneda maps〉$`{\bf y}`$ の左肩にも $`\cat{C}`$ を乗せることにすると、大域米田の補題は次の形になります。
$`\quad {^\cat{C}{\bf y}}[\hyp, \hyp] :: {^\cat{C} \YY}(\hyp, \hyp) \overset{\cong}{\twoto}
{^\cat{C}\mrm{LEv}}(\hyp, \hyp) : \cat{C}^\op \times \cat{C}^\wedge \to {\bf Set} \In {\bf CAT}
`$
関手圏のなかで考えるならば：
$`\quad {^\cat{C}{\bf y}} : {^\cat{C} \YY} \overset{\cong}{\to}
{^\cat{C}\mrm{LEv}} \In [\cat{C}^\op \times \cat{C}^\wedge, {\bf Set}]
`$
$`\cat{E} = \cat{C}^\wedge`$ は（$`\cat{C}`$ が小さくとも）小さい圏にはなりませんが、局所小圏になり、大域米田の補題（の共変バージョン）は成立します。
$`\quad {^\cat{E}{\bf y}^\vee} : {^\cat{E} \YY^\vee} \overset{\cong}{\to}
{^\cat{E}\mrm{LEv}^\vee} \In [\cat{E} \times \cat{E}^\vee, {\bf Set}]
`$
ここで、右肩に $`{^\vee}`$ が付いたモノは共変バージョンです。例えば：
$`\quad \cat{E}^\vee := [\cat{E}, {\bf Set}]\\
\quad {^\cat{E} \YY^\vee}(\hyp, \hyp) := \cat{E}^\vee(よ^\vee_\hyp, \hyp) :
\cat{E} \times \cat{E}^\vee \to {\bf Set}\\
\quad {^\cat{E}\mrm{LEv}^\vee} := \mrm{LEv}_{\cat{E}, {\bf Set}} : \cat{E} \times \cat{E}^\vee \to {\bf Set}
`$
自然変換と関手に引数を渡すと次の形になりますが、引数の文字種・フォントは先に約束した通りです。
$`\For F \in |\cat{E}|, \Phi \in |\cat{E}^\vee|\\
\quad {^\cat{E}{\bf y}^\vee}[F, \Phi] : {^\cat{E} \YY^\vee}(F, \Phi) \overset{\cong}{\to}
{^\cat{E}\mrm{LEv}^\vee}(F, \Phi) \In {\bf Set}\\
\For \bs{\xi} \in {^\cat{E} \YY^\vee}(F, \Phi)\\
\quad {^\cat{E}{\bf y}^\vee}[F, \Phi](\bs{\xi}) \in {^\cat{E}\mrm{LEv}^\vee}(F, \Phi) = \Phi(F)
`$
前層を特定対象で評価する関手
対象 $`a\in |\cat{C}^\op|`$ を選んで固定します。反変関手 $`F\in |\cat{C}^\wedge|`$ に $`a`$ を渡して評価する〈エバる〉操作は、
$`\quad (a, F) \mapsto F(a) = \mrm{LEv}(a, F)`$
と書けます。$`a`$ は固定したまま $`F`$ のほうを動かすと、
$`\quad |\cat{C}^\vee| \ni F \mapsto F(a) = \mrm{LEv}(a, F) \in |{\bf Set}|`$
となります。前層の圏の射〈自然変換〉に対しても
$`\quad \mrm{Mor}(\cat{C}^\vee) \ni \alpha \mapsto \alpha[a] = \mrm{LEv}(a, \alpha) \in \mrm{Mor}({\bf Set})`$
とします。こうして定義される $`\mrm{LEv}(a, \hyp)`$ は、次のような関手になります。
$`\quad \mrm{LEv}(a, \hyp): \cat{C}^\wedge \to {\bf Set} \In {\bf CAT}`$
$`\mrm{LEv}(a, \hyp)`$ を $`\hat{a}`$ と略記します。定義より：
$`\quad \hat{a} = \mrm{LEv}(a, \hyp) \in |\cat{E}^\vee|\\
\text{i.e.}\\
\quad \hat{a} : [\cat{C}^\op, {\bf Set}] \to {\bf Set} \In {\bf CAT}`$
共変バージョンの米田の補題は次の形の同型を与えます。
$`\quad \cat{E}({^\cat{C}よ}^a, \hyp) \cong \hat{a}(\hyp) \In [\cat{E}, {\bf Set}]`$
このことから、関手 $`\hat{a}`$ は対象 $`{^\cat{C}よ}^a \in |\cat{E}|`$ で表現されます。同型は次のように与えられます。
$`\quad {^\cat{C}{\bf y}}[a, \hyp] : \cat{E}({^\cat{C}よ}^a, \hyp) \overset{\cong}{\to} \hat{a}(\hyp) \In [\cat{E}, {\bf Set}]`$
「関手の表現可能性と、要素の圏の終対象・始対象 // 前層の表現ペアと表現ペアその2」で導入した記法を使うと次のように書けます。
$`\quad \hat{a} \sim \mrm{Repr}({^\cat{C}よ}^a, {^\cat{C}{\bf y}}[a, \hyp])`$
つまり、関手 $`\hat{a}`$ は、表現対象 $`{^\cat{C}よ}^a`$ と普遍性自然同型 $`{^\cat{C}{\bf y}}[a, \hyp]`$ で表現されます。
表現の普遍元
表現可能関手の普遍性自然同型を、米田写像で移した要素が普遍元〈universal object〉でした（「双線形写像集合関手の表現可能性とテンソル積の普遍性」参照）。
関手 $`\hat{a}`$ は、次のような関手でした。
$`\quad \hat{a} : \cat{E} \to {\bf Set} \In {\bf CAT}`$
したがって、普遍元の計算に使う米田写像は次のものです。
$`\quad {^\cat{E}{\bf y}^\vee}[F, \Phi] : \cat{E}^\vee({^\cat{E}よ}^\vee_F, \Phi ) \overset{\cong}{\to} \Phi(F)
`$
$`F = {^\cat{C}よ}^a, \Phi = \hat{a}`$ を代入すると：
$`\quad {^\cat{E}{\bf y}^\vee}[{^\cat{C}よ}^a, \hat{a}] : \cat{E}^\vee({^\cat{E}よ}^\vee_{({^\cat{C}よ}^a)}, \Phi ) \overset{\cong}{\to} \hat{a}({^\cat{C}よ}^a)
`$
次の点に注意してください。
$`\quad \hat{a}({^\cat{C}よ}^a) = {^\cat{C}よ}^a(a) = \cat{C}(a, a)`$
普遍元は次の計算で出ます。
$`\quad {^\cat{E}{\bf y}^\vee}[{^\cat{C}よ}^a, \hat{a}]({^\cat{C}{\bf y}}[a, \hyp]) = {^\cat{C}{\bf y}}[a, {^\cat{C}よ}^a](\mrm{ID}_{ ({^\cat{C}よ}^a) } ) \in \cat{C}(a, a)`$
使ったのは、次の一般的な公式です。
$`\quad {^\cat{D}{\bf y}^\vee}[A, H](\varphi) = \varphi[A](\id_A)\;\in H(A)`$
同じ公式を使って計算を進めると：
$`\quad {^\cat{C}{\bf y}}[a, {^\cat{C}よ}^a](\mrm{ID}_{ ({^\cat{C}よ}^a) } ) \\
= (\mrm{ID}_{ ({^\cat{C}よ}^a) })[a](\id_a)\\
= ( ({^\cat{C}よ}^a)(a) )(\id_a)\\
= \cat{C}(a, a)(\id_a)\\
= \cat{C}(\id_a, \id_a)(\id_a)\\
= \id_a;\id_a;\id_a\\
= \id_a
`$
普遍元は $`\id_a \in \cat{C}(a, a)`$ でした。次のように書けます。
$`\quad \hat{a} \sim \mrm{Repr2}({^\cat{C}よ}^a, \id_a)`$
表現可能関手 $`\hat{a}`$ は、表現対象 $`{^\cat{C}よ}^a `$、普遍元 $`\id_a`$ で表現されます。
