スケマティック系（「スケマティック系のために： 雑多な予備知識 // 絵図的手法とスケマティック系」参照）に関連して、圏の骨格を扱う必要があるのですが、意外とめんどくさい。
一番典型的だと思われる、有限次元ベクトル空間の圏の骨格を事例として、圏の骨格の扱い方を整理します。$`\newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}}
\newcommand{\cat}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\twoto}{\Rightarrow }
\newcommand{\In}{\text{ in } }
\newcommand{\Imp}{ \Rightarrow }
\newcommand{\Iff}{\Leftrightarrow }
\newcommand{\hyp}{\text{－} }
%\newcommand{\op}{\mathrm{op} }
\newcommand{\id}{\mathrm{id} }
%\newcommand{\pto}{ \supseteq\!\to }
\newcommand{\u}[1]{\underline{#1}}
%\newcommand{\o}[1]{\overline{#1}}
`$
内容：
圏の骨格
nLab項目 skeleton をもとに形式的な定義を書きます。味気ないです。
圏 $`\cat{C}`$ が骨格的〈skeletal〉とは、次が成立することです。
$`\quad \forall X, Y \in |\cat{C}|. (X \cong Y \In \cat{C}) \Imp X = Y
`$
骨格的圏では、同型な対象は1つしかありません。異なる2つの対象が同型になることは起きません。
圏 $`\cat{C}`$ の部分圏 $`\cat{S}`$ が骨格〈skeleton〉であるとは、次（両方とも）が成立することです。
- $`\cat{S}`$ は骨格的な部分圏である。
- $`\cat{S} \hookrightarrow \cat{C}`$ という包含関手は圏同値になっている。
包含関手を $`\mrm{Incl}`$ として、関手 $`\mrm{Incl}`$ が圏同値である条件は次（両方とも）です。
- $`\mrm{Incl}`$ は充満忠実な関手〈full and faithful functor | fully faithful functor〉である。
- $`\mrm{Incl}`$ は本質的に全射的な関手〈essentially surjective functor〉である。
言い方を変えると：
- $`\cat{S}`$ は充満部分圏〈full subcategory〉である。
- $`\cat{S}`$ は本質的に広い部分圏〈essentially wide subcategory〉である。
部分集合 $`T \subseteq |\cat{C}|`$ に関して、骨格的〈skeletal〉と本質的に広い〈essentially wide〉ことを次のように定義します。
- $`T`$ が $`\cat{C}`$ において骨格的： $`\forall A, B \in T.\, (A \cong B \In \cat{C}) \Imp A = B`$
- $`T`$ が $`\cat{C}`$ において本質的に広い： $`\forall X \in |\cat{C}|. \exists A\in T.\, A \cong X \In \cat{C}`$
部分圏 $`\cat{S} \subseteq \cat{C}`$ が骨格であることは、次のようにも記述できます。
- 部分集合 $`|\cat{S}|\subseteq |\cat{C}|`$ は、$`\cat{C}`$ において骨格的である。
- 部分集合 $`|\cat{S}|\subseteq |\cat{C}|`$ は、$`\cat{C}`$ において本質的に広い。
- $`\cat{S}`$ は、$`\cat{C}`$ の充満部分圏である。
あるいは：
- $`\cat{S}`$ は、骨格的で本質的に広い部分集合 $`T \subseteq |\cat{C}|`$ から誘導された充満部分圏である。
圏 $`\cat{D}`$ と埋め込み関手（忠実で対象類で単射な関手） $`E: \cat{D} \to \cat{C}`$ があって、次を満たすとき $`(\cat{D}, E)`$ を$`\cat{C}`$ の一般骨格〈generic skeleton〉と呼ぶことにします（一般骨格は nLab にありません）。
- 関手 $`E`$ は充満忠実な関手である。（忠実は事前の条件にあるので、充満だけでもよい。）
- 関手 $`E`$ は本質的に全射的な関手である。
骨格 $`\cat{S}`$ を、包含関手と組にして $`(\cat{S}, \mrm{Incl})`$ と書けば一般骨格です。一般骨格 $`(\cat{D}, E)`$ で、圏 $`\cat{D}`$ が $`\cat{C}`$ の部分圏ではない場合、外部骨格〈external skeleton〉と呼ぶことにします。外部骨格の埋め込み像は骨格（いわば内部骨格）です。
有限次元ベクトル空間の圏
有限次元ベクトル空間の圏を $`{\bf FdVect}`$ と書きます。スカラー体 $`K`$ を添えるときは、
$`\quad {\bf FdVect}_K,\; {\bf FdVect}[K],\; K\text{-}{\bf FdVect}`$
などと書きますが、スカラー体は $`{\bf R}`$ に固定して、いちいち言及しないことにします。
有限次元ベクトル空間の圏 $`{\bf FdVect}`$ の骨格〈内部骨格〉、外部骨格として次を考えます。
- $`{\bf EucVect}`$ ： ユークリッド・ベクトル空間の圏。対象は $`{\bf R}^n`$ の形のベクトル空間で、$`{\bf FdVect}`$ の充満部分圏。
- $`{\bf Mat}`$ ： 行列の圏。対象は自然数で、射は実数係数の行列（「 はじめての圏論 その第2歩：行列の圏」参照）。
外部骨格である $`{\bf Mat}`$ の埋め込み $`E`$ は次のように定義します。
- $`n\in {\bf N} = |{\bf Mat}|`$ に対して、$`E(n) := {\bf R}^n`$
- 行列 $`A\in {\bf Mat}(n, m)`$ に対して、$`E(A)\in {\bf FdVect}({\bf R}^n , {\bf R}^m)`$ は対応する線形写像
'$`E`$' は、embedding と Euclid からの 'E' です。この名前は、固有特定の関手を名指す固有名ですが、イタリック体の文字を使用します（理由は、めんどうだから）。
任意の（有限次元の）ベクトル空間 $`V \in |{\bf FdVect}|`$ に対して、次のような同型射 $`a`$ を（$`V`$ の）フレーム〈frame〉と呼びます。
$`\quad a: {\bf R}^{\mrm{dim}(V)}\overset{\cong}{\to} V \In {\bf FdVect}`$
フレームは、基底の要素を番号付けしたものだと思えます。“番号付けられた、線形独立かつ生成的なベクトル達” $`a_1, \cdots, a_n`$ があれば、それは同型線形写像 $`{\bf R}^n \to V`$ を誘導します。逆に、フレーム（同型線形写像）があれば、“番号付けられた、線形独立かつ生成的なベクトル達”を構成できます。
フレームの逆写像をコフレーム〈coframe〉または反フレーム〈opframe〉と呼びます。
$`\quad \alpha = a^{-1}: V \overset{\cong}{\to} {\bf R}^{\mrm{dim}(V)} \In {\bf FdVect}`$
コフレーム $`\alpha = a^{-1}`$ を成分に分解して、$`\alpha_1, \cdots, \alpha_n`$ とすると、$`\alpha_i \in V^*`$ とみなせるので、コフレームは番号付けられたコベクトル（双対ベクトル空間の要素）の集合だとみなせます。その集合は、双対空間の基底になります。
フレームとコフレーム〈反フレーム〉は、一般的な圏でも考えることができますが、コフレームが双対空間と結びつくのはベクトル空間の圏特有の現象です。一般論としては、コフレームは単にフレームの逆射なだけです。
ベクトル空間にそのフレームを添えた $`(V, a)`$ をフレーム付き（有限次元）ベクトル空間〈framed {finite dimensional}? vector space〉と呼びます。2つのフレーム付きベクトル空間 $`(V, a), (W, b)`$ があったとき、そのあいだの射は、単に線形写像 $`f:V \to W`$ です。
すべてのフレーム付きベクトル空間達とそのあいだの射が形成する圏を $`{\bf FramedFdVect}`$ とします。この圏の定義から：
$`\quad {\bf FramedFdVect}( (V, a), (W, b)) = {\bf FdVect}(V, W) \In {\bf Set}`$
これより、フレームを忘れる忘却関手 $`U: {\bf FramedFdVect}\to{\bf FdVect}`$ は充満忠実関手です。全射的関手なので、当然に本質的に全射的です。本質的に全射的な充満忠実関手は圏同値を与えるので、次が成立します。（'$`\simeq`$' は圏同値を表す記号だとします。）
$`\quad {\bf FramedFdVect} \simeq {\bf FdVect} \In {\bf CAT}`$
フレームの選択
前節で出てきた2つの関手はどちらも圏同値を与えます。
- 埋め込み関手 $`E: {\bf Mat} \overset{\simeq}\to {\bf FdVect}\In {\bf CAT}`$
- 忘却関手 $`U: {\bf FramedFdVect} \overset{\simeq}\to {\bf FdVect} \In {\bf CAT}`$
以下の点線のような、圏同値関手の“逆”を構成したいと思います。
$`\quad \xymatrix@C+1pc{
{\bf FramedFdVect} \ar[r]^{U}
& {\bf FdVect} \ar@{.>}@/^1.2pc/[l]^{F} \ar@{.>}@/_1.2pc/[r]_{R}
& {\bf Mat} \ar[l]_{E}
}\\
\quad \In {\bf CAT}
`$
圏同値における“逆”とは、次の意味です。'$`*`$' は関手の図式順結合記号、$`[\hyp, \hyp]`$ は関手圏です。
$`\quad U*F \cong \mrm{Id}_{\bf FramedFdVect} \In [{\bf FramedFdVect}, {\bf FramedFdVect}]\\
\quad F*U \cong \mrm{Id}_{\bf FdVect} \In [{\bf FdVect}, {\bf FdVect}]\\
\:\\
\quad E*R \cong \mrm{Id}_{\bf Mat} \In [{\bf Mat}, {\bf Mat}]\\
\quad R*E \cong \mrm{Id}_{\bf FdVect} \In [{\bf FdVect}, {\bf FdVect}]
`$
実際には、一部は等式が成立します。
$`\quad F*U = \mrm{Id}_{\bf FdVect} \In [{\bf FdVect}, {\bf FdVect}]\\
\quad E*R = \mrm{Id}_{\bf Mat} \In [{\bf Mat}, {\bf Mat}]
`$
$`F`$ は、すべての対象にフレーミング〈framing | フレーム付け〉する関手、$`R`$ は線形写像を行列により表現〈representation〉する関手、あるいはレトラクト〈retract〉関手です。レトラクト／レトラクションはよく使われる言葉で、全体集合を部分集合に引き込んで潰す操作です（「レトラクションの起源（かな？）」参照）。$`(F, U), (E, R)`$ は圏論的なEPペア〈embedding-projection pair〉とも言えます（「「円周率は3」についてキッチリ考えてみる -- EPペアの例として」参照）。
フレーミング $`F`$ を作る場合も、レトラクション（あるいはプロジェクション）$`R`$ を作る場合も、キモとなるのは、$`{\bf FdVect}`$ のすべての対象にフレームをひとつ選んで割り当てる写像です。この写像をフレーム選択〈choice of frames〉と呼んで $`\Phi`$ で表します。
フレーム選択の写像は、同型線形写像の集合を $`\mrm{IsoMor}({\bf FdVect})`$ として、次のように書けます。
$`\quad \Phi : |{\bf FdVect}| \to \mrm{IsoMor}({\bf FdVect}) \In {\bf SET}`$
もう少し精密な記述のためには、シグマ型とパイ型が必要です（「依存型と総称型の圏論的解釈」参照）。まず、次のようなシグマ型をつくります。$`\mrm{Iso}_{\bf FdVect}(\hyp, \hyp)`$ は同型射の集合（ホムセットの部分集合）です。
$`\quad \sum_{V\in |{\bf FdVect}|} \mrm{Iso}_{\bf FdVect}({\bf R}^{\mrm{dim}(V)}, V )`$
この集合（大きな集合＝類）は、標準的な射影を持ちます。
$`\quad \pi : \sum_{V\in |{\bf FdVect}|} \mrm{Iso}_{\bf FdVect}({\bf R}^{\mrm{dim}(V)}, V )
\to |{\bf FdVect}|
`$
この射影に関してセクションを考えることができます。$`\Phi`$ はセクションです。
$`\quad \Phi : |{\bf FdVect}| \to \sum_{V\in |{\bf FdVect}|} \mrm{Iso}_{\bf FdVect}({\bf R}^{\mrm{dim}(V)}, V )\\
\text{where}\\
\quad \Phi ; \pi = \id_{|{\bf FdVect}|}
`$
シグマ型の射影に関するすべてのセクションの集合がパイ型なので：
$`\quad \Phi \in \prod_{V \in |{\bf FdVect}|} \mrm{Iso}_{\bf FdVect}({\bf R}^{\mrm{dim}(V)}, V )`$
$`\Phi`$ はひとつのセクションであり、他にセクションはいくらでもあります。
$`\Phi(V)`$ を $`\Phi_V`$ と書くことにします（理由は特にないけど）。次が成立します。
$`\text{For }V \in |{\bf FdVect}|\\
\quad \Phi_V : {\bf R}^{\mrm{dim}(V)} \overset{\cong}{\to} V \In {\bf FdVect}\\
\text{i.e.}\\
\quad \Phi_V \in \mrm{Iso}_{\bf FdVect}( {\bf R}^{\mrm{dim}(V)}, V)
`$
フレームの選択 $`\Phi`$ を決めれば、それに基づいてフレーミング関手 $`F`$ とレトラクト関手 $`R`$ を定義することができます。それは次節で。
圏同値の構成
$`\Phi`$ はフレームの選択だとして、関手 $`F : {\bf FdVect} \to {\bf FramedFdVect}`$ を次のように定義します。
- $`V\in |{\bf FdVect}|`$ に対して、$`F(V) := (V, \Phi_V)`$
- $`f\in {\bf FdVect}(V, W)`$ に対して、$`F(f) := f`$
これは簡単な定義です。$`F*U = \mrm{Id}_{\bf FdVect}`$ もただちに分かるでしょう。あとは次の同型です。
$`\quad U*F \cong \mrm{Id}_{\bf FramedFdVect} \In [{\bf FramedFdVect}, {\bf FramedFdVect}]`$
この同型を示すには、次のような可逆な自然変換 $`\varphi`$ が必要です。
$`\quad \varphi :: U*F \twoto \mrm{Id}_{\bf FramedFdVect}\\
\qquad : {\bf FramedFdVect} \to {\bf FramedFdVect} \In {\bf CAT}
`$
成分ごとに表示すると：
$`\quad \varphi_{(V, a)} : F( U( (V, a) ) )\to \mrm{Id} ( (V, a) )\In {\bf FramedFdVect}
`$
簡略に書けば：
$`\quad \varphi_{(V, a)} : ( V, \Phi_V )\to (V, a) \In {\bf FramedFdVect}
`$
圏 $`{\bf FramedFdVect}`$ の射は $`{\bf FdVect}`$ の射だったので、次のように定義します。
$`\quad \varphi_{(V, a)} := \id_V \;: ( V, \Phi_V )\to (V, a) \In {\bf FramedFdVect}`$
逆自然変換 $`\varphi^{-1}`$ も同じ定義です。
$`\varphi`$ が自然変換である条件（自然性）は次の図式の可換性です。
$`\require{AMScd}
\text{For } f: (V \phi a) \to (W, b) \In {\bf FramedFdVect}\\
\quad \begin{CD}
(V, \Phi_V) @>{\varphi_{(V, a)} }>> (V, a) \\
@V{f}VV @VV{f}V\\
(W, \Phi_W) @>{\varphi_{(W, b)} }>> (W, b) \\
\end{CD}\\
\quad\text{commutative in }{\bf FramedFdVect}
`$
この四角形図式は、
$`
\quad \begin{CD}
(V, \Phi_V) @>{\id_V }>> (V, a) \\
@V{f}VV @VV{f}V\\
(W, \Phi_W) @>{\id_W }>> (W, b) \\
\end{CD}
`$
なので、自明に可換です。
以上で圏同値 $`F`$ （$`U`$ の“逆”）が構成できました。
次に、関手 $`R : {\bf FdVect} \to {\bf Mat}`$ を次のように定義します。
- $`V\in |{\bf FdVect}|`$ に対して、$`R(V) := \mrm{dim}(V)`$
- $`f\in {\bf FdVect}(V, W)`$ に対して、$`R(f) := E^{-1}({\Phi_V};f;{\Phi_W}^{-1})`$
$`E^{-1}`$ は、埋め込み関手 $`E`$ の逆関手ですが、像圏 $`E({\bf Mat}) = {\bf EucVect}`$ に制限して逆関手を考えています。$`E^{-1}`$ は、ユークリッドベクトル空間のあいだの線形写像を行列表示する関手です。記法の簡略化のために次の書き方も使います。
- $`f`$ のユークリッドベクトル空間への還元 ： $`\mrm{euc}(f) := {\Phi_V};f;{\Phi_W}^{-1}`$
- $`f`$ の行列表示 ： $`\mrm{mat}(f) := E^{-1}(\mrm{euc}(f)) = E^{-1}({\Phi_V};f;{\Phi_W}^{-1})`$
ここで、フレーム選択 $`\Phi`$ に次の制約を課します。
- $`\Phi_{{\bf R}^n} = \id_{{\bf R}^n}`$
つまり、ユークリッド・ベクトル空間のフレームは標準的なフレーム（恒等射）を選ぶということです。この制約のもとで、次の等式はすぐに分かるでしょう。
$`\quad E*R = \mrm{Id}_{\bf Mat} \In [{\bf Mat}, {\bf Mat}]`$
次の同型を問題にします。
$`\quad R*E \cong \mrm{Id}_{\bf FdVect} \In [{\bf FdVect}, {\bf FdVect}]`$
この同型を示すには、次のような可逆な自然変換 $`\psi`$ が必要です。
$`\quad \psi :: R*E \twoto \mrm{Id}_{\bf FdVect} \\
\qquad : {\bf FdVect} \to {\bf FdVect} \In {\bf CAT}
`$
成分ごとに表示すると：
$`\quad \psi_V : E(R (V)) \to \mrm{Id}(V) \In {\bf FdVect}
`$
簡略に書けば：
$`\quad \psi_V : {\bf R}^{\mrm{dim}(V) } \to V \In {\bf FdVect}
`$
フレームの選択を使って次のように定義します。
$`\quad \psi_V := \Phi_V \; : {\bf R}^{\mrm{dim}(V) } \to V \In {\bf FdVect}
`$
逆自然変換 $`\psi^{-1}`$ はコフレーム〈反フレーム〉として定義します。
$`\psi`$ が自然変換である条件（自然性）は次の図式の可換性です。
$`\text{For } f: V \to W \In {\bf FdVect}\\
\quad \begin{CD}
{\bf R}^{\mrm{dim}(V) } @>{\Phi_V }>> V \\
@V{\mrm{euc}(f) }VV @VV{f}V\\
{\bf R}^{\mrm{dim}(W) } @>{\Phi_W }>> W \\
\end{CD}\\
\quad\text{commutative in }{\bf FramedFdVect}
`$
定義より、これは可換です。$`\psi^{-1}`$ も同様に自然変換になり、$`\psi, \psi^{-1}`$ は互いに逆です。
以上で圏同値 $`R`$ （$`E`$ の“逆”）が構成できました。
そしてそれから
有限次元ベクトル空間の圏 $`{\bf FdVect}`$ は、骨格としてユークリッド・ベクトル空間の部分圏 $`{\bf EucVect}`$ を持ちます。任意の対象（ベクトル空間）に対して、フレームを選ぶと、線形写像はユークリッド・ベクトル空間のあいだの線形写像に還元できます。そして、ユークリッド・ベクトル空間とそのあいだの線形写像は標準的に行列表示できます。結果的に、すべての線形写像は行列表示できます。
この議論を支えている基本メカニズムは、圏の骨格とフレームの選択です。フレームの選択によって、$`(F, U), (E, R)`$ という圏同値を与えるペアを構成できました。これは、$`{\bf FdVect}`$ に限らずに同じ議論ができます。
フレームの選択は一意的ではありません。どんな選択でも同じことができます。しかし、フレームの選択を変更すると、それにともない表示の変換が生じます。ベクトル空間のフレーム（番号付き基底）を取り替えれば、行列表示が変換されるのと同じです。フレームの選択の取り替えに伴う変換は調べておく必要があります。それは次の機会に。
