最近（2023-06）の記事「双線形写像集合関手の表現可能性とテンソル積の普遍性」において、2つの有限次元ベクトル空間 $`A, B`$ からの双線形写像集合を対応させる共変関手 $`T_{A, B}(\text{－})`$ の表現対象がテンソル積空間 $`A\otimes B`$ になる、という話をしました。
だいぶ昔（2016-08）の記事「テンソル積の作り方」では、2つのベクトル空間（2016記事では有限次元性は仮定してないですね） $`A, B`$ から作った“とある圏 $`M_2[A, B]`$”の始対象としてテンソル積空間を特徴付けています。
どちらの方法でもベクトル空間のテンソル積空間を定義できます。ということは、関手の表現対象と“とある圏”の始対象（双対的に終対象）は同一の概念なんだろう、と見当が付きます。確認してみます。$`\newcommand{\cat}[1]{\mathcal{#1}}
%\newcommand{\Imp}{ \Rightarrow }
\newcommand{\For}{\text{For }}
\newcommand{\In}{ \text{ in } }
\newcommand{\On}{ \text{ on } }
\newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}}
\newcommand{\id}{\mathrm{id}}
\newcommand{\hyp}{\text{－}}
\newcommand{\Iff}{\Leftrightarrow}
\newcommand{\op}{\mathrm{op}}
`$
内容：
米田関連の記法
「米田埋め込みの書き方（色々ありすぎ）」で述べたように、米田埋め込み／米田の補題に関連する記法は色々あるので、どれを使うか決めておきます。
米田埋め込みは米田の「よ」を使いますが、「双線形写像集合関手の表現可能性とテンソル積の普遍性」と同様に、ロージエン〈Fosco Loregian〉とロマン〈Mario Román〉の記法の折衷案にします。
| ハイフン記法 | 「よ」記法 |
| $`\cat{C}(\hyp, B)`$ | $`{^\cat{C}よ}^B`$ |
| $`\cat{C}(A, \hyp)`$ | $`{^\cat{C}よ}^\vee_A`$ |
米田の補題の同型を与える米田写像〈Yoneda map〉は太字のyで書きます。「よ」記法と同様に、共変バージョンには右肩に $`\vee`$ を付けて区別することにします。
反変バージョン、共変バージョンの米田の補題を、添字として情報を埋め込んだ表現で書けば次のようになります。
$`\quad {^G {\bf y}}^B : [\cat{C}^\op, {\bf Set}]({^\cat{C} よ}^B, G) \overset{\cong}{\to} G(B) \In {\bf Set}\\
\quad {^F {\bf y}}^\vee_A : [\cat{C}, {\bf Set}]({^\cat{C} よ}^\vee_A, F) \overset{\cong}{\to} F(A) \In {\bf Set}
`$
だいぶ鬱陶しいので、添字は適宜省略します。例えば：
$`\quad {\bf y} : \mrm{Nat}(よ^B, G) \to G(B) \In {\bf Set}`$
$`\mrm{Nat}(\hyp, \hyp)`$ は自然変換の集合で、関手圏のホムセットのことです。米田写像は可逆なので、逆写像があります。
$`\quad {\bf y}^{-1} : G(B) \to \mrm{Nat}(よ^B, G) \In {\bf Set}`$
米田写像と逆米田写像は具体的に表示できます。$`{\bf y}^{-1}`$ の表示は、依存ラムダ式で、外側の引数 $`X`$ に依存して、内側の型付きラムダ式の型も変化します。
$`\For \beta \in \mrm{Nat}(よ^B, G)\\
\quad {\bf y}(\beta) := \beta_B(\id_B)\\
\:\\
\For b \in G(B)\\
\quad {\bf y}^{-1}(b) := \lambda\, X\in |\cat{C}|. \lambda\,u\in \cat{C}(X, B).G(u)(b)
`$
前層の表現ペアと表現ペアその2
これから述べる内容は、反変バージョンと共変バージョンがありますが、反変バージョンについて述べます。共変バージョンは形式的に双対をとるだけです。
「双線形写像集合関手の表現可能性とテンソル積の普遍性」の復習をしましょう； $`F`$ を $`\cat{C}`$ 上の前層（集合圏に値をとる反変関手）とします。前層が表現可能〈representable〉とは、次の同型（関手圏のなかでの同型）が成立することでした。
$`\text{For some }A \in |\cat{C}|\\
\quad よ^A \cong F \In \cat{C}^\wedge = [\cat{C}^\op , {\bf Set}]`$
対象 $`A`$ は、前層 $`F`$ の表現対象〈representing object〉です。上記の同型を与える自然同型〈可逆自然変換〉を $`\varphi`$ として、ペア $`(A, \varphi)`$ が、前層 $`F`$ の表現ペア〈representing pair〉です。次の書き方をして、「前層 $`F`$ は、表現ペア $`\mrm{Repr}(A, \varphi)`$ で表現される」と言うことにします。
$`\quad F \sim \mrm{Repr}(A, \varphi)`$
米田の補題から、$`\mrm{Nat}(よ^A, F) \cong F(A)`$ なので、自然同型（普遍性〈universality〉と呼ぶのでした）$`\varphi`$ に対応する要素 $`a\in F(A)`$ が決まります（この要素は普遍元〈universal object〉でした）。普遍性（と呼ばれる自然同型）の代わりに普遍元を使っても同じことなので、$`(A, a)`$ も表現ペアです。ただし、区別はしないと混乱するので次の書き方をします。
$`\quad F \sim \mrm{Repr2}(A, a)`$
$`\mrm{Repr2}(A, a)`$ は、$`F`$ の表現ペアその2〈representing pair of second type〉とします。
逆米田写像の具体的な表示（前節）を使うと、普遍元 $`a`$ から普遍性を再現できます。普遍性（と呼ばれる自然同型） $`\varphi`$ の$`X`$-成分は次の表示を持ちます。
$`\varphi_X : \cat{C}(X, A) \overset{\cong}{\to} F(X) \In {\bf Set}\\
\For u \in \cat{C}(X, A)\\
\quad \varphi_X(u) = F(u)(a)
`$
前層の要素の圏
前節同様、$`F`$ は前層とします。前層から“とある圏”を作れます。ベクトル空間のテンソル積の事例では、その“とある圏”が $`M_2[A, B]`$ だったのです。“とある圏”は、（前層の）要素の圏〈category of elements〉といいます。
前層の要素の圏は、インデックス付き圏のグロタンディーク構成〈Grothendieck construction for indexed category〉の特殊ケースです。前層 $`F`$ の要素の圏を $`\mrm{El}(F)`$ と書きます。圏 $`\mrm{El}(F)`$ の対象の集合は、次の集合論的シグマ型で与えます。
$`\quad |\mrm{El}(F)| := \sum_{X\in |\cat{C}|} F(X)`$
要するに、$`F(X)`$ 達をすべて寄せ集めた集合です。ただし、$`z \in F(X)\cap F(Y)`$ のときでも、「$`F(X)`$ の要素としての $`z`$」と「$`F(Y)`$ の要素としての $`z`$」は別物として扱います。したがって、$`|\mrm{El}(F)|`$ の要素は、$`(X, x) \text{ where }x\in F(X)`$ の形（依存ペア）で書けます。依存ペアの第一成分は、第二成分の親集合（$`x\in X`$）ではなくて、単なる識別タグなので注意してください。
2つの対象 $`(X, x), (Y, y)\in |\mrm{El}(F)|`$ のあいだの射は、3つ組 $`(x, f, y)`$ で、次の条件を満たすものです。
- $`x\in F(X)`$
- $`y\in F(Y)`$
- $`f:X \to Y \In \cat{C}`$
- $`x = F(f)(y) \On F(X)`$
これは、集合を離散圏とみなした場合のグロタンディーク構成です。グロタンディーク構成については、例えば次の（ふっるーい）記事を参照してください。
要素の圏 $`\mrm{El}(F)`$ をグロタンディーク構成の一般的な記法（「グロタンディーク構成と積分記号」参照）で書くと：
$`\quad \mrm{El}(F) = \int_\cat{C} F = \int_\cat{C} F(\hyp)`$
今は前層の話をしてますが、余前層（集合圏に値をとる共変関手）に関しても同様な議論はできます。$`F'`$ が余前層のときも同じ記号 $`\mrm{El}(F')`$ を使いますが、余インデックス付き圏のグロタンディーク構成になるので、次の書き方になります。
$`\quad \mrm{El}(F') = \int^\cat{C} F = \int^\cat{C} F(\hyp)`$
「グロタンディーク構成と積分記号」で述べている4種類のグロタンディーク構成は、すべて実際に使うものです。
なお、積分記号がエンド／コエンドと同じですが、文脈で判断してください。僕は、エンド／コエンドに積分記号を避けて、 $`\overline{\prod}_\cat{C}, \underline{\sum}^\cat{C}`$ を使うことが多いです。
前層の要素の圏の終対象
前層 $`F:\cat{C}^\op \to {\bf Set}\In {\bf CAT}`$ があれば、その要素の圏 $`\mrm{El}(F)`$ は必ず作れます。が、要素の圏に終対象があるかどうかはわかりません。もし、終対象 $`(T, t) \in |\mrm{El}(F)|`$ があれば、$`(T, t)`$ は、何かしら $`F`$ に関する情報を担っているモノです。
実は、$`(T, t)`$ は、$`F`$ の表現ペアその2になります。
$`\quad F \sim \mrm{Repr2}(T, t)`$
逆に、$`F`$ の表現ペアその2は、要素の圏の終対象になります。
このことは、ベクトル空間のテンソル積の事例などから、なんとなく「そうなるのだろう」とは思っていましたが、僕はちゃんと分かってませんでした。
一般に、圏 $`\cat{C}`$ の終対象の集合を $`\mrm{Terminal}(\cat{C})`$ と書くことにします。例えば、$`\mrm{Terminal}({\bf Set})`$ は、すべての単元集合からなる（小さくない）集合です。終対象を持たない圏（例えば離散圏）では $`\mrm{Terminal}(\cat{C}) = \emptyset`$ です。
すぐ上に述べたことは、次のように書けます。
$`\For F \in \cat{C}^\wedge = [\cat{C}^\op, {\bf Set}]\\
\quad (T, t)\in \mrm{Terminal}(\mrm{El}(F)) \Iff F \sim \mrm{Repr2}(T, t)`$
余前層に関してなら、双対的な命題になります。
$`\For F' \in \cat{C}^\vee = [\cat{C}, {\bf Set}]\\
\quad (I, i)\in \mrm{Initial}(\mrm{El}(F')) \Iff F' \sim \mrm{Repr2}(I, i)`$
終対象から表現ペア
前層 $`F`$ の要素の圏 $`\mrm{El}(F)`$ に終対象が在って、
$`\quad (T, t) \in \mrm{Terminal}( \mrm{El}(F) )`$
だとします。このとき、$`(T, t)`$ が $`F`$ の表現ペアその2になっていることを示しましょう。
まず、自然同型 $`\varphi : よ^T \to F\In \cat{C}^\wedge`$ を作ります。対象 $`X \in |\cat{C}|`$ ごとの成分は、
$`\quad \varphi_X : よ^T(X) \to F(X) \In {\bf Set}`$
これは次のように定義します。
$`\For f \in よ^T(X) = \cat{C}(X, T)\\
\quad \varphi_X(f) := F(f)(t) \in F(X)
`$
こう定義した $`\varphi_X`$ は同型〈可逆〉である必要があります。逆写像（のもと）は次のように定義できます。
$`\For x \in F(X) \\
\quad \psi_X(x) := (!_{(X, x)} : (X, x) \to (T, t) \In \mrm{El}(F))
`$
$`!_{(X, x)}`$ は、要素の圏 $`\mrm{El}(F)`$ における終射（終対象への唯一の射）です。要素の圏の射の定義から、$`!_{(X, x)}`$ は $`F(f)(t) = x`$ である射 $`f:X \to T`$ を決めます。この $`f`$ を値として取り直せば：
$`\For x \in F(X) \\
\quad \psi_X(x) \in \cat{C}(X, T)
`$
$`\varphi_X`$ と $`\psi_X`$ が互いに逆であることは次の命題です。
$`\For f \in \cat{C}(X, T)\\
\quad \psi_X(\varphi_X(f)) = f\\
\:\\
\For x \in F(X) \\
\quad \varphi_X(\psi_X(x)) = x
`$
これらは、$`\varphi_X`$ と $`\psi_X`$ の定義をじっと眺めればすぐ分かるでしょう。
したがって、$`\varphi_X`$ は対象 $`X`$ ごとに同型写像を割り当てます。自然変換であるためには、次の図式の可換性が要求されます。
$`\require{AMScd}
\For f:X \to Y \In \cat{C}\\
\begin{CD}
\cat{C}(Y, T) @>{\varphi_Y}>> F(Y) \\
@V{\cat{C}(f, T)}VV @VV{F(f)}V\\
\cat{C}(X, T) @>{\varphi_X}>> F(X)
\end{CD}\\
\text{commutative in }{\bf Set}
`$
$`v \in \cat{C}(Y, T)`$ を取って、時計回りと反時計回りで実際に計算してみます。
$`\quad F(f)(\varphi_Y(v)) \\
= F(f)(F(v)(t))\\
= (F(f)\circ F(v))(t)\\
= F(f \circ v)(t)
`$
$`\quad \varphi_X(\cat{C}(f, T)(v))\\
= \varphi_X( v \circ f )\\
= F(v \circ f) (t)
`$
これで図式の可換性、つまり、 $`\varphi`$ の自然性が示せました。
$`\varphi`$ は、各成分ごとに可逆写像である自然変換なので自然同型です。つまり、次が言えます。
$`\quad \varphi : よ^T \overset{\cong}{\to} F \In \cat{C}^\wedge`$
言い方を変えれば：
$`\quad F \sim \mrm{Repr}(T, \varphi)`$
米田写像を使って普遍元を計算しましょう。
$`\quad {\bf y}(\varphi)\\
= \varphi_T(\id_T)\\
= F(\id_T)(t)\\
= \id_{F(T)}(t)\\
= t
`$
自然同型 $`\varphi`$ に対応する普遍元は $`t`$ なので：
$`\quad F \sim \mrm{Repr2}(T, t)`$
表現ペアから終対象
前層 $`F`$ は、$`F`$ の表現ペアその2 $`(T, t)`$ によって表現されるとします。対応する表現ペア $`(T, \varphi)`$ によっても表現されます。
$`\quad F \sim \mrm{Repr2}(T, t)\\
\quad F \sim \mrm{Repr}(T, \varphi)\\
\quad t = \varphi_T(\id_T)
`$
このとき、$`(T, t)`$ が $`F`$ の要素の圏 $`\mrm{El}(F)`$ の終対象になっていることを示しましょう。
要素の圏 $`\mrm{El}(F)`$ の任意の対象 $`(X, x)\in |\mrm{El}(F)|`$ を選びます。ここで：
$`\quad X \in |\cat{C}|\\
\quad x\in F(X)`$
仮定から、$`\varphi: よ^T \overset{\cong}{\to} F\In \cat{C}^\wedge`$ があるので、次の写像が存在します。
$`\quad {\varphi_X}^{-1} : F(X) \to よ^T(X) \In {\bf Set}`$
これを使って、
$`\quad f := {\varphi_X}^{-1}(x) \in \cat{C}(X, T)`$
と定義します。この定義から：
$`\quad \varphi_X(f) = x`$
あるいは、次のようにも書けます。
$`\quad \cat{C}(X, T)\ni f \overset{\varphi_X}{\longleftrightarrow} x \in F(X)`$
先走って言えば、今定義した $`f`$ を使った3つ組 $`(x, f, t)`$ は、要素の圏の射
$`\quad (x, f, t) : (X, x) \to (T, t) \In \mrm{El}(F)`$
になります。$`(x, f, t)`$ が要素の圏の射であるためには、次が必要でした。
$`\quad F(f)(t) = x \On F(X)`$
この等式を示しましょう。
$`\varphi`$ が自然変換であることから、$`f:X \to T \In \cat{C}`$ に対して次の可換図式が存在します。
$`\begin{CD}
\cat{C}(T, T) @>{\varphi_T}>> F(T) \\
@V{\cat{C}(f, T)}VV @VV{F(f)}V \\
\cat{C}(X, T) @>{\varphi_X}>> F(X)
\end{CD}\\
\text{commutative in }{\bf Set}
`$
$`\id_T \in \cat{C}(T, T)`$ を取って、時計回り／反時計回りに計算した結果は一致するので、
$`\quad F(f)(\varphi_T(\id_T) ) = \varphi_X(\cat{C}(f, T)(\id_T)) \On F(X)`$
$`\varphi_T(\id_T) = t`$ 、 $`\cat{C}(f, T)(\id_T) = f`$ なので、
$`\quad F(f)(t ) = \varphi_X( f ) \On F(X)`$
$`f`$ の定義からの $`\varphi_X(f) = x`$ と組み合わせると、
$`\quad F(f)(t ) = x \On F(X)`$
これで、
$`\quad (x, f, t) : (X, x) \to (T, t) \In \mrm{El}(F)`$
であることが分かりました。
以上で、$`(X, x) \to (T, t) \In \mrm{El}(F)`$ の存在が言えました。$`(T, t)`$ が終対象であるためには、射の一意性が必要です。次のような射を想定します。
$`\quad (x, g, t) : (X, x)\to (T, t)\in \mrm{El}(F)\\
\quad g: X \to T \In \cat{C}
`$
要素の圏の射であることから、次の条件は満たしています。
$`\quad F(g)(t) = x \On F(X)`$
$`\varphi`$ が自然変換であることから、先ほどと同様な可換図式が存在します。
$`\begin{CD}
\cat{C}(T, T) @>{\varphi_T}>> F(T) \\
@V{\cat{C}(g, T)}VV @VV{F(g)}V \\
\cat{C}(X, T) @>{\varphi_X}>> F(X)
\end{CD}\\
\text{commutative in }{\bf Set}
`$
これをもとに少し計算すれば、 $`g = {\varphi_X}^{-1}(x)`$ が得られます。ところが、$`f = {\varphi_X}^{-1}(x)`$ だったので、$`g = f`$ となり、$`(x, g, t) = (x, f, t)`$ です。
極限の場合
ベクトル空間のテンソル積以外では、極限が目立った例でしょう。
$`D`$ を圏 $`\cat{C}`$ の図式〈diagram〉だとして、その極限対象を $`\lim D`$ 、極限錐 を $`\mrm{Lim}\, D`$ と書くことにします。極限を定義するためには、$`D`$ を底面とする錐の集合 $`\mrm{Cone}_D(\hyp)`$ を考えます。ここで、プレースホルダー〈ハイフン部分〉には錐の頂点が入ります。錐の集合は、次の反変関手だと考えられます。
$`\quad \mrm{Cone}_D : \cat{C}^\op \to {\bf Set}`$
極限は錐の圏の終対象ですが、より正確に言えば、グロタンディーク構成した平坦化圏 $`\int_\cat{C} \mrm{Cone}_D`$ の終対象 $`(\lim D, \mrm{Lim}\, D)`$ です。
$`(\lim D, \mrm{Lim}\, D)`$ は、反変関手 $`\mrm{Cone}_D`$ の表現ペアその2になるので：
$`\quad \mrm{Cone}_D \sim \mrm{Repr2}(\lim D, \mrm{Lim}\, D)`$
となります。
