形状付き集合〈shaped set〉は、図形的な意味での形状は持っていません。位相的な〈幾何的な〉実現を持つ形状付き集合は位相的形状付き集合（「組み合わせ的対象物の位相的実現」参照）と呼びました。位相的形状付き集合に関して、補足と敷衍をします。$`\newcommand{\cat}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}}
\newcommand{\mbf}[1]{\mathbf{#1}}
%\newcommand{\msc}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\u}[1]{\underline{#1}}
\newcommand{\id}{\mathrm{id}}
\newcommand{\op}{\mathrm{op}}
\newcommand{\In}{\text{ in }}
%\newcommand{\Imp}{\Longrightarrow} % for meta prop
%\newcommand{\hyp}{ \text{－} }
\newcommand{\twoto}{\Rightarrow }
`$
内容：
位相的形状付き集合
形状付き集合と位相的形状付き集合については、
で定義しています。ここでごく手短に復習します。
$`\cat{S}`$ はリーディ圏（「圏論で使う「図式」と「形状」 // リーディ圏」参照）だとします。次のような関手を形状付き集合〈shaped set〉（「圏論で使う「図式」と「形状」 // 形状付き集合」参照）と呼びます。
$`\quad A: \cat{S}^\op \to \mbf{Set} \In \mbf{CAT}`$
それとは別に、次のような関手があるとします。
$`\quad G: \cat{S} \to \mbf{Top} \In \mbf{CAT}`$
これらを一緒にした $`(\cat{S}, A, G)`$ を位相的形状付き集合〈topological shaped set〉と呼びます。ただし、$`G`$ にはいくつかの条件があります（後述）。
有限次元リーディ圏達の圏
リーディ圏〈Reedy category〉の定義は、以下の過去記事にあります。
リーディ圏達の圏 $`\mbf{ReedyCat}`$ も過去記事で出していますが、リーディ圏のあいだの射は明示的に定義していませんでした。以下に定義します。
リーディ圏を次のように書きます。
$`\quad \cat{R} = (\u{\cat{R}}, \mrm{deg}_\cat{S}, \cat{R}_+, \cat{R}_-)`$
$`\cat{R}, \cat{S}`$ がリーディ圏のとき、そのあいだの準同型射〈homomorphism〉 $`F`$ は、次のようなものです。
- 関手 $`F:\u{\cat{R}} \to \u{\cat{S}} \In \mbf{Cat}`$
- $`F`$ は次数関数を保存する： $`\forall x\in |\cat{R}|.\, \mrm{deg}_\cat{S}(F(x)) = \mrm{deg}_\cat{R}(x)`$
次数関数を保存する関手は、部分圏 $`\cat{R}_+`$ を $`\cat{S}_+`$ 内に移し、部分圏 $`\cat{R}_-`$ を $`\cat{S}_-`$ 内に移します。準同型射達の結合は準同型射であり、恒等関手は準同型射です。したがって、リーディ圏達とそのあいだの準同型射達は圏を形成します。それが $`\mbf{ReedyCat}`$ です。なお、定義よりリーディ圏（の台圏）は小さい圏です。
記号の乱用により、リーディ圏 $`\cat{R}`$ とその台圏 $`\u{\cat{R}}`$ は同じ記号で表し〈オーバーロードし〉ます。$`\mrm{deg}_\cat{R}`$ を $`\mrm{dim}_\cat{R}`$ とも書き、次元関数〈dimension function〉とも呼びます。一般的に、次元関数〈次数関数〉は、順序数のクラス $`|\mbf{Odnl}|`$ に値をとります（「指標の話： 形状の記述と形状付き集合 // 形状の次元」「圏論で使う「図式」と「形状」 // リーディ圏」「再帰的構成のために： 順序数の圏」参照）。
$`\quad \mrm{dim}_\cat{R} : |\cat{R}| \to |\mbf{Odnl}| \In \mbf{SET}`$
“有限次元”のリーディ圏に限れば、順序数のクラスは不要になります。リーディ圏 $`\cat{R}`$ が有限次元〈finite dimensional〉であることを次のように定義します。
$`\quad \forall x\in |\cat{R}|.\, \mrm{dim}_\cat{R}(x) \lt \omega`$
ここで、$`\omega`$ は、（ゼロではない）最初の極限順序数です。これは要するに、「$`\mrm{dim}_\cat{R}(x)`$ の値は自然数だと思ってよい」ということです。今定義した有限次元性は、「組み合わせ幾何の基本： 幾何グラフの位相実現 // 有限次元ギャップ1生成順行リーディ圏」の有限次元性とは少し違います（後述）。
有限次元リーディ圏の次元関数は次のようなプロファイルで考えます。
$`\quad \mrm{dim}_\cat{R} : |\cat{R}| \to \mbf{N} \In \mbf{Set}`$
有限次元リーディ圏達とそのあいだの準同型射達からなる圏を $`\mbf{FdReedyCat}`$ とします。
以下の条件を満たすリーディ圏は有界有限次元〈bounded finite dimensional〉だといいます。
$`\quad \exists N\in \mbf{N}.\forall x\in |\cat{R}|.\, \mrm{dim}_\cat{R}(x) \lt N`$
有界有限次元リーディ圏達とそのあいだの準同型射達からなる圏を $`\mbf{BdFdReedyCat}`$ とします。
「組み合わせ幾何の基本： 幾何グラフの位相実現 // 有限次元ギャップ1生成順行リーディ圏」における「有限次元リーディ圏」は、この記事における「有界有限次元リーディ圏」です。有界有限次元リーディ圏 $`\cat{R}`$ に対しては、次の $`\mrm{Dim}(\cat{R})`$ が自然数として確定します。
$`\quad \mrm{Dim}(\cat{R}) :=
\mrm{max}
\{k\in \mbf{N} \mid \exists x\in |\cat{R}|.\, \mrm{dim}_\cat{R}(x) = k\}
`$
組み合わせ幾何の目的では、有限次元リーディ圏があれば十分ですが、有界有限次元リーディ圏では不十分です -- 有界有限次元ではない有限次元リーディ圏もよく使うので。例えば、球体圏 $`\mbf{g}`$ や単体圏 $`\mbf{s}`$ は有界有限次元ではありません。
形状圏の対象と射
形状付き集合 $`A`$ とは次のような関手です。
$`\quad A:\cat{S}^\op \to \mbf{Set} \in \mbf{CAT}`$
関手の域圏 $`\cat{S}`$ を次のように呼びます。
- 形状付き集合 $`A`$ の形状〈shape〉
- 形状付き集合 $`A`$ の形状圏〈shape category〉
- 形状付き集合 $`A`$ の形状スキーマ〈shape schema〉
これらは同義語です。正規表現パターンで表すなら：
形状{圏 | スキーマ}?
形状圏の対象と射を何と呼ぶかは悩むところです。出来れば、次の目的をかなえたい。
- 形状圏の対象・射と、関手の余域圏（集合圏）の対象・射を区別したい。
- 呼び名が構造を正しく伝えるようにしたい。
- 自然言語の説明のなかで使って違和感がないようにしたい。
これらの目的を同時にかなえるのはなかなか難しく、過去記事では呼び名が揺らいでいます。呼び名が揺らいでしまう背景事情については、以下で書いています。
参考までに、過去の呼び名のめぼしいところを列挙すると：
- 指標の話： 形状の記述と形状付き集合
- リーディ圏の対象： セルソート〈cell sort〉
- リーディ圏の射： 面射〈face morphism〉
- 形状付き集合： $`\cat{I}`$-形集合〈$`\cat{I}`$-shaped set〉、$`\cat{I}^\op`$-形集合〈$`\cat{I}^\op`$-shaped set〉
- 圏論で使う「図式」と「形状」
- リーディ圏の対象： 形状ソート〈shape sort〉、ソート〈sort〉
- リーディ圏の射： アロー〈arrow〉
- リーディ圏の順行射： 順行アロー〈direct arrow〉
- リーディ圏の逆行射： 逆行アロー〈inverse arrow〉
- リーディ圏のギャップ1順行射： 余面アロー〈coface arrow〉
- リーディ圏のギャップ-1逆行射： 余退化アロー〈codegeneracy arrow〉
- 形状付き集合： $`\cat{S}^\op`$-形状付き集合〈$`\cat{S}^\op`$-shaped set〉
- 組み合わせ的対象物の位相的実現
- リーディ圏の対象： セルソート〈cell sort〉
- リーディ圏の射： 余面ソート〈coface sort〉
- 組み合わせ幾何の基本： 幾何グラフの位相実現
- 順行リーディ圏の対象： セルソート〈cell sort〉
- 順行リーディ圏の射： 余面ソート〈coface sort〉
- 形状付き集合： 一般化グラフ〈generalized graph〉
ここでは、次の呼び名を採用します。
- リーディ圏の対象： セルソート〈cell sort〉
- リーディ圏の順行射： 面ソート〈face sort〉
- リーディ圏の逆行射： 退化ソート〈degeneracy sort〉
- 形状付き集合： $`\cat{S}`$-形状付き集合〈$`\cat{S}`$-shaped set〉
次の方針・ルールです。
- リーディ圏の対象も射も、「ソート」と呼ぶ。「セル」「面指定関数」「退化指定関数」などの言葉と組み合わせて運用する。例えば、「ソートが $`s_3`$ である面指定関数」。
- 関手の域圏を形状圏と呼ぶ（従来どおり）。
- リーディ圏からの反変関手（リーディ圏の反対圏からの共変関手）を形状付き集合として使う。関手が反変であっても、「形状圏は $`\cat{S}`$ である」と言う。「形状圏は $`\cat{S}^\op`$ である」と反対圏を強調しなくてもよい。
共変・反変には神経質にならないことにします。しかし、“リーディ圏の対象・射”と“関手で移った先の集合圏の対象・射〈集合・関数〉”は、シッカリ区別します。
打ち切り、延長、骨格
$`\cat{R}`$ がリーディ圏だとして、$`\cat{S}`$ が $`\cat{R}`$ の部分リーディ圏〈sub Reedy category〉だとは次のことです。
- $`{\cat{S}}`$ （の台圏）は、$`{\cat{R}}`$ （の台圏）の部分圏である。特に、$`|{\cat{S}}|\subseteq |{\cat{R}}|`$ は成立する。
- $`\mrm{dim}_{\cat{S}}`$ は、$`\mrm{dim}_{\cat{R}}`$ を $`|\u{\cat{S}}|`$ に制限した関数である。
$`\cat{S}`$ から $`\cat{R}`$ への包含関手を $`i_{\cat{S}}^{\cat{R}}`$ と書きます。文脈から明らかなら $`i_{\cat{S}}`$ とか $`i`$ と略記します。$`i^\op`$ は、$`\cat{S}^\op \to \cat{R}^\op`$ という包含関手のことです。
$`\cat{R}`$-形状付き集合 $`A`$ 、つまり、$`\cat{R}^\op`$ から集合圏への関手 $`A`$ に対して、$`i^\op`$ をプレ結合〈pre-compose〉した関手を次のいずれかで書きます。
- $`i^\op * A`$
- $`A \cdot i^\op`$
- $`\mrm{trun}_{\cat{S}\subseteq \cat{R}}(A)`$
- $`A|_{\cat{S}}`$
3番目の書き方は、次のような関手を想定しています。
$`\quad \mrm{trun}_{\cat{S}\subseteq\cat{R}} : [\cat{R}^\op, \mbf{Set}] \to [\cat{S}^\op, \mbf{Set}] \In \mbf{CAT}`$
この関手を（部分リーディ圏 $`\cat{S}`$ による）打ち切り関手〈truncation functor〉と呼びます。打ち切り関手に左随伴関手が存在するなら、その左随伴関手を延長関手〈prolongation functor〉と呼び、$`\mrm{prol}_{\cat{S}\subseteq\cat{R}}`$ と書きます。
$`\quad \xymatrix{
{[\cat{S}^\op, \mbf{Set}]} \ar@/^1.5pc/[r]^{\mrm{prol}_{\cat{S}\subseteq\cat{R}} }
\ar@{}[r]|{\bot}
& {[\cat{R}^\op, \mbf{Set}]} \ar@/^1.5pc/[l]^{\mrm{trun}_{\cat{S}\subseteq \cat{R}} }
}`$
打ち切り関手は一種の忘却関手であり、延長関手は一種の自由生成関手なので、延長-打ち切り・随伴ペアは自由-忘却・随伴ペア〈free-forgetful {adjoint pair | adjunction}〉です。
打ち切り関手と延長関手のこの順での結合 $`\mrm{trun}_{\cat{S}\subseteq \cat{R}}*\mrm{prol}_{\cat{S}\subseteq\cat{R}}`$ は、圏 $`[\cat{R}^\op, \mbf{Set}]`$ 上の自己関手となります。この自己関手を骨格関手〈{skeleton | skeletal} functor〉と呼び、$`\mrm{skel}_{\cat{S}\subseteq \cat{R}}`$ と書きます。
$`\quad \mrm{skel}_{\cat{S}\subseteq \cat{R}} : [\cat{R}^\op, \mbf{Set}]\to [\cat{R}^\op, \mbf{Set}]\In \mbf{CAT}`$
打ち切り、延長、骨格の例は次節で出します。
球体圏と球体集合
球体圏〈globe category〉の標準的な定義は次のnLab項目にあります。
球体圏を $`\mbf{g}`$ とします。球体圏 $`\mbf{g}`$ の反対圏は $`\mbf{G}`$ とします。
$`\quad \mbf{g}^\op = \mbf{G}\\
\quad \mbf{G}^\op = \mbf{g}
`$
球体圏 $`\mbf{g}`$ は順行リーディ圏であり、その反対圏 $`\mbf{G}`$ は逆行リーディ圏です。$`\mbf{g}, \mbf{G}`$ は有限次元リーディ圏ですが、有界有限次元リーディ圏ではありません。
球体圏と球体集合（$`\mbf{g}`$ または $`\mbf{G}`$ を形状圏とする形状付き集合）については、以下の過去記事で述べています。
「球体集合とペースティング図／指標」で導入した $`\mbf{g}n, \mbf{G}n`$ は有界有限次元リーディ圏であり、$`n \le m`$ なら次の包含関係が成立します。
$`\quad \mbf{g}n \subseteq \mbf{g}m \subseteq \mbf{g} \In \mbf{FdReedyCat}`$
さて、前節で説明した随伴ペアは「球体集合とペースティング図／指標」でも定義しています。しかし、名前と記法は違います。
| 過去記事 | この記事 |
|---|---|
| 打ち切り関手 | 打ち切り関手 |
| 骨格関手 | 延長関手 |
| 骨格関手 |
過去記事は、イワニス・マルカキス〈Ioannis Markakis〉の論文 "Computads for generalised signatures" の用語法・記法にだいたい従っています。過去記事で、打ち切り関手の左随伴関手を「骨格関手」と呼ぶのは嫌がっていました。今回は「延長関手」としました。打ち切り関手と延長関手の結合を「骨格関手」と呼ぶ用語法は、例えばフランソワ・メテヤー〈françois métayer〉の論文 "Cofibrant objects among higher-dimensional categories" で使われています。いつものことですが、人によりコミュニティにより用語法は違います。
延長-打ち切り・随伴ペアの具体例として、$`\mbf{g}2 \subseteq \mbf{g}`$ という包含関係から誘導されるペアがあります。任意の球体集合に対して、その2次元までの部分だけに制限する関手が $`\mrm{trun}_{\mbf{g}2 \subseteq \mbf{g}}`$ 、2次元を超えるセルセット（関手の値）をすべて空集合にして拡張〈延長〉する関手が $`\mrm{prol}_{\mbf{g}2 \subseteq \mbf{g}}`$ です。
$`\quad \xymatrix{
{[{\mbf{g}2}^\op, \mbf{Set}]} \ar@/^1.5pc/[r]^{\mrm{prol}_{\mbf{g}2 \subseteq \mbf{g}} }
\ar@{}[r]|{\bot}
& {[ {\mbf{g}}^\op, \mbf{Set}]} \ar@/^1.5pc/[l]^{\mrm{trun}_{\mbf{g}2 \subseteq \mbf{g}} }
}`$
この場合の骨格関手 $`\mrm{skel}_{\mbf{g}2 \subseteq \mbf{g}}`$ は、球体集合の2次元を超えるセルをすべて捨ててしまう（空にしてしまう）関手です。打ち切り関手と似てますが、骨格関手は自己関手です。
幾何パートと幾何実現
最初の節で定義したように、位相的形状付き集合は、形状圏と2つの関手からなる3つ組 $`(\cat{S}, A, G)`$ です。$`A`$ は集合圏への反変関手（反対圏からの共変関手）で、特に条件はありません。$`A`$ は純組み合わせ的〈purely combinatorial〉情報しか持ってないので、位相的形状付き集合の組み合わせパート〈combinatorial part〉です。一方の $`G`$ は幾何的〈位相的〉情報を持つので、位相的形状付き集合の幾何パート〈geometric part〉です。
位相的形状付き集合の幾何パート $`G`$ の条件については、「組み合わせ的対象物の位相的実現 // 位相的形状付き集合」に書いています。が、過去記事の条件がきつすぎて、以下のような標準幾何単体〈standard geometric simplex〉が除外されてしまいます。
$`\quad \Delta^n := {(x_1, \cdots, x_{n + 1})\in \mbf{R}^{n+1} \mid \sum_{i = 1}^{n + 1} x_i = 1}`$
過去記事の条件をゆるめることにします。まず、n次元の幾何セル〈n-dimensional geometric cell〉を、過去記事の条件に従って定義します。位相空間 $`X`$ がn次元の幾何セルだとは：
- $`X`$ はn次元ユークリッド空間の部分集合としての位相空間である。つまり $`X \subseteq \mbf{R}^n`$ 。
- ユークリッド空間の部分空間として、$`X`$ は内点を持ち、内部（内点達の集合）の閉包は $`X`$ を含む。
- ユークリッド空間の部分空間として、$`X`$ の閉包はコンパクトである。
- $`X`$ は可縮空間である。
$`\varphi : \mbf{R}^n \to \mbf{R}^m`$ を単射なアフィン線形写像とします。n次元の幾何セル $`X`$ と単射アフィン線形写像 $`\varphi`$ のペア $`(X, \varphi)`$ を埋め込み幾何セル〈embedded geometric cell〉と呼ぶことにします。
標準幾何単体は、埋め込み幾何セルとみなせます。そのn次元幾何セルは次です。
$`\quad \{(x_1, \cdots, x_n)\in \mbf{R}^n \mid x_i \ge 0\; (i = 1, \cdots, n),\; \sum_{i=1}^n x_i \le 1 \}`$
単射アフィン線形写像は次のように定義します。
$`\quad (x_1, \cdots, x_n) \mapsto (x_1, \cdots, x_n, 1 - \sum_{i = 1}^n x_i)`$
$`(X, \varphi)`$ が埋め込み幾何セルのとき、像空間 $`\varphi(X) \subseteq \mbf{R}^m`$ はユークリッド空間の部分位相空間となります。位相空間 $`\varphi(X)`$ のこともまた埋め込み幾何セル〈embedded geometric cell〉と呼びます。
位相空間 $`Y`$ が埋め込み幾何セルだとは、適当な $`(X, \varphi)`$ により、$`Y = \varphi(X)`$ と書けることです。埋め込み幾何セルの次元〈dimension〉は $`X`$ の次元のことだとします。
埋め込み幾何セルの概念を用いて、位相的形状付き集合の幾何パート $`G`$ の条件を述べます。
- $`\alpha\in |\cat{S}|`$ に対して、$`\mrm{G}(\alpha)`$ はユークリッド空間の部分集合としての位相空間であり、埋め込み幾何セルである。
- 上記の埋め込み幾何セルの次元 $`n`$ は、$`n = \mrm{dim}(\alpha)`$ である。埋め込み幾何セルの埋め込み先ユークリッド空間の次元は $`n`$ でなくてもよい。
要点は、「幾何セルの外側のユークリッド空間の次元は、幾何セルの次元より高くてもよい」ということです。なんなら、普遍的な外側のユークリッド空間として、無限次元ユークリッド空間 $`\mbf{R}^\infty`$ を使ってもいいです。
形状圏の射（面ソート、退化ソート）に対応する連続写像にも条件が必要ですが、今回は割愛します。
位相的形状付き集合 $`(\cat{S}, A, G)`$ には、その幾何実現〈geometric realization | 位相実現 | topological realization〉として、ひとつの位相空間を対応させることができます。「組み合わせ的対象物の位相的実現」に、要素の圏を使った実現の方法が書いてあります。
実現のより簡潔な記述は、次のような“関手のテンソル積”です。
$`\quad (A*\mrm{DiscSp})\boxtimes G \in |\mbf{Top}|`$
ここで、$`\mrm{DiscSp}`$ は、集合を離散空間とみなす関手です。
$`\quad \mrm{DiscSp}: \mbf{Set}\to \mbf{Top}\In \mbf{CAT}`$
テンソル積の因子となる2つの関手は：
$`\quad A*\mrm{DiscSp}: \cat{S}^\op\to \mbf{Top}\In \mbf{CAT}\\
\quad G : \cat{S} \to \mbf{Top}\In \mbf{CAT}
`$
“関手のテンソル積”については、「関手のテンソル積（コエンド）」を参照してください。
関手のテンソル積（コエンド）を使った幾何実現については、いずれ詳論するつもりではいます。
