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［参照用 記事］

ビッグサイトから巨大サイトへ

雑記／備忘

「ビッグサイト微分幾何と自然変換の上付き添字」の続きです。ビッグサイトを作るもとになるサイトがあるので、それを巨大サイトと呼び、巨大サイトに注目しようという話です。

内容：

巨大サイト

（なめらかな）多様体の圏をManとすると、大ざっぱには、

と言っていいでしょう。この意味での微分幾何の道具（Manを調べる道具）として、サイト〈site〉と層〈sheaf〉を使いたいのです。サイトと層の定義は色々ありえますが、次のモットーは成立するようにします。

  • サイトとは、層の定義域である。

台（下部構造）となる圏Cに被覆の概念が載ったものがサイトです。Cからの関手で、被覆に対して適切に振る舞うものが層です。微分幾何（上記の意味）の文脈では、C = Man です。

Manの対象、つまり多様体Mをひとつ選んだとき、開集合の圏 Open(M) が決まります。Open(M) は、Mの開集合達のあいだの包含順序を射とするやせた圏です。Open(M) を、Mのリトルサイト〈little site〉と呼びます。これは、リトルサイトの事例のひとつですが、その他のリトルサイトを扱うことは（たぶん）ありません。

Mのビッグサイト S(M) は、Open(M)⊆S(M) となるようなサイト（被覆系を持つ圏）です。しかし、Mに対してビッグサイト S(M) を直接に定義するわけではなく、ビッグサイトの背後に、Man全体で定義されたサイト構造〈被覆構造〉があります。

Man全体で定義されたサイト構造があれば、Man自体がサイトになります。このサイトは巨大サイト〈giant site〉と呼ぶことにします。「巨大」はサイズに関する形容詞ではないので、小さな巨大サイトもありえます（Manは大きいですが）。

巨大サイトは、圏の対象ごとに定義されるサイト（インデックス付きサイト）ではなくて、圏全体に被覆系を載せたもの、という意味です。「ビッグサイト微分幾何と自然変換の上付き添字」で、ビッグサイト微分幾何〈big-site differential geometry〉という言葉を出しましたが、それより以前に巨大サイト微分幾何〈giant-site differential geometry〉が有ることになります。

具体的には、C∞(-) = Φ(-) :Man→CRng （CRngは可換環の圏）、Ω(-):Man→Module （Moduleは加群の圏）などのよく知られた反変関手が、巨大サイトとしてのManからの層になるようにしたいのです。

開射を持つ圏

雰囲気的に言えば、サイトは“位相”を持つ圏です。その“位相”が、被覆系〈coverage〉により与えられます。被覆系に関してはnLabページを見てください。

しかし、通常の位相は開集合（の集合）により与えられます。ギャップがありますね。

このギャップを埋めるために、開集合に相当する“開射”を備えた圏を定義します。被覆系は、開射から定義することにしましょう。

一般的な圏Cで話をしますが、想定しているのは C = Man の場合です。そのため、圏の対象を M, N と書くことがあります。

圏Cは次の性質を持つ圏だとします。

  1. 始対象 0 を持つ。
  2. 対象の族 (Xi)i∈I に対して、直和 \coprod_{i\in I}X_i を持つ。

族の添字集合 I は任意の集合を許すとします。空な族の直和は始対象なので、2つの条件を1つにしてもかまいません。

Cの部分圏 OC が指定されていて、OC は次の条件を満たすとします。（[追記]3番目の条件は4番目の条件から出ます。その意味で冗長です。[/追記]）

  1. |OC| = |C| （OC は広い部分圏*1）
  2. 始対象0からの唯一の射は OC に入る。
  3. u:U→M, v:V→M in OC ならば、uとvのファイバー積が存在して、ファイバー積からMへの射影は OC に入る（下に図式）。
  4. f:M→N in C, v:V→N in OC ならば、vのfによる引き戻し f*(v) が存在して、f*(v) はOC に入る（下に図式）。
  5. すべての同型射は OC に入る。

ファイバー積と引き戻しの存在に関して、次の可換図式があります。四角形は引き戻し可換図式で、Xはファイバー積（コスパンの極限対象）です。

\require{AMScd} \begin{CD} X @>>> V \\ @VVV @VV{v}V \\ U @>{u}>> M \end{CD}

\begin{CD} X @>>> V \\ @V{f^\ast(v)}VV @VV{v}V \\ M @>{f}>> N \end{CD}

一番目の図式のXを、X = U∩V 、ニ番目の図式のXを、X = f*(V) と略記します。

[追記 補足]
二番目の図式の f を u に置き換えると一番目の図式が得られて、Xからの射影は u*(v);u と書けます。よって、ファイバー積からMへの射影が OC に入ることは、二番目の図式（の条件）だけから出ます。
[/追記 補足]

Cの部分圏OCの射を開射〈open morphism〉と呼ぶことにします。開射が、だいたい開集合をシミュレートします。

  1. X∈Open(X) ←→ idX in OC
  2. \emptyset∈Open(X) ←→ (0→X) in OC
  3. U, V∈Open(X) ならば U∩V∈Open(X) ←→ (U→X), (V→X) in OC ならば (U∩V→X) in OC
  4. f:X→Y は連続、V∈Open(Y) ならば f-1(V)∈Open(X) ←→ f:X→Y in C, (V→Y) in OC ならば (f*(V)→X) in OC

開集合の集まりの合併が開集合になることは、被覆（次節）によりシミュレートします。

直和を持つ圏Cに、今述べた性質を持つ部分圏 OC を一緒にした構造 (C, OC) を開射を持つ圏〈category with opens〉と呼ぶことにします。多様体の圏Manに対して、次の性質を持つ射 u:U→M をを開射とみなすと、開射を持つ圏になります。

  • なめらかな写像 u:U→M は点の対応として単射であり、像 u(U)⊆M はMの開集合になる。

この条件は、「ビッグサイト微分幾何と自然変換の上付き添字」で述べた開埋め込みより弱くなっています（微分に対する非特異性は落としている）。

ひとつ注意： Manにおいて、直和 \coprod_{i\in I}M_i を作るとき、I がすごく大きな集合だと、直和が多様体とは認められなくなることがあります。対処として、添字集合の基数に制限を課すか、多様体の条件を緩めるかします。

被覆

C = (C, OC) （記号の乱用）を開射を持つ圏とします。Cの射の族 (ui:Ui→M | i∈I) が被覆〈cover | covering {family}?〉だとは次の条件を満たすことです。

  1. ui:Ui→M in OC
  2. ui 達のコタプル \coprod_{i\in I}U_i \to M はエピ射

二番目の条件に直和 \coprod_{i\in I}U_i が出てくるので、Cで直和が作れることを要請していました。

(ui:Ui→M | i∈I) が被覆のとき、対象Mを被覆のターゲット〈target〉と呼びます。実際、成分である射達の共通のターゲット〈余域〉です。

対象 M∈|C| に対して、Mをターゲットとする被覆の全体を CovC(M) とします。混乱の恐れがなければ、下付きのCは省略してもいいとします。Cov(M) は小さい集合じゃないかも知れませんが、気にしないことにします。

Mを動かしたCov(M)の全体が、被覆系の公理を満たす必要があります。一般的な被覆系より、グロタンディーク・プレ位相のほうが使いやすいでの、グロタンディーク・プレ位相〈Grothendieck pretopology〉の定義をnLab（↓）から引用します。

  1. 単一同型は被覆： V→U in C が同型射のとき (V→U)∈Cov(U)
  2. 引き戻し安定性： (Ui→U | i∈I)∈Cov(U)、f:V→U in C ならば、(f*(Ui)→V | i∈I)∈Cov(V)
  3. 推移性： (Ui→U | i∈I)∈Cov(U)、それぞれの i∈I ごとに (Ui,j→Ui | i∈I, j∈Ji)∈Cov(Ui) ならば、射を結合した (Ui,j→Ui→U | i∈I, j∈Ji)∈Cov(U)

この3つの性質は、通常の開集合による被覆の性質と類似しているので馴染みやすいでしょう。開射を持つ圏に対して構成した M \mapsto Cov(M) がこの性質を持つことも示せます。

被覆の圏

C = (C, OC) は引き続き開射を持つ圏とします。U = (Ui→M | i∈I) と V = (Vj→M | j∈J) を CovC(M) の要素である被覆とします。このとき、UからVへの細分〈refinement〉R を次のように定義します。

  1. R = (φ, r) で、φ:I→J は写像、r = (ri:Ui→Vφ(i) | i∈I) はCの射の族。
  2. Ui→Vφ(i) in OC

記号の乱用で、r = (φ, r) のようにも書きます。言葉は「細分」ですが、国語辞書的意味で「細分」になっているとは限らないので注意してください。

Mに対して、次のような圏 Cov[M] ができます。

  • |Cov[M]| := Cov(M)
  • Cov[M](U, V) := (UからVへの細分の集合)
  • 圏の結合は細分の結合
  • 圏の恒等射は恒等細分

細分の結合と恒等細分は、ありきたりの方法で定義できます。

f:M→N に対して、引き戻し安定性から、f*:Cov[N]→Cov[M] を定義できます。fによる被覆の引き戻し f* が、細分を細分に写し、細分の結合と恒等細分を保存するなら関手になります。実際に関手になるので、Cov[f] := f* と置くと、Cov[-]:C→CAT はインデックス付き圏になります。

インデックス付き圏にはグロタンディーク構成（「グロタンディーク構成と積分記号」参照）ができるので、圏Cに対する被覆の圏〈category of covers〉 Cover(C) を次のように定義します。

  • {\bf Cover}({\mathcal C}) := {\displaystyle \int_{\to\; {\mathcal C}}} {\bf Cov}[\mbox{-}]

インデックス付き圏 Cov[-]:C→CAT と、そのグロタンディーク平坦化である Cover(C) により、圏C上に被覆構造が与えられます。つまり、Cはサイトになります*2。

巨大層へ

前節の手順で、開射を持つ圏Cをサイトに仕立てることができます。圏Manに適切な開射（からなる部分圏）を定義すれば、この手順を適用してサイトにできます。巨大サイトとしてのManですね。

Man上で定義される関手は、値をベクトル空間の圏／加群の圏／アーベル群の圏などに取ります。このようなタイプの関手（反変）が、巨大サイトMan上の層であることが分かれば、層に関する概念・手法を使えます。また、巨大サイト上の層を、特定の多様体M上のビッグサイト／リトルサイト上の層に“縮小”して使えます。

巨大層＝巨大サイト上の層の定義と構成は次の機会に。

*1:親の圏と同じ対象類を持つ部分圏は、広い部分圏（{broad, wide} category）といいます。広い部分圏の話は「包含付き圏：対象を集合っぽく扱うために」とか「骨格的な圏と圏の骨格」にあります。

*2:グロタンディーク・プレ位相を持つ段階で「サイトになっている」と言っていいでしょうが、CovC[-] や Cover(C) がサイトの基本ツールを提供します。